Lớp 11 · Toán
Bài 3
Hàm Số Lượng Giác
Tập xác định · Tính chẵn lẻ - Tuần hoàn · Đồ thị & Tính chất
1
Định nghĩa hàm số lượng giác & Tập xác định
▼
Định nghĩa
Với mỗi số thực $x$, ta xác định được duy nhất một điểm $M$ trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của góc lượng giác $(OA,\ OM) = x$. Từ đó xác định được các giá trị lượng giác của $x$ ($\sin x,\ \cos x,\ \tan x,\ \cot x$).
Hình minh hoạ: Đường tròn lượng giác và điểm biểu diễn $M$ của góc $x$.
Bốn hàm số lượng giác cơ bản:
| Hàm số | Định nghĩa | Tập xác định $D$ |
|---|---|---|
| Hàm sin | $y = \sin x$ | $\mathbb{R}$ |
| Hàm côsin | $y = \cos x$ | $\mathbb{R}$ |
| Hàm tang | $y = \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ | $\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi\ \big|\ k \in \mathbb{Z}\right\}$ |
| Hàm côtang | $y = \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ | $\mathbb{R} \setminus \{k\pi\ \big|\ k \in \mathbb{Z}\}$ |
Giải thích tập xác định:
•$y = \sin x,\ y = \cos x$: luôn xác định với mọi $x$ vì $\sin x,\ \cos x$ là tung độ, hoành độ của điểm $M$ → TXĐ là $\mathbb{R}$.
•$y = \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$: đòi hỏi $\cos x \ne 0$, tức $x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.
•$y = \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$: đòi hỏi $\sin x \ne 0$, tức $x \ne k\pi$.
📍 Mẹo nhớ tập xác định
• Tan → loại điểm mà $\cos = 0$ → loại $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$.
• Cot → loại điểm mà $\sin = 0$ → loại $k\pi$.
• Cot → loại điểm mà $\sin = 0$ → loại $k\pi$.
Phương pháp tìm tập xác định:
| Biểu thức trong hàm số | Điều kiện |
|---|---|
| Chứa $\tan u$ | $\cos u \ne 0 \Leftrightarrow u \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ |
| Chứa $\cot u$ | $\sin u \ne 0 \Leftrightarrow u \ne k\pi$ |
| Chứa $\dfrac{1}{\sin u}$ | $\sin u \ne 0$ |
| Chứa $\dfrac{1}{\cos u}$ | $\cos u \ne 0$ |
| Chứa $\sqrt{f(x)}$ | $f(x) \ge 0$ |
| Phân thức $\dfrac{A}{B}$ | $B \ne 0$ |
Ví dụ 1 — Tìm TXĐ đơn giản
Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{1}{\cos x}$.
→Hàm có dạng phân thức → mẫu phải khác $0$.
→Điều kiện: $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
⟹$D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi\ \big|\ k \in \mathbb{Z}\right\}$.
Ví dụ 2 — TXĐ chứa căn thức
Tìm TXĐ của $y = \sqrt{\dfrac{1+\cos x}{2-\cos x}}$.
→Điều kiện: $\dfrac{1+\cos x}{2-\cos x} \ge 0$.
Xét tử số $1 + \cos x$: vì $-1 \le \cos x \le 1$ nên $1 + \cos x \ge 0$ → tử số luôn không âm.
Xét mẫu số $2 - \cos x$: vì $\cos x \le 1$ nên $2 - \cos x \ge 2 - 1 = 1 > 0$ → mẫu luôn dương.
⟹Biểu thức luôn xác định → $D = \mathbb{R}$.
2
Tính chẵn lẻ & Tính tuần hoàn
▼
Hàm số chẵn, lẻ
Cho hàm số $y = f(x)$ có tập xác định $D$.
• $f(x)$ là hàm số chẵn nếu $\forall x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(-x) = f(x)$.
• $f(x)$ là hàm số lẻ nếu $\forall x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(-x) = -f(x)$.
• $f(x)$ là hàm số chẵn nếu $\forall x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(-x) = f(x)$.
• $f(x)$ là hàm số lẻ nếu $\forall x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(-x) = -f(x)$.
📍 Đặc trưng hình học
• Đồ thị hàm chẵn: đối xứng qua trục $Oy$.
• Đồ thị hàm lẻ: đối xứng qua gốc toạ độ $O$.
• Đồ thị hàm lẻ: đối xứng qua gốc toạ độ $O$.
Tính chẵn lẻ của 4 hàm lượng giác cơ bản:
| Hàm số | Chẵn / Lẻ |
|---|---|
| $y = \sin x$ | Lẻ: $\sin(-x) = -\sin x$ |
| $y = \cos x$ | Chẵn: $\cos(-x) = \cos x$ |
| $y = \tan x$ | Lẻ: $\tan(-x) = -\tan x$ |
| $y = \cot x$ | Lẻ: $\cot(-x) = -\cot x$ |
💡Mẹo nhớ: Chỉ có COS là hàm Chẵn (chữ "C" - Chẵn). Ba hàm còn lại $\sin, \tan, \cot$ đều là hàm lẻ.
Phương pháp xét tính chẵn lẻ — 4 bước:
B1.Tìm tập xác định $D$ của hàm số.
B2.Kiểm tra: $\forall x \in D$ thì $-x \in D$? (tập xác định đối xứng qua $O$?)
B3.Tính $f(-x)$ và rút gọn.
B4.So sánh: $f(-x) = f(x)$ → chẵn; $f(-x) = -f(x)$ → lẻ; nếu không phải cả hai → không chẵn không lẻ.
Quy tắc tổ hợp (nhanh):
| Tổ hợp | Kết quả |
|---|---|
| Chẵn $\pm$ Chẵn | Chẵn |
| Lẻ $\pm$ Lẻ | Lẻ |
| Chẵn $\times$ Chẵn | Chẵn |
| Lẻ $\times$ Lẻ | Chẵn |
| Chẵn $\times$ Lẻ | Lẻ |
| Chẵn $\pm$ Lẻ | Không chẵn không lẻ |
Ví dụ 3 — Xét tính chẵn lẻ
Xét tính chẵn lẻ của $f(x) = x \sin x$.
B1.TXĐ: $D = \mathbb{R}$ → đối xứng qua $O$. ✓
B2.$f(-x) = (-x) \cdot \sin(-x) = (-x)(-\sin x) = x\sin x = f(x)$.
⟹Vậy $f(x) = x\sin x$ là hàm số chẵn.
(Nhanh: $x$ lẻ × $\sin x$ lẻ = chẵn — theo bảng quy tắc tổ hợp.)
Hàm số tuần hoàn
Hàm số $y = f(x)$ có TXĐ $D$ được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại số $T \ne 0$ sao cho với mọi $x \in D$:
• $x + T \in D$ và $x - T \in D$.
• $f(x + T) = f(x)$.
Số $T$ dương nhỏ nhất thoả mãn (nếu có) gọi là chu kì của hàm số.
• $x + T \in D$ và $x - T \in D$.
• $f(x + T) = f(x)$.
Số $T$ dương nhỏ nhất thoả mãn (nếu có) gọi là chu kì của hàm số.
Chu kì của 4 hàm lượng giác cơ bản:
| Hàm số | Chu kì $T$ |
|---|---|
| $y = \sin x$ | $T = 2\pi$ |
| $y = \cos x$ | $T = 2\pi$ |
| $y = \tan x$ | $T = \pi$ |
| $y = \cot x$ | $T = \pi$ |
Công thức tổng quát
$y = A\sin(\omega x + \varphi)$ hoặc $y = A\cos(\omega x + \varphi)$ ($\omega \ne 0$):
$T = \dfrac{2\pi}{|\omega|}$
$y = A\tan(\omega x + \varphi)$ hoặc $y = A\cot(\omega x + \varphi)$ ($\omega \ne 0$):
$T = \dfrac{\pi}{|\omega|}$
$T = \dfrac{2\pi}{|\omega|}$
$y = A\tan(\omega x + \varphi)$ hoặc $y = A\cot(\omega x + \varphi)$ ($\omega \ne 0$):
$T = \dfrac{\pi}{|\omega|}$
Ví dụ 4 — Tìm chu kì
a) Hàm $y = \sin 2x$ có chu kì $T = \dfrac{2\pi}{|2|} = \pi$.
b) Hàm $y = \cos\dfrac{\pi t}{3}$ có $\omega = \dfrac{\pi}{3}$ nên $T = \dfrac{2\pi}{\pi/3} = 6$.
c) Hàm $y = \tan\dfrac{x}{2}$ có $\omega = \dfrac{1}{2}$ nên $T = \dfrac{\pi}{1/2} = 2\pi$.
3
Hàm số $y = \sin x$
▼
Bảng giá trị:
| $x$ | $-\pi$ | $-\dfrac{3\pi}{4}$ | $-\dfrac{\pi}{2}$ | $-\dfrac{\pi}{4}$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{3\pi}{4}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $-1$ | $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $0$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $0$ |
Đồ thị:
Đồ thị hàm số $y = \sin x$ (gọi là đường hình sin).
Các tính chất quan trọng:
| Tập xác định | $D = \mathbb{R}$ |
| Tập giá trị | $[-1;\ 1]$ |
| Chẵn / lẻ | Hàm số lẻ (đồ thị đối xứng qua $O$) |
| Chu kì | $T = 2\pi$ |
| Đồng biến | Trên mỗi khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k2\pi;\ \dfrac{\pi}{2} + k2\pi\right)$ |
| Nghịch biến | Trên mỗi khoảng $\left(\dfrac{\pi}{2} + k2\pi;\ \dfrac{3\pi}{2} + k2\pi\right)$ |
| Giá trị lớn nhất | $y_{\max} = 1$ tại $x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ |
| Giá trị nhỏ nhất | $y_{\min} = -1$ tại $x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ |
💡Mẹo nhớ đồ thị sin: Xuất phát từ $O$, đi lên đạt max tại $\dfrac{\pi}{2}$, quay về $O$ tại $\pi$, đi xuống đạt min tại $\dfrac{3\pi}{2}$, lại quay về $O$ tại $2\pi$ — lặp lại tuần hoàn.
Ví dụ 5 — Đọc đồ thị
Trên đoạn $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{3\pi}{2}\right]$, xác định các giá trị của $x$ để:
a) $\sin x = 0$.
→Đồ thị cắt trục hoành tại $x = 0$ và $x = \pi$ (trong đoạn đã cho).
⟹$x = 0$ hoặc $x = \pi$.
b) $\sin x > 0$.
→Đồ thị nằm phía trên trục hoành trong khoảng $x \in (0;\ \pi)$.
⟹$x \in (0;\ \pi)$.
4
Hàm số $y = \cos x$
▼
Bảng giá trị:
| $x$ | $-\pi$ | $-\dfrac{3\pi}{4}$ | $-\dfrac{\pi}{2}$ | $-\dfrac{\pi}{4}$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{3\pi}{4}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\cos x$ | $-1$ | $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $0$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $0$ | $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $-1$ |
Đồ thị:
Đồ thị hàm số $y = \cos x$.
Các tính chất quan trọng:
| Tập xác định | $D = \mathbb{R}$ |
| Tập giá trị | $[-1;\ 1]$ |
| Chẵn / lẻ | Hàm số chẵn (đồ thị đối xứng qua $Oy$) |
| Chu kì | $T = 2\pi$ |
| Đồng biến | Trên mỗi khoảng $(-\pi + k2\pi;\ k2\pi)$ |
| Nghịch biến | Trên mỗi khoảng $(k2\pi;\ \pi + k2\pi)$ |
| Giá trị lớn nhất | $y_{\max} = 1$ tại $x = k2\pi$ |
| Giá trị nhỏ nhất | $y_{\min} = -1$ tại $x = \pi + k2\pi$ |
📍 Quan hệ giữa sin và cos
$\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$
→ Đồ thị $y = \cos x$ chính là đồ thị $y = \sin x$ dịch sang trái $\dfrac{\pi}{2}$ đơn vị.
→ Đồ thị $y = \cos x$ chính là đồ thị $y = \sin x$ dịch sang trái $\dfrac{\pi}{2}$ đơn vị.
Ví dụ 6 — Đọc đồ thị cos
Trên đoạn $\left[-\dfrac{3\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$, xác định các giá trị của $x$ để:
a) $\cos x = 0$.
⟹$x = -\dfrac{3\pi}{2},\ x = -\dfrac{\pi}{2},\ x = \dfrac{\pi}{2}$.
b) $\cos x < 0$.
→Đồ thị nằm phía dưới trục hoành trong khoảng $\left(-\dfrac{3\pi}{2};\ -\dfrac{\pi}{2}\right)$.
⟹$x \in \left(-\dfrac{3\pi}{2};\ -\dfrac{\pi}{2}\right)$.
5
Hàm số $y = \tan x$ và $y = \cot x$
▼
▸ Hàm số $y = \tan x$
Bảng giá trị:
| $x$ | $-\dfrac{\pi}{3}$ | $-\dfrac{\pi}{4}$ | $-\dfrac{\pi}{6}$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\tan x$ | $-\sqrt{3}$ | $-1$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $0$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |
Đồ thị:
Đồ thị hàm số $y = \tan x$ với các đường tiệm cận đứng $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.
Các tính chất quan trọng:
| Tập xác định | $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi\ \big|\ k \in \mathbb{Z}\right\}$ |
| Tập giá trị | $\mathbb{R}$ |
| Chẵn / lẻ | Hàm số lẻ |
| Chu kì | $T = \pi$ |
| Đơn điệu | Luôn đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi;\ \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)$ |
| Tiệm cận đứng | Các đường thẳng $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ |
| Đối xứng | Đối xứng qua gốc toạ độ $O$ |
📍 Đặc điểm quan trọng
Hàm $\tan x$ luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định (giá trị tăng dần từ $-\infty$ đến $+\infty$ trên mỗi khoảng).
▸ Hàm số $y = \cot x$
Bảng giá trị:
| $x$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{2\pi}{3}$ | $\dfrac{3\pi}{4}$ | $\dfrac{5\pi}{6}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\cot x$ | $\sqrt{3}$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $0$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $-1$ | $-\sqrt{3}$ |
Đồ thị:
Đồ thị hàm số $y = \cot x$ với các đường tiệm cận đứng $x = k\pi$.
Các tính chất quan trọng:
| Tập xác định | $D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi\ |\ k \in \mathbb{Z}\}$ |
| Tập giá trị | $\mathbb{R}$ |
| Chẵn / lẻ | Hàm số lẻ |
| Chu kì | $T = \pi$ |
| Đơn điệu | Luôn nghịch biến trên mỗi khoảng $(k\pi;\ \pi + k\pi)$ |
| Tiệm cận đứng | Các đường thẳng $x = k\pi$ |
| Đối xứng | Đối xứng qua gốc toạ độ $O$ |
So sánh tan và cot:
• $\tan x$ → luôn ĐỒNG biến trên mỗi khoảng xác định.
• $\cot x$ → luôn NGHỊCH biến trên mỗi khoảng xác định.
• Cả hai đều có chu kì $T = \pi$ và tập giá trị là $\mathbb{R}$.
• $\tan x$ → luôn ĐỒNG biến trên mỗi khoảng xác định.
• $\cot x$ → luôn NGHỊCH biến trên mỗi khoảng xác định.
• Cả hai đều có chu kì $T = \pi$ và tập giá trị là $\mathbb{R}$.
Tập giá trị — công thức nhanh:
Tập giá trị của hàm $y = a\sin u + b$ hoặc $y = a\cos u + b$
$y_{\min} = b - |a|$ | $y_{\max} = b + |a|$
Tập giá trị: $[b - |a|;\ b + |a|]$
Tập giá trị: $[b - |a|;\ b + |a|]$
Ví dụ 7 — Tìm tập giá trị
Tìm tập giá trị của $y = 2\sin x - 1$.
→$-1 \le \sin x \le 1$
→$\Rightarrow -2 \le 2\sin x \le 2$ (nhân với $2$).
→$\Rightarrow -3 \le 2\sin x - 1 \le 1$ (trừ $1$).
⟹Tập giá trị: $[-3;\ 1]$.
6
Tổng kết
▼
Bảng so sánh 4 hàm số lượng giác:
| $\sin x$ | $\cos x$ | $\tan x$ | $\cot x$ | |
|---|---|---|---|---|
| TXĐ | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}\setminus\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi\}$ | $\mathbb{R}\setminus\{k\pi\}$ |
| Tập giá trị | $[-1;1]$ | $[-1;1]$ | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ |
| Chẵn / Lẻ | Lẻ | Chẵn | Lẻ | Lẻ |
| Chu kì | $2\pi$ | $2\pi$ | $\pi$ | $\pi$ |
| Đơn điệu | Thay đổi | Thay đổi | Luôn đồng biến | Luôn nghịch biến |
| Đối xứng | Qua $O$ | Qua $Oy$ | Qua $O$ | Qua $O$ |
📍 Một số bài toán dao động / sóng thường gặp
Với hàm dạng $y = A\sin(\omega t + \varphi)$ hoặc $y = A\cos(\omega t + \varphi)$:
• Biên độ: $|A|$
• Chu kì: $T = \dfrac{2\pi}{|\omega|}$
• Tần số: $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{|\omega|}{2\pi}$
• Pha ban đầu: $\varphi$
• Chiều cao sóng (max - min) $= 2|A|$
• Biên độ: $|A|$
• Chu kì: $T = \dfrac{2\pi}{|\omega|}$
• Tần số: $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{|\omega|}{2\pi}$
• Pha ban đầu: $\varphi$
• Chiều cao sóng (max - min) $= 2|A|$
Hàm số lượng giác — đồ thị, tính chất và phương pháp giải →
1
—
Điểm: 0/26
📈
Luyện tập Hàm số lượng giác!
26 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/26
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh