Lớp 11 · Toán
Bài 23
Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng
Định nghĩa · Điều kiện đủ · Mặt phẳng trung trực · Liên hệ song song và vuông góc
1
Định nghĩa & điều kiện đủ
▼
Định nghĩa
Đường thẳng $\Delta$ được gọi là vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nếu $\Delta$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$.
Kí hiệu: $\Delta \perp (P)$ hoặc $(P) \perp \Delta$
Hình 1: Mép bản lề cánh cửa $AB$ vuông góc với mọi đường thẳng đi qua $B$ trên sàn nhà
Nhận xét quan trọng
Nếu $\Delta \perp (P)$ thì $\Delta$ và $(P)$ cắt nhau tại một điểm duy nhất — gọi là chân đường vuông góc
⭐ Điều kiện đủ (ĐỊNH LÝ QUAN TRỌNG)
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
$d \perp a$, $d \perp b$, $a \cap b = \{O\}$, $a, b \subset (P) \Rightarrow d \perp (P)$
Hình 2: Minh hoạ điều kiện đủ — $d \perp a$ và $d \perp b$ (cắt nhau tại $O$ trong $(P)$) → $d \perp (P)$
🎯 Hệ quả thường dùng
Nếu đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì cũng vuông góc với cạnh còn lại (vì ba cạnh tam giác cùng thuộc một mặt phẳng)
💡 Ví dụ 1 – Hình chóp đáy tam giác vuông
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và cạnh $SA$ vuông góc với các cạnh $AB$, $AC$. Chứng minh $BC \perp (SAB)$
Hình 3: Hình chóp $S.ABC$ với $\triangle ABC$ vuông tại $B$ và $SA \perp AB, AC$
B1.$SA$ vuông góc với hai đường thẳng $AB$ và $AC$ cắt nhau tại $A$ (cùng thuộc $(ABC)$) → $SA \perp (ABC)$
B2.Vì $BC \subset (ABC)$ nên $SA \perp BC$
B3.$\triangle ABC$ vuông tại $B$ nên $BC \perp BA$
B4.$BC$ vuông góc với hai đường $SA$ và $BA$ cắt nhau tại $A$ (cùng thuộc $(SAB)$) → $BC \perp (SAB)$
Để chứng minh đường vuông góc mặt phẳng, ta chỉ cần tìm hai đường cắt nhau trong mặt phẳng đó mà đường đã cho vuông góc
2
Tính chất duy nhất & mặt phẳng trung trực
▼
Tính chất 1
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Tính chất 2
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Hệ quả nhanh
• Nếu hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc với một mặt phẳng thì hai đường đó trùng nhau
• Nếu ba đường thẳng cùng đi qua $O$ và cùng vuông góc với $\Delta$ thì ba đường đó cùng nằm trong một mặt phẳng (mặt phẳng đi qua $O$ và vuông góc với $\Delta$)
• Nếu ba đường thẳng cùng đi qua $O$ và cùng vuông góc với $\Delta$ thì ba đường đó cùng nằm trong một mặt phẳng (mặt phẳng đi qua $O$ và vuông góc với $\Delta$)
Mặt phẳng trung trực
Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AB$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$.
$MA = MB \Leftrightarrow M$ thuộc mặt phẳng trung trực của $AB$
🎯 Ứng dụng quan trọng
Mặt phẳng trung trực là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. Đây là công cụ chính để chứng minh các quan hệ "cách đều" trong không gian
3
Liên hệ song song & vuông góc
▼
Đường thẳng vuông góc và đường thẳng song song
📌 Tính chất 3 & 4
TC 3: $a \perp (P)$ và $b \parallel a \Rightarrow b \perp (P)$ — đường // với đường vuông góc thì cũng vuông góc
TC 4: $a \perp (P)$, $b \perp (P)$ và $a \neq b \Rightarrow a \parallel b$ — hai đường cùng vuông một mặt thì song song
TC 4: $a \perp (P)$, $b \perp (P)$ và $a \neq b \Rightarrow a \parallel b$ — hai đường cùng vuông một mặt thì song song
Đường thẳng vuông góc và mặt phẳng song song
📌 Tính chất 5 & 6
TC 5: $\Delta \perp (P)$ và $(Q) \parallel (P) \Rightarrow \Delta \perp (Q)$ — đường vuông góc một mặt thì cũng vuông góc với mặt song song với mặt đó
TC 6: $(P) \perp \Delta$, $(Q) \perp \Delta$ và $(P) \neq (Q) \Rightarrow (P) \parallel (Q)$ — hai mặt cùng vuông một đường thì song song
TC 6: $(P) \perp \Delta$, $(Q) \perp \Delta$ và $(P) \neq (Q) \Rightarrow (P) \parallel (Q)$ — hai mặt cùng vuông một đường thì song song
Đường thẳng song song với mặt phẳng và đường vuông góc
📌 Tính chất 7 & 8
TC 7: $\Delta \perp (P)$ và $a \parallel (P) \Rightarrow \Delta \perp a$ — đường vuông góc mặt thì vuông góc với mọi đường // với mặt đó
TC 8: $a \perp \Delta$ và $(P) \perp \Delta \Rightarrow a \subset (P)$ hoặc $a \parallel (P)$
TC 8: $a \perp \Delta$ và $(P) \perp \Delta \Rightarrow a \subset (P)$ hoặc $a \parallel (P)$
💡 Ví dụ 2 – Tứ diện vuông tại O
Cho tứ diện $OABC$ có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc. Gọi $M, N$ tương ứng là trọng tâm các tam giác $ABC, OBC$. Chứng minh $MN \perp (OBC)$
Hình 4: Tứ diện $OABC$ với $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc, $D$ là trung điểm $BC$, $M, N$ là trọng tâm
B1.$OA$ vuông góc với hai đường thẳng $OB, OC$ cắt nhau tại $O$ (cùng thuộc $(OBC)$) → $OA \perp (OBC)$
B2.Gọi $D$ là trung điểm $BC$. Vẽ trung tuyến $AD$ của $\triangle ABC$ và $OD$ của $\triangle OBC$
B3.$M$ là trọng tâm $\triangle ABC$ → $M \in AD$ và $\dfrac{MA}{MD} = 2$. $N$ là trọng tâm $\triangle OBC$ → $N \in OD$ và $\dfrac{NO}{ND} = 2$
B4.Trong $\triangle ADO$ có $\dfrac{DM}{DA} = \dfrac{DN}{DO} = \dfrac{1}{3}$ (theo định lý Talet đảo) → $MN \parallel AO$
B5.Theo TC 3: $OA \perp (OBC)$ và $MN \parallel OA \Rightarrow MN \perp (OBC)$
Đây là điều phải chứng minh
4
Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
▼
🔧 Phương pháp
Bước 1: Chọn mặt phẳng $(P)$ cần chứng minh đường thẳng vuông góc với
Bước 2: Tìm hai đường thẳng cắt nhau trong $(P)$ mà đường thẳng đã cho vuông góc với
Bước 3: Áp dụng điều kiện đủ: $d \perp a$, $d \perp b$, $a \cap b \neq \varnothing$, $a, b \subset (P) \Rightarrow d \perp (P)$
Bước 2: Tìm hai đường thẳng cắt nhau trong $(P)$ mà đường thẳng đã cho vuông góc với
Bước 3: Áp dụng điều kiện đủ: $d \perp a$, $d \perp b$, $a \cap b \neq \varnothing$, $a, b \subset (P) \Rightarrow d \perp (P)$
🎯 Mẹo tìm hai đường cắt nhau
• Ưu tiên chọn hai cạnh kề của tam giác/tứ giác đã có trong mặt phẳng đó
• Tận dụng các góc vuông cho sẵn trong đề bài (như $SA \perp$ đáy, đáy là hình vuông/chữ nhật, tam giác vuông...)
• Có sẵn $d \perp (P)$ thì $d$ vuông góc với mọi đường trong $(P)$
• Tận dụng các góc vuông cho sẵn trong đề bài (như $SA \perp$ đáy, đáy là hình vuông/chữ nhật, tam giác vuông...)
• Có sẵn $d \perp (P)$ thì $d$ vuông góc với mọi đường trong $(P)$
💡 Ví dụ 3 – Hình chóp đáy tam giác cân
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác cân tại $A$ và $SA \perp (ABC)$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $BC \perp (SAM)$
B1.Vì $SA \perp (ABC)$ và $BC \subset (ABC)$ nên $SA \perp BC$
B2.$\triangle ABC$ cân tại $A$, $M$ là trung điểm $BC$ → $AM$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao → $AM \perp BC$
B3.$BC$ vuông góc với hai đường thẳng $SA$ và $AM$ cắt nhau tại $A$ (cùng thuộc $(SAM)$)
B4.Áp dụng điều kiện đủ → $BC \perp (SAM)$
Trong tam giác cân, trung tuyến từ đỉnh vuông góc với cạnh đáy — là kiến thức then chốt của bài này
5
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc qua mặt phẳng
▼
🔧 Phương pháp
Để chứng minh $d \perp \ell$:
Bước 1: Tìm mặt phẳng $(P)$ chứa $\ell$ sao cho có thể chứng minh được $d \perp (P)$
Bước 2: Chứng minh $d \perp (P)$ bằng phương pháp Dạng 1
Bước 3: Vì $\ell \subset (P)$ nên $d \perp \ell$
Bước 1: Tìm mặt phẳng $(P)$ chứa $\ell$ sao cho có thể chứng minh được $d \perp (P)$
Bước 2: Chứng minh $d \perp (P)$ bằng phương pháp Dạng 1
Bước 3: Vì $\ell \subset (P)$ nên $d \perp \ell$
💡 Ví dụ 4 – Hình chóp đáy hình vuông
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$, $SA = SC$ và $SB = SD$. Chứng minh $AC \perp SB$
Hình 5: Hình chóp $S.ABCD$ có đáy hình vuông tâm $O$, $SA = SC$ và $SB = SD$
B1.Vì $SA = SC$ và $O$ là trung điểm $AC$ → $\triangle SAC$ cân tại $S$ → $SO \perp AC$
B2.Tương tự, $SB = SD$ và $O$ là trung điểm $BD$ → $SO \perp BD$
B3.$SO$ vuông góc với hai đường $AC, BD$ cắt nhau tại $O$ trong $(ABCD)$ → $SO \perp (ABCD)$
B4.Vì $SO \perp (ABCD)$ và $AC \subset (ABCD)$ → $SO \perp AC$. Mặt khác $AC \perp BD$ (đường chéo hình vuông). Vậy $AC$ vuông góc với hai đường $SO, OB$ cắt nhau tại $O$ trong $(SOB) \Rightarrow AC \perp (SOB)$
B5.$SB \subset (SOB)$ nên $AC \perp SB$
Mấu chốt: tìm mặt phẳng chứa $SB$ mà $AC$ vuông góc — đó là $(SOB)$
6
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp công thức
| Nội dung | Phát biểu |
|---|---|
| Định nghĩa | $\Delta \perp (P) \Leftrightarrow \Delta \perp$ mọi đường thẳng trong $(P)$ |
| Điều kiện đủ | $d \perp a, d \perp b, a \cap b = \{O\}, a,b \subset (P) \Rightarrow d \perp (P)$ |
| TC 3 | $a \perp (P), b \parallel a \Rightarrow b \perp (P)$ |
| TC 4 | $a \perp (P), b \perp (P), a \neq b \Rightarrow a \parallel b$ |
| TC 5 | $\Delta \perp (P), (Q) \parallel (P) \Rightarrow \Delta \perp (Q)$ |
| TC 6 | $(P) \perp \Delta, (Q) \perp \Delta, (P) \neq (Q) \Rightarrow (P) \parallel (Q)$ |
| TC 7 | $\Delta \perp (P), a \parallel (P) \Rightarrow \Delta \perp a$ |
| Mặt phẳng trung trực | $MA = MB \Leftrightarrow M \in$ MPTT của $AB$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📚
Xem thêm: Bài viết chi tiết về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng — định nghĩa, điều kiện, tính chất và phương pháp giải trên edus.vn
→
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng!
25 câu · 5 dạng (5 câu tự luận)
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh