Lớp 11 · Toán
Bài 24
Phép Chiếu Vuông Góc – Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng
Phép chiếu vuông góc · Định lý ba đường vuông góc · Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
1
Phép chiếu vuông góc
▼
Định nghĩa
Phép chiếu song song lên mặt phẳng $(P)$ theo phương $\Delta$ vuông góc với $(P)$ được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $(P)$.
Hình 1: Cây cột vuông góc với mặt sân — khi tia sáng vuông góc với sân, bóng cột thu về một điểm
Quy ước
• Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $(P)$ còn gọi đơn giản là phép chiếu lên $(P)$
• Hình chiếu vuông góc của hình $\mathcal{H}$ trên $(P)$ còn gọi là hình chiếu của $\mathcal{H}$ trên $(P)$
• Phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song, nên có mọi tính chất của phép chiếu song song
• Hình chiếu vuông góc của hình $\mathcal{H}$ trên $(P)$ còn gọi là hình chiếu của $\mathcal{H}$ trên $(P)$
• Phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song, nên có mọi tính chất của phép chiếu song song
Tính chất cơ bản
Tính chất 1: Nếu $A \notin (P)$ và $A'$ là hình chiếu của $A$ trên $(P)$ thì:
$AA' \perp (P)$
Tính chất 2: Nếu $a \perp (P)$ thì hình chiếu của $a$ trên $(P)$ là một điểm (chính là giao điểm của $a$ và $(P)$).
🎯 Mẹo nhanh — Hình chiếu trong hình chóp khi $SA \perp$ đáy
Nếu $SA \perp (ABCD)$ thì:
• Hình chiếu của $S$ trên $(ABCD)$ là $A$
• Hình chiếu của $SB$ trên $(ABCD)$ là $AB$
• Hình chiếu của $\triangle SBC$ trên $(ABCD)$ là $\triangle ABC$
• Hình chiếu của $S$ trên $(ABCD)$ là $A$
• Hình chiếu của $SB$ trên $(ABCD)$ là $AB$
• Hình chiếu của $\triangle SBC$ trên $(ABCD)$ là $\triangle ABC$
2
Định lý ba đường vuông góc
▼
⭐ Định lý ba đường vuông góc
Cho đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ không vuông góc với nhau. Gọi $a'$ là hình chiếu vuông góc của $a$ trên $(P)$. Khi đó, với mọi đường thẳng $b$ nằm trong $(P)$:
$b \perp a \Leftrightarrow b \perp a'$
Hình 2: Bốn cột thẳng đứng $AM, BN, CP, DQ$ vuông góc với sân, dây $MP$ và $NQ$ — hình chiếu của $MP$ là $AC$, của $NQ$ là $BD$
Ý nghĩa của định lý
Định lý cho phép chuyển bài toán vuông góc giữa $a$ (trong không gian) và $b$ (trong $(P)$) thành bài toán vuông góc giữa $b$ và hình chiếu $a'$ trong cùng mặt phẳng $(P)$ — dễ kiểm tra hơn nhiều.
🔧 Cách áp dụng
Để chứng minh $b \perp a$ (với $b \subset (P)$):
• Bước 1: Xác định hình chiếu $a'$ của $a$ trên $(P)$
• Bước 2: Chứng minh $b \perp a'$ trong mặt phẳng $(P)$ (dùng tính chất hình phẳng)
• Bước 3: Áp dụng định lý → $b \perp a$
• Bước 1: Xác định hình chiếu $a'$ của $a$ trên $(P)$
• Bước 2: Chứng minh $b \perp a'$ trong mặt phẳng $(P)$ (dùng tính chất hình phẳng)
• Bước 3: Áp dụng định lý → $b \perp a$
💡 Ví dụ 1 – Áp dụng định lý ba đường vuông góc
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, tam giác $ABC$ cân tại $A$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $BC \perp SM$
Hình 3: Hình chóp $S.ABC$, $\triangle ABC$ cân tại $A$, $SA \perp (ABC)$, $M$ trung điểm $BC$
B1.Xác định hình chiếu của $SM$ trên $(ABC)$: vì $SA \perp (ABC)$ → hình chiếu của $S$ là $A$; mà $M \in (ABC)$ → hình chiếu của $M$ là $M$. Vậy hình chiếu của $SM$ trên $(ABC)$ là $AM$
B2.Kiểm tra $BC \perp AM$ trong $(ABC)$: $\triangle ABC$ cân tại $A$, $M$ là trung điểm $BC$ → $AM$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao → $AM \perp BC$
B3.Áp dụng định lý ba đường vuông góc: $AM$ là hình chiếu của $SM$, $BC \subset (ABC)$, $BC \perp AM$ → $BC \perp SM$
Định lý giúp chuyển bài toán không gian về bài toán phẳng dễ kiểm tra
3
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
▼
Định nghĩa
Trường hợp 1: Nếu $a \perp (P)$ thì góc giữa $a$ và $(P)$ bằng $90°$.
Trường hợp 2: Nếu $a$ không vuông góc với $(P)$ thì góc giữa $a$ và hình chiếu $a'$ của $a$ trên $(P)$ được gọi là góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$.
Trường hợp 2: Nếu $a$ không vuông góc với $(P)$ thì góc giữa $a$ và hình chiếu $a'$ của $a$ trên $(P)$ được gọi là góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$.
$0° \leq \alpha \leq 90°$
Hình 4: Góc cất cánh của máy bay là góc giữa đường thẳng chứa quỹ đạo bay và mặt phẳng nằm ngang
🎯 Nhận xét quan trọng
Cho điểm $A$ có hình chiếu $H$ trên mặt phẳng $(P)$. Lấy điểm $O$ thuộc $(P)$, $O \neq H$. Khi đó:
Góc giữa $AO$ và $(P) = \widehat{AOH}$
🔧 Phương pháp tính góc giữa $a$ và $(P)$
Bước 1: Xác định hình chiếu $a'$ của $a$ trên $(P)$
Bước 2: Góc cần tìm là góc giữa $a$ và $a'$
Bước 3: Tính bằng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
Bước 2: Góc cần tìm là góc giữa $a$ và $a'$
Bước 3: Tính bằng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
Công thức "vàng" khi $SA \perp$ đáy
Nếu $SA \perp (ABCD)$ và $B$ là điểm trong $(ABCD)$, $B \neq A$, thì:
• Hình chiếu của $SB$ trên $(ABCD)$ là $AB$
• Góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SBA}$
• Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ → $\tan \widehat{SBA} = \dfrac{SA}{AB}$
• Hình chiếu của $SB$ trên $(ABCD)$ là $AB$
• Góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SBA}$
• Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ → $\tan \widehat{SBA} = \dfrac{SA}{AB}$
💡 Ví dụ 2 – Tính góc giữa cạnh bên và đáy
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, $SA = a$, $CA = CB = a\sqrt{7}$, $AB = 2a$. Gọi $\alpha$ là góc giữa $SB$ và $(ABC)$. Tính $\tan \alpha$
Hình 5: Hình chóp $S.ABC$ với $SA \perp (ABC)$, $\triangle ABC$ cân tại $C$
B1.Vì $SA \perp (ABC)$ nên hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$ là $A$. Do đó hình chiếu của $SB$ là $AB$
B2.Góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{SBA} = \alpha$
B3.$\triangle SAB$ vuông tại $A$ nên $\tan \alpha = \dfrac{SA}{AB} = \dfrac{a}{2a} = \dfrac{1}{2}$
Vậy $\tan \alpha = \dfrac{1}{2}$, tức $\alpha \approx 26{,}57°$
4
Dạng 1: Xác định hình chiếu của điểm và đường thẳng
▼
🔧 Phương pháp
Hình chiếu của điểm $A$ trên $(P)$: chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống $(P)$
Hình chiếu của đường thẳng $a$ trên $(P)$:
• Nếu $a \perp (P)$ → hình chiếu là một điểm
• Nếu $a$ không $\perp (P)$ → hình chiếu là đường thẳng đi qua hình chiếu của các điểm trên $a$
Hình chiếu của tam giác: là tam giác (hoặc đoạn thẳng nếu thoái hoá) tạo bởi hình chiếu ba đỉnh
Hình chiếu của đường thẳng $a$ trên $(P)$:
• Nếu $a \perp (P)$ → hình chiếu là một điểm
• Nếu $a$ không $\perp (P)$ → hình chiếu là đường thẳng đi qua hình chiếu của các điểm trên $a$
Hình chiếu của tam giác: là tam giác (hoặc đoạn thẳng nếu thoái hoá) tạo bởi hình chiếu ba đỉnh
💡 Ví dụ 3 – Hình chiếu của tam giác $SBC$
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Xác định hình chiếu của tam giác $SBC$ trên (a) mặt phẳng $(ABC)$ và (b) mặt phẳng $(SAB)$
a)Trên $(ABC)$: hình chiếu của $S$ là $A$ (vì $SA \perp (ABC)$); hình chiếu của $B, C$ là chính chúng (vì $B, C \in (ABC)$). Vậy hình chiếu của $\triangle SBC$ là $\triangle ABC$
b)Trên $(SAB)$: cần tìm hình chiếu của $C$ trên $(SAB)$
$SA \perp (ABC) \Rightarrow SA \perp BC$. $\triangle ABC$ vuông tại $B$ $\Rightarrow BC \perp AB$. Vậy $BC \perp (SAB)$ → hình chiếu của $C$ trên $(SAB)$ là $B$
Hình chiếu của $S$ là $S$, của $B$ là $B$. Ba đỉnh $S, B, C$ chiếu thành $S, B, B$ → hình chiếu của $\triangle SBC$ là đoạn thẳng $SB$
Khi ba điểm có hai điểm chiếu trùng nhau, tam giác hình chiếu "thoái hoá" thành đoạn thẳng
5
Dạng 2: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
▼
🔧 Quy trình chuẩn
Bước 1: Xác định hình chiếu $a'$ của đường thẳng $a$ trên mặt phẳng $(P)$
Bước 2: Xác định góc cần tìm là $\widehat{(a, a')}$, thường là góc tại giao điểm của $a$ và $(P)$
Bước 3: Tính các cạnh cần thiết bằng định lý Pythagore
Bước 4: Áp dụng tỉ số lượng giác $\tan, \sin, \cos$ trong tam giác vuông
Bước 2: Xác định góc cần tìm là $\widehat{(a, a')}$, thường là góc tại giao điểm của $a$ và $(P)$
Bước 3: Tính các cạnh cần thiết bằng định lý Pythagore
Bước 4: Áp dụng tỉ số lượng giác $\tan, \sin, \cos$ trong tam giác vuông
💡 Ví dụ 4 – Góc giữa $SC$ và đáy
Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{2}$. Tính góc giữa $SC$ và $(ABCD)$
B1.$SA \perp (ABCD)$ → hình chiếu của $S$ trên $(ABCD)$ là $A$. Hình chiếu của $C$ là $C$ → hình chiếu của $SC$ là $AC$
B2.Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$
B3.$ABCD$ hình vuông cạnh $a$ → $AC = a\sqrt{2}$. $\triangle SAC$ vuông tại $A$
B4.$\tan \widehat{SCA} = \dfrac{SA}{AC} = \dfrac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1 \Rightarrow \widehat{SCA} = 45°$
Vậy góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ bằng $45°$
💡 Ví dụ 5 – Góc với mặt phẳng (mặt bên)
Cùng đề Ví dụ 4. Tính góc giữa $BD$ và mặt phẳng $(SAC)$
B1.$SA \perp (ABCD) \Rightarrow SA \perp BD$. $ABCD$ hình vuông $\Rightarrow AC \perp BD$. $BD$ vuông với $SA$ và $AC$ cắt nhau tại $A$ trong $(SAC)$ → $BD \perp (SAC)$
B2.Theo định nghĩa, khi $BD \perp (SAC)$ thì góc giữa $BD$ và $(SAC)$ bằng $90°$
Vậy góc giữa $BD$ và $(SAC)$ bằng $90°$
6
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp công thức
| Nội dung | Phát biểu / Công thức |
|---|---|
| Định nghĩa phép chiếu vuông góc | Phép chiếu song song theo phương $\perp (P)$ |
| Định lý ba đường vuông góc | $b \subset (P)$, $a'$ là hình chiếu của $a$: $b \perp a \Leftrightarrow b \perp a'$ |
| Góc khi $a \perp (P)$ | $90°$ |
| Góc khi $a$ không $\perp (P)$ | Góc giữa $a$ và hình chiếu $a'$ của $a$ trên $(P)$ |
| Phạm vi góc | $0° \leq \alpha \leq 90°$ |
| Khi $SA \perp$ đáy | Góc $(SB,$ đáy$) = \widehat{SBA}$, $\tan = \dfrac{SA}{AB}$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📚
Xem thêm: Bài viết chi tiết về phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng với mặt phẳng — lý thuyết, công thức và phương pháp giải trên edus.vn
→
1
—
Điểm: 0/26
🎯
Luyện tập Phép chiếu vuông góc!
26 câu · 6 dạng (6 câu tự luận)
🏆
Tuyệt vời!
0/26
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh