Menu Học Tập

Bài tập Toán 11 Bài 27: Thể tích (25 bài tập)

Lớp 11 · Toán Bài 27

Thể Tích Khối Đa Diện

Khối chóp · Lăng trụ · Khối hộp · Chóp cụt đều · Tứ diện

1
Thể tích khối chóp
▼
Định nghĩa
Phần không gian được giới hạn bởi hình chóp được gọi là khối chóp. Đỉnh, mặt, cạnh, đường cao của khối chóp tương ứng với hình chóp.
Công thức thể tích khối chóp
$V = \dfrac{1}{3} S \cdot h$
Trong đó:
• $S$ là diện tích đáy
• $h$ là chiều cao – khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng đáy
Khối chóp với chiều cao h
Hình 1: Khối chóp $S.ABCD$ với chiều cao $h = SO$
Cách xác định chiều cao $h$
• Chóp đều: hình chiếu của đỉnh trên đáy là tâm đa giác đáy.
• Chóp có $SA \perp$ đáy: chiều cao $= SA$.
• Chóp có mặt bên vuông với đáy: kẻ đường cao trong mặt bên đó.
• Chóp có đỉnh cách đều các đỉnh đáy: hình chiếu của đỉnh là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
📐 Khoảng cách từ tâm đa giác đều đến đỉnh đáy
• Tam giác đều cạnh $a$: $OA = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
• Hình vuông cạnh $a$: $OA = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
• Lục giác đều cạnh $a$: $OA = a$
💡 Ví dụ minh hoạ
Cho khối chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $b$. Tính thể tích khối chóp
B1.Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ — đây là hình chiếu của $S$ trên $(ABCD)$ B2.Tính $OA$: $OA = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ B3.Tam giác $SOA$ vuông tại $O$, áp dụng Pythagore: $SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{b^2 - \dfrac{a^2}{2}}$ B4.Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$ B5.Thể tích: $V = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \sqrt{b^2 - \dfrac{a^2}{2}} = \dfrac{a^2}{3}\sqrt{b^2 - \dfrac{a^2}{2}}$ Vậy $V = \dfrac{a^2}{3}\sqrt{b^2 - \dfrac{a^2}{2}}$
2
Thể tích khối lăng trụ
▼
Định nghĩa
Phần không gian được giới hạn bởi hình lăng trụ được gọi là khối lăng trụ.
Công thức thể tích khối lăng trụ
$V = S \cdot h$
Trong đó:
• $S$ là diện tích đáy
• $h$ là chiều cao – khoảng cách giữa hai mặt đáy
Khối lăng trụ với chiều cao h
Hình 2: Khối lăng trụ với chiều cao $h$
Lăng trụ đứng và lăng trụ xiên
• Lăng trụ đứng: cạnh bên vuông góc với đáy → chiều cao $h = $ độ dài cạnh bên.
• Lăng trụ xiên: cạnh bên không vuông góc với đáy → cần xác định hình chiếu của một đỉnh để tính chiều cao.
• Chú ý: Trong cả hai trường hợp, hai đáy luôn song song và bằng nhau.
⭐ So sánh với khối chóp
Hai khối có cùng đáy và cùng chiều cao thì:
$V_{\text{chóp}} = \dfrac{1}{3} V_{\text{lăng trụ}}$
💡 Ví dụ minh hoạ
Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AA' = 5$ cm, $AB = 6$ cm, $BC = 2$ cm, $\widehat{ABC} = 150°$. Tính thể tích khối lăng trụ
B1.Lăng trụ đứng nên chiều cao $h = AA' = 5$ cm B2.Tính diện tích đáy theo công thức diện tích tam giác: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin\widehat{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 \cdot \sin 150° = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot \dfrac{1}{2} = 3$ (cm$^2$) B3.Áp dụng công thức: $V = S_{ABC} \cdot h = 3 \cdot 5 = 15$ (cm$^3$) Vậy thể tích khối lăng trụ là $15$ cm$^3$
3
Thể tích khối hộp
▼
Định nghĩa
Khối hộp là trường hợp đặc biệt của khối lăng trụ có đáy là hình bình hành. Tất cả các mặt của khối hộp đều là hình bình hành.
Công thức thể tích khối hộp
$V = S \cdot h$
Trong đó $S$ là diện tích một mặt và $h$ là chiều cao tương ứng (khoảng cách từ mặt đối diện đến mặt đó).
Khối hộp ABCD.A'B'C'D'
Hình 3: Khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$
Các trường hợp đặc biệt
• Hình hộp chữ nhật kích thước $a, b, c$: $V = abc$.
• Hình lập phương cạnh $a$: $V = a^3$.
• Hình hộp đứng: cạnh bên vuông góc với đáy → $h = $ độ dài cạnh bên.
• Hình hộp xiên: cạnh bên không vuông góc với đáy → cần tính $h$ qua góc giữa cạnh bên và đáy.
⭐ Tính chiều cao hộp xiên
Nếu $AA'$ tạo với mặt đáy một góc $\alpha$, thì chiều cao của khối hộp là:
$h = AA' \cdot \sin \alpha$
💡 Ví dụ minh hoạ
Cho khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = 6$ cm, $AD = 4$ cm, $AA' = 5$ cm, $\widehat{BAD} = 60°$, góc giữa $AA'$ và $(ABCD)$ bằng $30°$. Tính thể tích khối hộp
B1.Diện tích đáy $ABCD$ là hình bình hành: $S = AB \cdot AD \cdot \sin\widehat{BAD} = 6 \cdot 4 \cdot \sin 60° = 24 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ (cm$^2$) B2.Gọi $H$ là hình chiếu của $A'$ trên $(ABCD)$. Khi đó $\widehat{A'AH} = 30°$ là góc giữa $AA'$ và đáy B3.Trong tam giác vuông $A'AH$: $A'H = AA' \cdot \sin 30° = 5 \cdot \dfrac{1}{2} = 2{,}5$ (cm) B4.Thể tích khối hộp: $V = S \cdot A'H = 12\sqrt{3} \cdot 2{,}5 = 30\sqrt{3}$ (cm$^3$) Vậy thể tích khối hộp là $30\sqrt{3}$ cm$^3$
4
Thể tích khối chóp cụt đều
▼
Định nghĩa
Khối chóp cụt đều được tạo bởi mặt phẳng song song với đáy của một khối chóp đều, cắt khối chóp đó thành hai phần. Phần chứa đáy là khối chóp cụt đều.
Công thức thể tích khối chóp cụt đều
$V = \dfrac{1}{3}\left(S + S' + \sqrt{S \cdot S'}\right) \cdot h$
Trong đó:
• $S$ là diện tích đáy lớn
• $S'$ là diện tích đáy bé
• $h$ là chiều cao – khoảng cách giữa hai đáy
Khối chóp cụt đều
Hình 4: Khối chóp cụt đều với hai đáy song song
Các bước tính
• Bước 1: Xác định cạnh đáy lớn, cạnh đáy bé, chiều cao $h$.
• Bước 2: Tính $S$ (đáy lớn), $S'$ (đáy bé) và $\sqrt{SS'}$.
• Bước 3: Thay vào công thức.
⭐ Mẹo: dùng hiệu thể tích
Nếu khó tính chiều cao chóp cụt, có thể tính:
$V_{\text{chóp cụt}} = V_{\text{chóp lớn}} - V_{\text{chóp nhỏ}}$
(chóp nhỏ là phần bị cắt phía trên).
💡 Ví dụ minh hoạ
Cho khối chóp cụt đều $ABC.A'B'C'$ có đường cao $h$, hai đáy là tam giác đều cạnh tương ứng $2a$ và $a$. Tính thể tích khối chóp cụt
B1.Diện tích đáy lớn (tam giác đều cạnh $2a$): $S = \dfrac{(2a)^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$ B2.Diện tích đáy bé (tam giác đều cạnh $a$): $S' = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ B3.Tính $\sqrt{SS'}$: $\sqrt{SS'} = \sqrt{a^2\sqrt{3} \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\dfrac{3a^4}{4}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}$ B4.Thay vào công thức: $V = \dfrac{1}{3}\left(a^2\sqrt{3} + \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} + \dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\right) h = \dfrac{1}{3} \cdot a^2\sqrt{3} \cdot \dfrac{7}{4} \cdot h = \dfrac{7a^2\sqrt{3}\,h}{12}$ Vậy $V = \dfrac{7a^2\sqrt{3}\,h}{12}$
5
Thể tích khối tứ diện
▼
Công thức tổng quát
Khối tứ diện là khối chóp tam giác. Áp dụng công thức $V = \dfrac{1}{3}Sh$:
$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\text{một mặt}} \cdot h_{\text{tương ứng}}$
Nhận xét quan trọng
Có thể chọn bất kỳ mặt nào của tứ diện làm đáy, miễn là dễ tính diện tích và chiều cao tương ứng.

Chiến lược: chọn mặt vuông góc với một cạnh đặc biệt (cạnh có sẵn vuông góc với một mặt) làm đáy.
Trường hợp 1 — Tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc
Nếu tứ diện $OABC$ có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc tại đỉnh $O$ với độ dài $OA = a, OB = b, OC = c$, thì:
$V = \dfrac{1}{6} \cdot OA \cdot OB \cdot OC = \dfrac{1}{6}abc$
Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc
Hình 5: Tứ diện $OABC$ với $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc
Trường hợp 2 — Tứ diện đều cạnh $a$
Tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng nhau (đều bằng $a$). Khi đó:
$V = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$    và chiều cao $h = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
Tứ diện đều cạnh a
Hình 6: Tứ diện đều cạnh $a$
💡 Ví dụ minh hoạ
Cho tứ diện $OABC$ có các cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc và $OA = 3$ cm, $OB = 4$ cm, $OC = 5$ cm. Tính thể tích tứ diện
B1.Nhận dạng: tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc tại $O$ B2.Áp dụng công thức $V = \dfrac{1}{6} \cdot OA \cdot OB \cdot OC$: $V = \dfrac{1}{6} \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 10$ (cm$^3$) Vậy thể tích tứ diện là $10$ cm$^3$
6
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp công thức thể tích
Khối hìnhCông thức thể tích
Khối chóp $V = \dfrac{1}{3} S \cdot h$
Khối lăng trụ $V = S \cdot h$
Khối hộp $V = S \cdot h$
Hình hộp chữ nhật $a \times b \times c$ $V = abc$
Hình lập phương cạnh $a$ $V = a^3$
Khối chóp cụt đều $V = \dfrac{1}{3}(S + S' + \sqrt{SS'}) \cdot h$
Tứ diện $OABC$ có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc $V = \dfrac{1}{6} \cdot OA \cdot OB \cdot OC$
Tứ diện đều cạnh $a$ $V = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📋 Diện tích đáy thường gặp
Hình đáyDiện tích
Tam giác đều cạnh $a$$S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Hình vuông cạnh $a$$S = a^2$
Hình chữ nhật $a \times b$$S = ab$
Hình bình hành cạnh $a, b$, góc $\alpha$$S = ab\sin\alpha$
Tam giác $ABC$ biết $AB, AC$ và $\widehat{A}$$S = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin\widehat{A}$
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📚 Xem thêm: Bài 27 Thể tích khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp, khối chóp cụt đều – Lý thuyết & công thức trên edus.vn →
1
—
Điểm: 0/25
🎯

Luyện tập Thể tích khối đa diện!

25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh

Bài tập Toán 11 Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập (25 bài tập) ( 14/05 )

Bài tập Toán 11 Bài 29: Công thức cộng xác suất (25 bài tập) ( 14/05 )

Bài tập Toán 11 Bài 33: Đạo hàm cấp hai (25 bài tập) ( 14/05 )

Bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm (25 bài tập) ( 14/05 )

Bài tập Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (25 bài tập) ( 14/05 )