Lớp 11 · Toán
Bài 21
Phương Trình Và Bất Phương Trình Mũ – Lôgarit
Đưa về cùng cơ số · Lôgarit hóa · Quy tắc so sánh · Bài toán thực tế
1
Phương trình mũ
▼
Phương trình mũ cơ bản
Phương trình mũ cơ bản có dạng $a^x = b$ (với $0 < a \neq 1$).
| Điều kiện của $b$ | Kết luận |
|---|---|
| $b > 0$ | Phương trình có nghiệm duy nhất $x = \log_a b$ |
| $b \leq 0$ | Phương trình vô nghiệm (vì $a^x > 0$ với mọi $x$) |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
Hình 1: Minh hoạ phương trình $a^x = b$ — đường thẳng $y = b$ cắt đồ thị $y = a^x$ tại đúng một điểm khi $b > 0$
Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số
Nếu $0 < a \neq 1$ thì:
$a^u = a^v \Leftrightarrow u = v$
🔧 Các bước giải
Bước 1: Nhận dạng cơ số chung (mẹo: $4, 8, 16 \to$ cơ số $2$; $9, 27, 81 \to$ cơ số $3$; $100, 0{,}1 \to$ cơ số $10$)
Bước 2: Biến đổi hai vế về cùng cơ số $a$
Bước 3: Áp dụng quy tắc $a^u = a^v \Leftrightarrow u = v$
Bước 4: Giải phương trình với ẩn ở số mũ
Bước 2: Biến đổi hai vế về cùng cơ số $a$
Bước 3: Áp dụng quy tắc $a^u = a^v \Leftrightarrow u = v$
Bước 4: Giải phương trình với ẩn ở số mũ
💡 Ví dụ 1 – Đưa về cùng cơ số
Giải phương trình $3^{x+1} = \dfrac{1}{3^{1-2x}}$
B1.Đưa vế phải về cơ số $3$: $\dfrac{1}{3^{1-2x}} = 3^{-(1-2x)} = 3^{2x-1}$
B2.Phương trình trở thành $3^{x+1} = 3^{2x-1}$
B3.Áp dụng quy tắc cùng cơ số: $x + 1 = 2x - 1 \Leftrightarrow x = 2$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 2$
Phương pháp 2: Lôgarit hóa
Khi không thể đưa về cùng cơ số, ta lấy lôgarit hai vế (thường là $\log$ hoặc $\ln$) và áp dụng tính chất $\log a^x = x \cdot \log a$
💡 Ví dụ 2 – Lôgarit hóa
Giải phương trình $10^{x-1} = 2022$
B1.Vì $2022$ không thể viết thành luỹ thừa của $10$, ta lấy lôgarit thập phân hai vế
B2.$\log 10^{x-1} = \log 2022 \Leftrightarrow (x-1) \cdot \log 10 = \log 2022$
B3.$x - 1 = \log 2022 \Leftrightarrow x = 1 + \log 2022$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 1 + \log 2022$
2
Phương trình lôgarit
▼
Phương trình lôgarit cơ bản
Phương trình lôgarit cơ bản có dạng $\log_a x = b$ (với $0 < a \neq 1$)
$\log_a x = b \Leftrightarrow x = a^b$
Phương trình lôgarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất $x = a^b$
Phương pháp đưa về cùng cơ số
Nếu $u, v > 0$ và $0 < a \neq 1$ thì:
$\log_a u = \log_a v \Leftrightarrow u = v$
⚠️ Lưu ý quan trọng
• Luôn tìm điều kiện xác định trước khi giải (biểu thức trong lôgarit phải dương)
• Sau khi giải, kiểm tra nghiệm với điều kiện đã tìm — nghiệm không thoả thì loại
• Sau khi giải, kiểm tra nghiệm với điều kiện đã tìm — nghiệm không thoả thì loại
🔧 Các bước giải
Bước 1: Tìm điều kiện xác định (biểu thức trong log $> 0$)
Bước 2: Đưa các lôgarit về cùng cơ số (nếu khác cơ số)
Bước 3: Gộp lôgarit (quy tắc tích/thương) hoặc chuyển sang dạng mũ
Bước 4: Giải phương trình và đối chiếu điều kiện
Bước 2: Đưa các lôgarit về cùng cơ số (nếu khác cơ số)
Bước 3: Gộp lôgarit (quy tắc tích/thương) hoặc chuyển sang dạng mũ
Bước 4: Giải phương trình và đối chiếu điều kiện
💡 Ví dụ 3 – PT lôgarit cơ bản
Giải phương trình $4 + 3\log(2x) = 16$
ĐK.$2x > 0 \Leftrightarrow x > 0$
B1.$3\log(2x) = 16 - 4 = 12 \Leftrightarrow \log(2x) = 4$
B2.Chuyển sang dạng mũ: $2x = 10^4 = 10000$
B3.$x = 5000$ (thoả mãn điều kiện $x > 0$)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 5000$
💡 Ví dụ 4 – Đưa về cùng cơ số
Giải phương trình $\log_3(x+1) = \log_3(x^2 - 1)$
ĐK.$x + 1 > 0$ và $x^2 - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$
B1.Hai vế cùng cơ số $3$ → $x + 1 = x^2 - 1$
B2.$x^2 - x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1 \pm 3}{2}$ → $x = 2$ hoặc $x = -1$
B3.Đối chiếu điều kiện $x > 1$: chỉ $x = 2$ thoả mãn, loại $x = -1$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 2$
🎯 Mẹo đổi cơ số thường gặp
• $\log_4 x = \dfrac{1}{2}\log_2 x$
• $\log_9 x = \dfrac{1}{2}\log_3 x$
• $\log_{1/a} x = -\log_a x$
• Tổng quát: $\log_{a^k} x = \dfrac{1}{k}\log_a x$
• $\log_9 x = \dfrac{1}{2}\log_3 x$
• $\log_{1/a} x = -\log_a x$
• Tổng quát: $\log_{a^k} x = \dfrac{1}{k}\log_a x$
3
Bất phương trình mũ
▼
Bất phương trình mũ cơ bản
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng $a^x > b$ (hoặc $\geq, <, \leq$) với $0 < a \neq 1$. Xét $a^x > b$:
| Điều kiện | Tập nghiệm |
|---|---|
| $b \leq 0$ | $\mathbb{R}$ (mọi $x$ đều là nghiệm vì $a^x > 0$ luôn lớn hơn $b$) |
| $b > 0$ và $a > 1$ | $x > \log_a b$ |
| $b > 0$ và $0 < a < 1$ | $x < \log_a b$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
Hình 2: Minh hoạ bất phương trình $a^x > b$ — tập nghiệm là khoảng $x$ mà đồ thị nằm trên đường $y = b$
⭐ Quy tắc so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số
Đây là quy tắc QUAN TRỌNG NHẤT khi giải BPT mũ:
| Cơ số | Quy tắc |
|---|---|
| $a > 1$ | $a^u > a^v \Leftrightarrow u > v$ — giữ nguyên chiều |
| $0 < a < 1$ | $a^u > a^v \Leftrightarrow u < v$ — đổi chiều bất đẳng thức |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
🎯 Mẹo ghi nhớ
"Cơ số lớn hơn $1$ thì giữ chiều — cơ số nhỏ hơn $1$ thì đổi chiều"
💡 Ví dụ 5 – Cơ số lớn hơn 1
Giải bất phương trình $16^x > \dfrac{1}{8}$
B1.Đưa về cơ số $2$: $16 = 2^4$, $\dfrac{1}{8} = 2^{-3}$
B2.$(2^4)^x > 2^{-3} \Leftrightarrow 2^{4x} > 2^{-3}$
B3.Cơ số $2 > 1$ → giữ nguyên chiều: $4x > -3 \Leftrightarrow x > -\dfrac{3}{4}$
Tập nghiệm $\left(-\dfrac{3}{4}; +\infty\right)$
💡 Ví dụ 6 – Cơ số nhỏ hơn 1 (bài toán ô tô)
Giá trị còn lại của ô tô sau $t$ năm là $V(t) = 780 \cdot (0{,}905)^t$ (triệu đồng). Sau bao nhiêu năm thì giá trị còn lại không quá $300$ triệu?
B1.Cần tìm $t$ sao cho $V(t) \leq 300 \Leftrightarrow 780 \cdot (0{,}905)^t \leq 300$
B2.$(0{,}905)^t \leq \dfrac{300}{780} = \dfrac{5}{13}$
B3.Cơ số $0{,}905 < 1$ → đổi chiều: $t \geq \log_{0{,}905} \dfrac{5}{13}$
B4.Đổi cơ số: $t \geq \dfrac{\ln(5/13)}{\ln 0{,}905} \approx 9{,}57$
Sau khoảng $10$ năm sử dụng, giá trị của xe còn lại không quá $300$ triệu đồng
4
Bất phương trình lôgarit
▼
Bất phương trình lôgarit cơ bản
Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng $\log_a x > b$ (hoặc $\geq, <, \leq$) với $0 < a \neq 1$. Xét $\log_a x > b$:
| Cơ số | Tập nghiệm |
|---|---|
| $a > 1$ | $x > a^b$ |
| $0 < a < 1$ | $0 < x < a^b$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
⭐ Quy tắc so sánh hai lôgarit cùng cơ số
| Cơ số | Quy tắc |
|---|---|
| $a > 1$ | $\log_a u > \log_a v \Leftrightarrow u > v > 0$ — giữ chiều |
| $0 < a < 1$ | $\log_a u > \log_a v \Leftrightarrow 0 < u < v$ — đổi chiều |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
⚠️ Lưu ý quan trọng
• Luôn tìm điều kiện xác định (biểu thức trong lôgarit phải dương)
• Sau khi giải, kết hợp nghiệm với điều kiện để được tập nghiệm cuối cùng
• Quy tắc "cơ số lớn giữ chiều, cơ số nhỏ đổi chiều" áp dụng giống BPT mũ
• Sau khi giải, kết hợp nghiệm với điều kiện để được tập nghiệm cuối cùng
• Quy tắc "cơ số lớn giữ chiều, cơ số nhỏ đổi chiều" áp dụng giống BPT mũ
💡 Ví dụ 7 – Cơ số lớn hơn 1
Giải bất phương trình $\log_3(x + 7) \geq -1$
ĐK.$x + 7 > 0 \Leftrightarrow x > -7$
B1.Chuyển $-1$ thành lôgarit: $-1 = \log_3 \dfrac{1}{3}$
B2.$\log_3(x+7) \geq \log_3 \dfrac{1}{3}$
B3.Cơ số $3 > 1$ → giữ chiều: $x + 7 \geq \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow x \geq -\dfrac{20}{3}$
B4.Kết hợp ĐK: $-\dfrac{20}{3} \approx -6{,}67 > -7$ nên ĐK tự động thoả
Tập nghiệm $\left[-\dfrac{20}{3}; +\infty\right)$
💡 Ví dụ 8 – Cơ số nhỏ hơn 1
Giải bất phương trình $\log_{0{,}5}(x + 7) \geq \log_{0{,}5}(2x - 1)$
ĐK.$x + 7 > 0$ và $2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}$
B1.Cơ số $0{,}5 < 1$ → đổi chiều: $x + 7 \leq 2x - 1$
B2.$7 + 1 \leq 2x - x \Leftrightarrow x \geq 8$
B3.Kết hợp với ĐK $x > \dfrac{1}{2}$: $x \geq 8$ thoả
Tập nghiệm $[8; +\infty)$
5
Bài toán thực tế
▼
Các mô hình thường gặp
| Ứng dụng | Công thức |
|---|---|
| Lãi kép | $A = P(1+r)^n$ |
| Giá trị còn lại | $V(t) = V_0 \cdot a^t$ |
| Tăng trưởng vi khuẩn | $N(t) = N_0 \cdot e^{kt}$ |
| Phân rã / nguội lạnh | $T = T_\infty + C \cdot e^{-kt}$ |
| Độ pH | $\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
🔧 Các bước giải
Bước 1: Xác định công thức và các đại lượng đã biết
Bước 2: Thiết lập phương trình hoặc bất phương trình theo yêu cầu
Bước 3: Giải bằng phương pháp lôgarit hoá
Bước 4: Làm tròn theo ngữ cảnh (thời gian tối thiểu → làm tròn lên; tối đa → làm tròn xuống)
Bước 2: Thiết lập phương trình hoặc bất phương trình theo yêu cầu
Bước 3: Giải bằng phương pháp lôgarit hoá
Bước 4: Làm tròn theo ngữ cảnh (thời gian tối thiểu → làm tròn lên; tối đa → làm tròn xuống)
💡 Ví dụ 9 – Lãi kép
Gửi $500$ triệu đồng với lãi suất $7{,}5\%/$năm theo thể thức lãi kép kỳ hạn $12$ tháng. Tổng số tiền sau $n$ năm là $A = 500 \cdot (1{,}075)^n$ (triệu đồng). Tính thời gian tối thiểu để thu được ít nhất $800$ triệu đồng
B1.Cần tìm $n$ sao cho $500 \cdot (1{,}075)^n \geq 800$
B2.$(1{,}075)^n \geq \dfrac{800}{500} = 1{,}6$
B3.Cơ số $1{,}075 > 1$ → giữ chiều: $n \geq \log_{1{,}075} 1{,}6$
B4.$n \geq \dfrac{\ln 1{,}6}{\ln 1{,}075} \approx \dfrac{0{,}4700}{0{,}0723} \approx 6{,}5$
B5.Vì gửi theo kỳ hạn năm nên làm tròn lên: $n = 7$
Thời gian tối thiểu là $7$ năm
💡 Ví dụ 10 – Vi khuẩn
Số lượng vi khuẩn sau $t$ giờ: $N(t) = 500 \cdot e^{0{,}4t}$. Sau bao nhiêu giờ thì $N(t)$ vượt mức $80\,000$ con?
B1.$500 \cdot e^{0{,}4t} > 80\,000 \Leftrightarrow e^{0{,}4t} > 160$
B2.Lấy $\ln$ hai vế (cơ số $e > 1$, giữ chiều): $0{,}4t > \ln 160$
B3.$t > \dfrac{\ln 160}{0{,}4} \approx \dfrac{5{,}075}{0{,}4} \approx 12{,}69$
Sau khoảng $13$ giờ nuôi cấy, số lượng vi khuẩn vượt mức $80\,000$ con
💡 Ví dụ 11 – Nồng độ pH
Tính nồng độ ion hydrogen (mol/lít) của dung dịch có $\text{pH} = 8$
B1.Công thức: $\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$
B2.$8 = -\log[\text{H}^+] \Leftrightarrow \log[\text{H}^+] = -8$
B3.Chuyển sang dạng mũ: $[\text{H}^+] = 10^{-8}$ (mol/lít)
Nồng độ ion hydrogen của dung dịch là $10^{-8}$ mol/lít
6
Tổng kết
▼
📋 Bảng nghiệm phương trình cơ bản
| Loại phương trình | Dạng | Nghiệm |
|---|---|---|
| Phương trình mũ | $a^x = b$ ($b > 0$) | $x = \log_a b$ |
| Phương trình lôgarit | $\log_a x = b$ | $x = a^b$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📋 Bảng quy tắc so sánh
| Bất đẳng thức | $a > 1$ | $0 < a < 1$ |
|---|---|---|
| $a^u > a^v$ | $u > v$ (giữ chiều) | $u < v$ (đổi chiều) |
| $\log_a u > \log_a v$ | $u > v > 0$ | $0 < u < v$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📚
Xem thêm: Bài viết chi tiết về phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit — lý thuyết, công thức và phương pháp giải trên edus.vn
→
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập PT, BPT mũ và lôgarit!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh