Lớp 11 · Toán
Bài 5
Dãy Số
Định nghĩa · Cách cho dãy số · Dãy số tăng – giảm · Dãy số bị chặn
1
Định nghĩa dãy số
▼
Dãy số vô hạn
Dãy số vô hạn là hàm số $u$ xác định trên tập số nguyên dương $\mathbb{N}^*$. Mỗi giá trị của hàm số đó là một số hạng của dãy.
$u: \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$
$n \mapsto u(n) = u_n$
$n \mapsto u(n) = u_n$
📝 Cách kí hiệu
• Dãy số $(u_n)$ được viết khai triển: $u_1, u_2, u_3, \ldots, u_n, \ldots$
• $u_1$ là số hạng đầu, $u_n$ là số hạng tổng quát (số hạng thứ $n$).
• $u_1$ là số hạng đầu, $u_n$ là số hạng tổng quát (số hạng thứ $n$).
Dãy số hữu hạn
Dãy số hữu hạn là hàm số $u$ xác định trên tập $\{1; 2; 3; \ldots; m\}$ với $m \in \mathbb{N}^*$.
Khi đó, $u_1$ là số hạng đầu, $u_m$ là số hạng cuối.
Khi đó, $u_1$ là số hạng đầu, $u_m$ là số hạng cuối.
📝 Ví dụ
• Dãy số $1; 3; 5; 7; 9$ là dãy hữu hạn (5 số hạng).
• Dãy $1; 2; 3; 4; \ldots; n; \ldots$ là dãy vô hạn (các số tự nhiên dương).
• Dãy $1; 2; 3; 4; \ldots; n; \ldots$ là dãy vô hạn (các số tự nhiên dương).
2
Các cách cho một dãy số
▼
3 cách thường dùng
Có 3 cách thường dùng để cho một dãy số:
① Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho dãy hữu hạn).
② Công thức của số hạng tổng quát $u_n$.
③ Hệ thức truy hồi (số hạng sau được tính theo số hạng trước).
① Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho dãy hữu hạn).
② Công thức của số hạng tổng quát $u_n$.
③ Hệ thức truy hồi (số hạng sau được tính theo số hạng trước).
▸ Cách 1: Công thức số hạng tổng quát
$u_n = f(n)$
Cho công thức tính trực tiếp $u_n$ theo $n$. Muốn tìm số hạng nào, chỉ cần thay $n$ vào công thức.
📝 Ví dụ 1
Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2n + 1$. Tìm 4 số hạng đầu.
Thay $n = 1, 2, 3, 4$ vào công thức:
• $u_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$
• $u_2 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$
• $u_3 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$
• $u_4 = 2 \cdot 4 + 1 = 9$
Kết luận: Bốn số hạng đầu là $3, 5, 7, 9$.
▸ Cách 2: Hệ thức truy hồi
$\left\{\begin{array}{l} u_1 = a \\ u_n = g(u_{n-1}) \, (n \geq 2) \end{array}\right.$
Cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu) và quy tắc tính số hạng sau từ số hạng trước.
📝 Ví dụ 2
Cho dãy $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 1$, $u_n = u_{n-1} + 3$ với $n \geq 2$. Tìm 5 số hạng đầu.
• $u_1 = 1$ (đã cho).
• $u_2 = u_1 + 3 = 1 + 3 = 4$.
• $u_3 = u_2 + 3 = 4 + 3 = 7$.
• $u_4 = u_3 + 3 = 7 + 3 = 10$.
• $u_5 = u_4 + 3 = 10 + 3 = 13$.
Kết luận: Năm số hạng đầu là $1, 4, 7, 10, 13$.
💡 Mẹo nhớ
• Công thức tổng quát: tính nhanh được mọi số hạng, kể cả số hạng thứ $1000$.
• Hệ thức truy hồi: muốn tìm $u_{100}$ thì phải tính lần lượt từ $u_1$ đến $u_{100}$ (hoặc tìm công thức tổng quát từ hệ thức).
• Hệ thức truy hồi: muốn tìm $u_{100}$ thì phải tính lần lượt từ $u_1$ đến $u_{100}$ (hoặc tìm công thức tổng quát từ hệ thức).
3
Dãy số tăng, dãy số giảm
▼
Định nghĩa
Cho dãy số $(u_n)$. Khi đó:
▸ Dãy số tăng
$(u_n)$ tăng $\Leftrightarrow u_{n+1} > u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$
Mỗi số hạng đứng sau lớn hơn số hạng đứng trước nó.
▸ Dãy số giảm
$(u_n)$ giảm $\Leftrightarrow u_{n+1} < u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$
Mỗi số hạng đứng sau nhỏ hơn số hạng đứng trước nó.
⚠ Chú ý
Không phải dãy số nào cũng tăng hoặc giảm. Ví dụ dãy $u_n = (-1)^n$ là dãy không tăng, không giảm.
🎯 Phương pháp xét tính tăng – giảm
Cách 1 – Xét hiệu $D = u_{n+1} - u_n$:
• Nếu $D > 0$ với mọi $n$ → dãy tăng.
• Nếu $D < 0$ với mọi $n$ → dãy giảm.
Cách 2 – Xét thương $T = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (khi $u_n > 0$ với mọi $n$):
• Nếu $T > 1$ → dãy tăng.
• Nếu $T < 1$ → dãy giảm.
• Nếu $D > 0$ với mọi $n$ → dãy tăng.
• Nếu $D < 0$ với mọi $n$ → dãy giảm.
Cách 2 – Xét thương $T = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (khi $u_n > 0$ với mọi $n$):
• Nếu $T > 1$ → dãy tăng.
• Nếu $T < 1$ → dãy giảm.
📝 Ví dụ 3
Xét tính tăng giảm của dãy $u_n = 3n - 1$.
Bước 1: Tính $u_{n+1} = 3(n+1) - 1 = 3n + 2$.
Bước 2: Xét hiệu $u_{n+1} - u_n = (3n + 2) - (3n - 1) = 3 > 0$ với mọi $n$.
Kết luận: Dãy $(u_n)$ là dãy số tăng.
📝 Ví dụ 4
Xét tính tăng giảm của dãy $u_n = \dfrac{1}{n}$.
Bước 1: $u_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$.
Bước 2: Hiệu $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n} = \dfrac{n - (n+1)}{n(n+1)} = \dfrac{-1}{n(n+1)} < 0$ với mọi $n \geq 1$.
Kết luận: Dãy $(u_n)$ là dãy số giảm.
4
Dãy số bị chặn
▼
Định nghĩa
Cho dãy số $(u_n)$. Ta nói:
▸ Bị chặn trên
$(u_n)$ bị chặn trên $\Leftrightarrow \exists M \in \mathbb{R}: u_n \leq M, \forall n \in \mathbb{N}^*$
Tồn tại số $M$ sao cho mọi số hạng đều không vượt quá $M$.
▸ Bị chặn dưới
$(u_n)$ bị chặn dưới $\Leftrightarrow \exists m \in \mathbb{R}: u_n \geq m, \forall n \in \mathbb{N}^*$
Tồn tại số $m$ sao cho mọi số hạng đều không nhỏ hơn $m$.
▸ Bị chặn
$(u_n)$ bị chặn $\Leftrightarrow$ bị chặn trên VÀ bị chặn dưới
$\exists m, M \in \mathbb{R}: m \leq u_n \leq M, \forall n \in \mathbb{N}^*$
💡 Mẹo nhận biết
• Dãy $u_n = n$ ($1, 2, 3, \ldots$): chỉ bị chặn dưới bởi $1$, không bị chặn trên.
• Dãy $u_n = -n$ ($-1, -2, -3, \ldots$): chỉ bị chặn trên bởi $-1$, không bị chặn dưới.
• Dãy $u_n = \sin n$: bị chặn vì $-1 \leq \sin n \leq 1$ với mọi $n$.
• Dãy $u_n = -n$ ($-1, -2, -3, \ldots$): chỉ bị chặn trên bởi $-1$, không bị chặn dưới.
• Dãy $u_n = \sin n$: bị chặn vì $-1 \leq \sin n \leq 1$ với mọi $n$.
📝 Ví dụ 5
Xét tính bị chặn của dãy $u_n = \dfrac{1}{n+1}$.
Đánh giá: Với mọi $n \geq 1$, ta có $n + 1 \geq 2$ nên $0 < \dfrac{1}{n+1} \leq \dfrac{1}{2}$.
• $u_n > 0$ → bị chặn dưới (bởi $0$).
• $u_n \leq \dfrac{1}{2}$ → bị chặn trên (bởi $\dfrac{1}{2}$).
Kết luận: Dãy $(u_n)$ bị chặn.
📝 Ví dụ 6
Xét tính bị chặn của dãy $u_n = n^2 + 1$.
Đánh giá: $u_n = n^2 + 1 \geq 1^2 + 1 = 2$ với mọi $n \geq 1$ → bị chặn dưới.
Khi $n$ tăng vô hạn thì $u_n$ cũng tăng vô hạn → không bị chặn trên.
Kết luận: Dãy $(u_n)$ chỉ bị chặn dưới, không bị chặn trên.
5
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp
| Khái niệm | Định nghĩa / Tính chất |
|---|---|
| Dãy số vô hạn | Hàm $u: \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$, kí hiệu $(u_n)$. |
| Dãy số hữu hạn | Hàm $u$ xác định trên $\{1; 2; \ldots; m\}$. |
| Cách cho dãy số | Liệt kê – Công thức $u_n$ – Hệ thức truy hồi. |
| Dãy tăng | $u_{n+1} > u_n$ (hiệu $u_{n+1} - u_n > 0$). |
| Dãy giảm | $u_{n+1} < u_n$ (hiệu $u_{n+1} - u_n < 0$). |
| Bị chặn trên | $\exists M: u_n \leq M$ với mọi $n$. |
| Bị chặn dưới | $\exists m: u_n \geq m$ với mọi $n$. |
| Bị chặn | Bị chặn cả trên và dưới. |
💡 Quy trình giải toán
1. Tìm số hạng → Thay $n$ vào công thức tổng quát hoặc tính lần lượt theo hệ thức truy hồi.
2. Xét tăng giảm → Tính $u_{n+1} - u_n$ rồi xét dấu.
3. Xét bị chặn → Tìm cận trên $M$ và cận dưới $m$ (đánh giá tử – mẫu, áp dụng bất đẳng thức quen thuộc).
2. Xét tăng giảm → Tính $u_{n+1} - u_n$ rồi xét dấu.
3. Xét bị chặn → Tìm cận trên $M$ và cận dưới $m$ (đánh giá tử – mẫu, áp dụng bất đẳng thức quen thuộc).
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Dãy số!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh