Lớp 11 · Toán
Bài 8
Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm
Định nghĩa · Cách đọc · Ghép nhóm · Ước lượng tỉ lệ
1
Mẫu số liệu ghép nhóm là gì?
▼
Định nghĩa
Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số của các nhóm số liệu.
Mỗi nhóm số liệu là tập hợp các giá trị của số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định.
Mỗi nhóm số liệu là tập hợp các giá trị của số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định.
Dạng nhóm thường gặp: $[a; b)$
📍 Ý nghĩa của ký hiệu $[a; b)$
• $a$ là đầu mút trái — giá trị $a$ thuộc nhóm.
• $b$ là đầu mút phải — giá trị $b$ không thuộc nhóm (thuộc nhóm tiếp theo).
• Lưu ý: Nhóm cuối cùng đôi khi viết $[a; b]$ để lấy luôn đầu mút phải.
• $b$ là đầu mút phải — giá trị $b$ không thuộc nhóm (thuộc nhóm tiếp theo).
• Lưu ý: Nhóm cuối cùng đôi khi viết $[a; b]$ để lấy luôn đầu mút phải.
💡 Khi nào dùng ghép nhóm?
• Mẫu số liệu quá lớn, không thể liệt kê từng giá trị (ví dụ: điểm thi của hàng trăm nghìn thí sinh).
• Không biết giá trị chính xác, chỉ biết khoảng (ví dụ: thu nhập thuộc khoảng nào).
• Cần phân loại theo tiêu chí (BMI, cỡ áo, độ tuổi...).
• Không biết giá trị chính xác, chỉ biết khoảng (ví dụ: thu nhập thuộc khoảng nào).
• Cần phân loại theo tiêu chí (BMI, cỡ áo, độ tuổi...).
📝 Ví dụ 1 (Đọc bảng)
Cho mẫu số liệu về thời gian (phút) đi làm của nhân viên một công ty:
↔ Cuộn ngang để xem đầy đủ bảng
| Thời gian | [15; 20) | [20; 25) | [25; 30) | [30; 35) | [35; 40) | [40; 45) | [45; 50) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Số NV | 6 | 14 | 25 | 37 | 21 | 13 | 9 |
Cách đọc: "Có $37$ nhân viên đi làm mất từ $30$ đến dưới $35$ phút" (nhóm có tần số cao nhất).
Tổng nhân viên: $6 + 14 + 25 + 37 + 21 + 13 + 9 = 125$ người.
2
Các khái niệm cơ bản: độ dài nhóm, khoảng biến thiên
▼
Hai khái niệm cốt lõi
Khi làm việc với mẫu số liệu ghép nhóm, ta cần biết hai khái niệm sau:
▸ Độ dài của nhóm $[a; b)$
Độ dài $= b - a$
Là hiệu giữa đầu mút phải và đầu mút trái.
▸ Khoảng biến thiên
$R = x_{\max} - x_{\min}$
Là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu.
📝 Ví dụ 2
Tính độ dài của các nhóm sau:
• Nhóm $[50; 100)$: độ dài $= 100 - 50 = 50$.
• Nhóm $[22; 25)$: độ dài $= 25 - 22 = 3$.
• Nhóm $[127{,}5; 130{,}5)$: độ dài $= 130{,}5 - 127{,}5 = 3$.
📝 Ví dụ 3
Tìm khoảng biến thiên của mẫu: $5; 8; 12; 16; 18; 25; 27; 54$.
Bước 1: $x_{\min} = 5$; $x_{\max} = 54$.
Bước 2: $R = 54 - 5 = 49$.
3
Cách ghép nhóm mẫu số liệu
▼
Quy trình ghép nhóm (8 bước)
Bước 1: Tìm $x_{\min}$, $x_{\max}$ của mẫu.
Bước 2: Tính khoảng biến thiên $R = x_{\max} - x_{\min}$.
Bước 3: Xác định số nhóm $k$ (thường $5$ đến $10$) và độ dài mỗi nhóm $h$.
Bước 4: Kiểm tra điều kiện: $k \cdot h \geq R$ (đủ phủ mẫu).
Bước 5: Chọn đầu mút trái của nhóm đầu tiên $\leq x_{\min}$.
Bước 6: Liệt kê các nhóm.
Bước 7: Đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm.
Bước 8: Kiểm tra: tổng tần số $=$ cỡ mẫu $n$.
Bước 2: Tính khoảng biến thiên $R = x_{\max} - x_{\min}$.
Bước 3: Xác định số nhóm $k$ (thường $5$ đến $10$) và độ dài mỗi nhóm $h$.
Bước 4: Kiểm tra điều kiện: $k \cdot h \geq R$ (đủ phủ mẫu).
Bước 5: Chọn đầu mút trái của nhóm đầu tiên $\leq x_{\min}$.
Bước 6: Liệt kê các nhóm.
Bước 7: Đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm.
Bước 8: Kiểm tra: tổng tần số $=$ cỡ mẫu $n$.
📐 Công thức tính độ dài tối thiểu
Nếu chia mẫu thành $k$ nhóm có độ dài bằng nhau:
$h \geq \dfrac{x_{\max} - x_{\min}}{k}$
Thường làm tròn lên để $h$ là số nguyên (hoặc số tròn đẹp).
$h \geq \dfrac{x_{\max} - x_{\min}}{k}$
Thường làm tròn lên để $h$ là số nguyên (hoặc số tròn đẹp).
💡 Mẹo chọn đầu mút
Có thể chọn đầu mút là số thập phân (ví dụ $127{,}5$; $4{,}5$; $0{,}5$...) để không có giá trị nào của mẫu trùng với đầu mút — giúp tránh nhầm lẫn khi đếm.
📝 Ví dụ 4 (Ghép theo độ dài cho trước)
Số sản phẩm $25$ công nhân làm trong một ngày: $5; 8; 12; 16; 17; 18; 18; 19; 19; 20; 22; 23; 25; 25; 25; 27; 27; 28; 34; 36; 39; 44; 46; 46; 54$. Ghép thành $6$ nhóm có độ dài bằng nhau.
Bước 1-2: $x_{\min} = 5$, $x_{\max} = 54$, $R = 49$.
Bước 3: $k = 6$ → $h \geq \dfrac{49}{6} \approx 8{,}17$, chọn $h = 9$.
Bước 4: Kiểm tra: $6 \cdot 9 = 54 \geq 49$ ✓.
Bước 5: Chọn đầu mút trái nhóm đầu là $4{,}5$ (nhỏ hơn $x_{\min} = 5$).
Bước 6: Các nhóm: $[4{,}5; 13{,}5); [13{,}5; 22{,}5); [22{,}5; 31{,}5); [31{,}5; 40{,}5); [40{,}5; 49{,}5); [49{,}5; 58{,}5)$.
Bước 7: Đếm tần số:
↔ Cuộn ngang để xem đầy đủ bảng
| Số sản phẩm | [4,5; 13,5) | [13,5; 22,5) | [22,5; 31,5) | [31,5; 40,5) | [40,5; 49,5) | [49,5; 58,5) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Số CN | 3 | 8 | 7 | 3 | 3 | 1 |
Bước 8: Kiểm tra tổng: $3 + 8 + 7 + 3 + 3 + 1 = 25$ ✓.
4
Ghép nhóm theo tiêu chí cho trước
▼
Khi đề cho sẵn tiêu chí phân loại
Trong nhiều bài toán, các nhóm được cho trước theo tiêu chí ý nghĩa (BMI, cỡ áo, độ tuổi, mức thu nhập...). Ta chỉ cần phân loại từng giá trị vào nhóm tương ứng và đếm tần số.
📝 Ví dụ 5 (BMI)
Chỉ số BMI của 8 học sinh: $19{,}2; 21{,}1; 16{,}8; 23{,}5; 20{,}6; 25{,}2; 18{,}7; 19{,}1$. Phân loại: BMI $< 18{,}5$ là thiếu cân, $18{,}5 \leq$ BMI $< 23$ là lí tưởng, BMI $\geq 23$ là thừa cân.
Phân loại từng giá trị:
• Thiếu cân ($<18{,}5$): $16{,}8$ → 1 HS.
• Lí tưởng ($[18{,}5; 23)$): $19{,}2; 21{,}1; 20{,}6; 18{,}7; 19{,}1$ → 5 HS.
• Thừa cân ($\geq 23$): $23{,}5; 25{,}2$ → 2 HS.
↔ Cuộn ngang để xem đầy đủ bảng
| Chỉ số BMI | Dưới 18,5 | [18,5; 23) | Từ 23 trở lên |
|---|---|---|---|
| Phân loại | Thiếu cân | Lí tưởng | Thừa cân |
| Số HS | 1 | 5 | 2 |
5
Ước lượng tỉ lệ và số lượng từ mẫu
▼
Tần số tương đối (tỉ lệ)
Tần số tương đối (tỉ lệ) của nhóm thứ $i$ trong mẫu cỡ $n$:
$f_i = \dfrac{n_i}{n}$
🎯 Ước lượng tổng thể
Từ tỉ lệ trong mẫu, ta ước lượng số lượng trong tổng thể cỡ $N$:
Số lượng $\approx f_i \times N$
Số lượng $\approx f_i \times N$
📝 Ví dụ 6 (Cỡ áo đồng phục)
Đo chiều cao của $36$ học sinh, thu được tần số ghép nhóm theo cỡ áo. Công ty muốn may $500$ áo. Cần may bao nhiêu chiếc cỡ M (nhóm $[160; 167)$ có $22$ HS)?
Bước 1: Tỉ lệ cỡ M trong mẫu: $f_M = \dfrac{22}{36} = \dfrac{11}{18} \approx 0{,}611$.
Bước 2: Số áo cỡ M trong $500$: $500 \cdot \dfrac{22}{36} \approx 305{,}6$.
Kết luận: Cần may khoảng $306$ áo cỡ M.
6
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp công thức
| Tên | Công thức / Ý nghĩa |
|---|---|
| Nhóm $[a; b)$ | Lấy đầu trái $a$, bỏ đầu phải $b$ |
| Độ dài nhóm | $h = b - a$ |
| Khoảng biến thiên | $R = x_{\max} - x_{\min}$ |
| Điều kiện chia nhóm | $k \cdot h \geq R$ |
| Số nhóm hợp lý | Thường $5$ đến $10$ nhóm |
| Kiểm tra cuối | Tổng tần số $= n$ (cỡ mẫu) |
| Tần số tương đối | $f_i = \dfrac{n_i}{n}$ |
| Ước lượng số lượng | $f_i \times N$ với $N$ là tổng thể |
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Mẫu số liệu ghép nhóm!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh