Lớp 11 · Toán
Bài 22
Hai Đường Thẳng Vuông Góc
Góc giữa hai đường thẳng · Kỹ thuật dựng đường song song · Chứng minh vuông góc
1
Góc giữa hai đường thẳng
▼
Định nghĩa
Trong không gian, cho hai đường thẳng chéo nhau $m$ và $n$. Từ một điểm $O$ tuỳ ý, ta kẻ các đường thẳng $a$, $b$ tương ứng song song với $m$, $n$.
Góc giữa hai đường thẳng $m$ và $n$, kí hiệu $(m, n)$, là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ (cùng đi qua $O$, song song với $m, n$).
Góc giữa hai đường thẳng $m$ và $n$, kí hiệu $(m, n)$, là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ (cùng đi qua $O$, song song với $m, n$).
Hình 1: Từ điểm $O$ kẻ $a \parallel m$, $b \parallel n$. Khi đó $(m, n) = (a, b)$
Ba chú ý quan trọng
Chú ý 1: Để xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$, ta có thể lấy điểm $O$ thuộc luôn đường $a$, rồi qua $O$ kẻ $b' \parallel b$. Khi đó: $(a, b) = (a, b')$ — đỡ phải dựng cả hai đường song song
Chú ý 2: Góc giữa hai đường thẳng luôn nằm trong khoảng $[0°; 90°]$
Chú ý 2: Góc giữa hai đường thẳng luôn nằm trong khoảng $[0°; 90°]$
$0° \leq (a, b) \leq 90°$
Chú ý 3: Nếu $a \parallel a'$ (hoặc trùng) và $b \parallel b'$ (hoặc trùng) thì $(a, b) = (a', b')$ — đây chính là cơ sở của kỹ thuật "dời song song"
🎯 Lưu ý về dấu
Nếu khi tính trong tam giác bạn được một góc lớn hơn $90°$, phải lấy góc bù. Ví dụ: tính ra góc $120°$ thì $(a, b) = 180° - 120° = 60°$
💡 Ví dụ 1 – Hình hộp với mặt là hình vuông
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có các mặt là hình vuông. Tính các góc $(AA', CD)$, $(A'C', BD)$, $(AC, DC')$
Hình 2: Hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có các mặt là hình vuông
a)$(AA', CD)$: Vì $CD \parallel AB$ nên $(AA', CD) = (AA', AB) = 90°$ (do $AA'$ và $AB$ là hai cạnh kề của hình vuông $ABB'A'$)
b)$(A'C', BD)$: Tứ giác $ACC'A'$ là hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau) → $A'C' \parallel AC$. Vậy $(A'C', BD) = (AC, BD) = 90°$ (hai đường chéo hình vuông $ABCD$)
c)$(AC, DC')$: Có $DC' \parallel AB'$. Vậy $(AC, DC') = (AC, AB')$. Tam giác $AB'C$ có ba cạnh đều là đường chéo của ba hình vuông bằng nhau → là tam giác đều → $(AC, AB') = 60°$
Kết quả: $(AA', CD) = 90°$, $(A'C', BD) = 90°$, $(AC, DC') = 60°$
💡 Ví dụ 2 – Bài toán Kim tự tháp Kheops
Kim tự tháp Kheops có dạng hình chóp $S.ABCD$ với đáy là hình vuông cạnh $230$ m và các cạnh bên $SA = SB = SC = SD = 219$ m. Tính (gần đúng) góc tạo bởi cạnh bên $SC$ và cạnh đáy $AB$
Hình 3: Kim tự tháp Kheops dạng hình chóp $S.ABCD$ với đáy là hình vuông
B1.Vì $AB \parallel CD$ nên $(SC, AB) = (SC, CD) = \widehat{SCD}$
B2.Tam giác $SCD$ cân tại $S$ vì $SC = SD = 219$ m. Gọi $H$ là trung điểm $CD$, $SH$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao
B3.$CH = \dfrac{CD}{2} = \dfrac{230}{2} = 115$ m
B4.Trong tam giác vuông $SHC$: $\cos \widehat{SCH} = \dfrac{CH}{SC} = \dfrac{115}{219} \Rightarrow \widehat{SCH} \approx 58{,}3°$
Góc tạo bởi $SC$ và cạnh đáy $AB$ xấp xỉ $58{,}3°$
2
Hai đường thẳng vuông góc
▼
Định nghĩa
Hai đường thẳng $a$, $b$ được gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu $a \perp b$, nếu góc giữa chúng bằng $90°$.
$a \perp b \Leftrightarrow (a, b) = 90°$
Tính chất quan trọng
Nếu đường thẳng $a$ vuông góc với đường thẳng $b$ thì $a$ cũng vuông góc với mọi đường thẳng song song với $b$.
$a \perp b$ và $b \parallel b' \Rightarrow a \perp b'$
⚠️ Lưu ý
• Hai đường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau (khác hình học phẳng — chỉ có "cắt nhau vuông góc")
• Tính chất này là công cụ chính để chứng minh vuông góc trong không gian
• Tính chất này là công cụ chính để chứng minh vuông góc trong không gian
3
Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng
▼
Nguyên tắc cốt lõi
Đưa bài toán góc trong không gian về góc trong mặt phẳng bằng cách dựng đường song song, sau đó tính bằng hình học phẳng (định lý cosin, hệ thức lượng trong tam giác vuông).
🔧 Các bước giải
Bước 1: Nhận diện vị trí $a, b$ — cắt nhau hay chéo nhau
Bước 2: Nếu chéo nhau → chọn điểm $O$ tiện lợi và dựng đường // (thường dựng chỉ một đường song song qua điểm trên đường còn lại)
Bước 3: Tính góc trong tam giác bằng định lý cosin hoặc hệ thức trong tam giác vuông
Bước 4: Nếu góc tính được $> 90°$ → lấy góc bù
Bước 2: Nếu chéo nhau → chọn điểm $O$ tiện lợi và dựng đường // (thường dựng chỉ một đường song song qua điểm trên đường còn lại)
Bước 3: Tính góc trong tam giác bằng định lý cosin hoặc hệ thức trong tam giác vuông
Bước 4: Nếu góc tính được $> 90°$ → lấy góc bù
🛠️ Các kỹ thuật dựng đường song song
• Đường trung bình tam giác: $M, N$ là trung điểm hai cạnh → $MN$ song song cạnh thứ ba
• Cạnh đối của hình bình hành / hình hộp / lăng trụ: $AB \parallel CD$, $BC \parallel B'C'$, ...
• Đường chéo mặt đối diện trong hình hộp: $AC \parallel A'C'$, $BD \parallel B'D'$
• Cạnh đối của hình bình hành / hình hộp / lăng trụ: $AB \parallel CD$, $BC \parallel B'C'$, ...
• Đường chéo mặt đối diện trong hình hộp: $AC \parallel A'C'$, $BD \parallel B'D'$
Công thức then chốt: Định lý cosin
$\cos \widehat{AOB} = \dfrac{OA^2 + OB^2 - AB^2}{2 \cdot OA \cdot OB}$
💡 Ví dụ 3 – Tứ diện với đường trung bình
Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Biết $MN = a\sqrt{3}$ và $AD = BC = 2a$. Tính góc giữa $AD$ và $BC$
Hình 4: Tứ diện $ABCD$ với $M, N$ là trung điểm $AB, CD$; $O$ là trung điểm $AC$
B1.Gọi $O$ là trung điểm $AC$. Khi đó $OM$ là đường trung bình $\triangle ABC \Rightarrow OM \parallel BC$ và $OM = \dfrac{1}{2}BC = a$
B2.Tương tự, $ON$ là đường trung bình $\triangle ACD \Rightarrow ON \parallel AD$ và $ON = \dfrac{1}{2}AD = a$
B3.$(AD, BC) = (ON, OM) = \widehat{MON}$ (hoặc góc bù)
B4.Áp dụng định lý cosin trong $\triangle OMN$: $\cos \widehat{MON} = \dfrac{a^2 + a^2 - 3a^2}{2a \cdot a} = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat{MON} = 120°$
B5.Vì $120° > 90°$ nên lấy góc bù: $(AD, BC) = 180° - 120° = 60°$
Vậy góc giữa $AD$ và $BC$ bằng $60°$
💡 Ví dụ 4 – Lăng trụ tam giác cân
Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có tam giác $ABC$ cân tại $A$ và $\widehat{BAC} = 120°$. Tính $(AB, AC)$ và $(AB, B'C')$
a)$(AB, AC)$: hai đường cắt nhau tại $A$, góc hình học $\widehat{BAC} = 120° > 90°$ → lấy bù: $(AB, AC) = 180° - 120° = 60°$
b)$(AB, B'C')$: Vì $BC \parallel B'C'$ nên $(AB, B'C') = (AB, BC) = \widehat{ABC}$
Tam giác $ABC$ cân tại $A$, $\widehat{BAC} = 120°$ → $\widehat{ABC} = \dfrac{180° - 120°}{2} = 30°$
Vậy $(AB, AC) = 60°$ và $(AB, B'C') = 30°$
4
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
▼
Ba cách chứng minh $a \perp b$
Cách 1: Chứng minh $(a, b) = 90°$ trực tiếp (đưa về tam giác vuông, dùng định lý cosin)
Cách 2: Dùng phép dời song song — Nếu $b \parallel b'$ và $a \perp b'$ thì $a \perp b$
Cách 3: Sử dụng tính chất hình đặc biệt (đường chéo hình vuông, hình thoi vuông góc; trung tuyến tam giác cân vuông góc đáy; cạnh kề hình chữ nhật vuông góc)
Cách 2: Dùng phép dời song song — Nếu $b \parallel b'$ và $a \perp b'$ thì $a \perp b$
Cách 3: Sử dụng tính chất hình đặc biệt (đường chéo hình vuông, hình thoi vuông góc; trung tuyến tam giác cân vuông góc đáy; cạnh kề hình chữ nhật vuông góc)
Công thức "xương sống"
$a \perp b$ và $b \parallel b' \Rightarrow a \perp b'$
💡 Ví dụ 5 – Tứ diện ABCD với điều kiện đặc biệt
Cho tam giác $MNP$ vuông tại $N$ và một điểm $A$ nằm ngoài $(MNP)$. Lấy các điểm $B, C, D$ sao cho $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC, CD$. Chứng minh $AD \perp BC$
Hình 5: $A$ ở ngoài $(MNP)$, $M, N, P$ là trung điểm $AB, AC, CD$, $\triangle MNP$ vuông tại $N$
B1.Trong $\triangle ACD$, $N$ và $P$ là trung điểm $AC$ và $CD$ → $NP$ là đường trung bình → $NP \parallel AD$
B2.Trong $\triangle ABC$, $M$ và $N$ là trung điểm $AB$ và $AC$ → $MN$ là đường trung bình → $MN \parallel BC$
B3.Vậy $(AD, BC) = (NP, MN) = \widehat{MNP}$
B4.Mà $\triangle MNP$ vuông tại $N$ nên $\widehat{MNP} = 90°$ → $(AD, BC) = 90°$
Vậy $AD \perp BC$
💡 Ví dụ 6 – Hình chóp với đáy hình bình hành
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $\triangle SAB$ cân tại $S$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$. Chứng minh $SM \perp CD$
B1.Trong $\triangle SAB$: $SA = SB$ và $MA = MB$ → $SM$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác cân → $SM \perp AB$
B2.Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB \parallel CD$
B3.Áp dụng tính chất $SM \perp AB$ và $AB \parallel CD$ → $SM \perp CD$
Vậy $SM \perp CD$ (điều phải chứng minh)
5
Các kết quả đặc biệt cần nhớ
▼
Bảng các góc đặc biệt thường gặp
| Tình huống | Góc / Kết luận |
|---|---|
| Hai đường thẳng song song | $0°$ |
| Hai cạnh kề của hình vuông / chữ nhật | $90°$ |
| Đường chéo và cạnh của hình vuông | $45°$ |
| Hai đường chéo của hình vuông / hình thoi | $90°$ (vuông góc) |
| Hai cạnh của tam giác đều | $60°$ |
| Hai cạnh đối của tứ diện đều | $90°$ (vuông góc) |
| Tam giác cân, góc đỉnh $120°$ | Góc đáy = $30°$; góc giữa hai cạnh bên = $60°$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
🎯 Mẹo nhận diện nhanh
• Cạnh đứng và cạnh đáy trong hình hộp / lăng trụ đứng → vuông góc
• Đường chéo mặt và đường chéo của mặt đối diện song song trong hình hộp
• Đường trung bình luôn song song với cạnh thứ ba — công cụ "vàng" để dời góc về tam giác
• Đường chéo mặt và đường chéo của mặt đối diện song song trong hình hộp
• Đường trung bình luôn song song với cạnh thứ ba — công cụ "vàng" để dời góc về tam giác
6
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp công thức và tính chất
| Tính chất | Phát biểu / Ký hiệu |
|---|---|
| Phạm vi góc | $0° \leq (a, b) \leq 90°$ |
| Dời song song | $a \parallel a'$ và $b \parallel b'$ thì $(a, b) = (a', b')$ |
| Chuyển vuông góc qua // | $a \perp b$ và $b \parallel b' \Rightarrow a \perp b'$ |
| Định lý cosin | $\cos \widehat{AOB} = \dfrac{OA^2 + OB^2 - AB^2}{2 \cdot OA \cdot OB}$ |
| Định nghĩa vuông góc | $a \perp b \Leftrightarrow (a, b) = 90°$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📚
Xem thêm: Bài viết chi tiết về hai đường thẳng vuông góc trong không gian — lý thuyết, phương pháp và bài tập nâng cao trên edus.vn
→
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Hai đường thẳng vuông góc!
25 câu · 4 dạng từ dễ đến khó (5 câu tự luận)
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh