Lớp 11 · Toán
Bài 31
Định Nghĩa Và Ý Nghĩa Của Đạo Hàm
Định nghĩa · Tính đạo hàm · Tiếp tuyến · Vận tốc tức thời
1
Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
▼
Định nghĩa
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ và điểm $x_0 \in (a; b)$.
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$, ký hiệu là $f'(x_0)$ (hoặc $y'(x_0)$).
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$, ký hiệu là $f'(x_0)$ (hoặc $y'(x_0)$).
$f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$
📍 Công thức tương đương (đặt $h = x - x_0$)
Khi $x \to x_0$ thì $h \to 0$. Ta có dạng tương đương:
$f'(x_0) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$
🔧 Quy trình tính đạo hàm bằng định nghĩa (3 bước)
Bước 1: Tính $f(x) - f(x_0)$ và phân tích nhân tử để có thừa số $(x - x_0)$
Bước 2: Lập và rút gọn tỉ số $\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ với $x \neq x_0$
Bước 3: Tính giới hạn $\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$
Bước 2: Lập và rút gọn tỉ số $\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ với $x \neq x_0$
Bước 3: Tính giới hạn $\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$
Các hằng đẳng thức hay dùng
• $x^2 - x_0^2 = (x - x_0)(x + x_0)$
• $x^3 - x_0^3 = (x - x_0)(x^2 + x \cdot x_0 + x_0^2)$
• Mục tiêu: phân tích để xuất hiện thừa số $(x - x_0)$ rồi rút gọn với mẫu
• $x^3 - x_0^3 = (x - x_0)(x^2 + x \cdot x_0 + x_0^2)$
• Mục tiêu: phân tích để xuất hiện thừa số $(x - x_0)$ rồi rút gọn với mẫu
💡 Ví dụ
Tính đạo hàm của hàm số $y = f(x) = x^2 + 2x$ tại điểm $x_0 = 1$
B1.Tính $f(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 = 3$
$f(x) - f(1) = (x^2 + 2x) - 3 = x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$
B2.Với $x \neq 1$, lập tỉ số:
$\dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \dfrac{(x-1)(x+3)}{x-1} = x + 3$
B3.Tính giới hạn:
$f'(1) = \lim\limits_{x \to 1} (x + 3) = 1 + 3 = 4$
Kết luận: $f'(1) = 4$
2
Đạo hàm trên một khoảng — các công thức cơ bản
▼
Định nghĩa
Hàm số $y = f(x)$ được gọi là có đạo hàm trên khoảng $(a; b)$ nếu nó có đạo hàm $f'(x)$ tại mọi điểm $x$ thuộc khoảng đó. Ký hiệu: $y' = f'(x)$
📋 Các đạo hàm cơ bản (suy ra từ định nghĩa)
| Hàm số | Đạo hàm | Ghi nhớ |
|---|---|---|
| $y = c$ (hằng số) | $y' = 0$ | Hằng số có đạo hàm bằng $0$ |
| $y = x$ | $y' = 1$ | Đạo hàm của $x$ là $1$ |
| $y = x^2$ | $y' = 2x$ | Mũ $\times$ hệ số, giảm mũ đi $1$ |
| $y = x^3$ | $y' = 3x^2$ | Tương tự: $(x^n)' = nx^{n-1}$ |
| $y = kx + c$ | $y' = k$ | Đạo hàm = hệ số góc |
| $y = kx^2 + c$ | $y' = 2kx$ | Hằng số giữ nguyên, hằng tự do mất đi |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
💡 Ví dụ — Chứng minh $(x^3)' = 3x^2$ bằng định nghĩa
Với $x_0$ bất kỳ, ta có $f(x) - f(x_0) = x^3 - x_0^3$
Áp dụng hằng đẳng thức: $x^3 - x_0^3 = (x - x_0)(x^2 + x \cdot x_0 + x_0^2)$
Lập tỉ số với $x \neq x_0$:
$\dfrac{x^3 - x_0^3}{x - x_0} = x^2 + x \cdot x_0 + x_0^2$
Tính giới hạn:
$f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}(x^2 + x \cdot x_0 + x_0^2) = x_0^2 + x_0^2 + x_0^2 = 3x_0^2$
Vậy $(x^3)' = 3x^2$
3
Ý nghĩa hình học — tiếp tuyến của đồ thị
▼
Ý nghĩa hình học
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $P(x_0; f(x_0))$ chính là giá trị $f'(x_0)$.
$k = f'(x_0)$
📍 Phương trình tiếp tuyến
Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại điểm $x_0$ thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $P(x_0; y_0)$ là:
$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$
trong đó $y_0 = f(x_0)$.
🔧 Các bước viết phương trình tiếp tuyến
Bước 1: Xác định hoành độ tiếp điểm $x_0$. Nếu đề cho tung độ $y_0$ thì giải $f(x_0) = y_0$
Bước 2: Tính tung độ $y_0 = f(x_0)$
Bước 3: Tính đạo hàm $f'(x)$ rồi suy ra hệ số góc $k = f'(x_0)$
Bước 4: Viết phương trình $y - y_0 = k(x - x_0)$
Bước 2: Tính tung độ $y_0 = f(x_0)$
Bước 3: Tính đạo hàm $f'(x)$ rồi suy ra hệ số góc $k = f'(x_0)$
Bước 4: Viết phương trình $y - y_0 = k(x - x_0)$
💡 Ví dụ — Tiếp tuyến cho hoành độ
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $(P): y = 3x^2$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$
B1.Tung độ tiếp điểm: $y_0 = f(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$
B2.Đạo hàm: $y' = 6x$ (áp dụng $(kx^2)' = 2kx$ với $k = 3$)
B3.Hệ số góc: $k = f'(1) = 6 \cdot 1 = 6$
B4.Phương trình tiếp tuyến:
$y - 3 = 6(x - 1) \Leftrightarrow y = 6x - 3$
💡 Ví dụ — Tiếp tuyến cho tung độ
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $y = -x^2 + 4x$ biết tiếp điểm có tung độ $y_0 = 0$
B1.Tìm hoành độ tiếp điểm: $-x^2 + 4x = 0 \Leftrightarrow x(-x + 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 4$
B2.Đạo hàm: $y' = -2x + 4$
B3.Tại $P_1(0; 0)$: $k_1 = f'(0) = 4$, phương trình: $y = 4x$
B4.Tại $P_2(4; 0)$: $k_2 = f'(4) = -2 \cdot 4 + 4 = -4$, phương trình: $y = -4(x - 4) = -4x + 16$
Có $2$ tiếp tuyến: $y = 4x$ và $y = -4x + 16$
4
Ý nghĩa vật lí — vận tốc tức thời
▼
Vận tốc tức thời
Nếu phương trình chuyển động thẳng của vật là $s = f(t)$ ($t$ là thời gian) thì vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t$ là:
$v(t) = f'(t)$
📍 Các công thức vật lí thường gặp
• Rơi tự do (bỏ qua sức cản): $s = \dfrac{1}{2}gt^2$, vận tốc $v = gt$ (lấy $g = 9{,}8$ m/s$^2$).
• Ném thẳng đứng lên với vận tốc đầu $v_0$: $h = v_0 t - \dfrac{1}{2}gt^2$, vận tốc $v = v_0 - gt$.
• Vật chạm đất khi $h = 0$ (giải phương trình tìm $t$).
• Ném thẳng đứng lên với vận tốc đầu $v_0$: $h = v_0 t - \dfrac{1}{2}gt^2$, vận tốc $v = v_0 - gt$.
• Vật chạm đất khi $h = 0$ (giải phương trình tìm $t$).
💡 Ví dụ — Rơi tự do từ Landmark 81
Quả bóng rơi tự do từ độ cao $461{,}3$ m. Tính vận tốc khi chạm đất (lấy $g = 9{,}8$ m/s$^2$, làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
B1.Phương trình chuyển động: $s = \dfrac{1}{2}gt^2 = 4{,}9 \, t^2$
B2.Vận tốc: $v(t) = s'(t) = 9{,}8 \, t$
B3.Quả bóng chạm đất khi $s = 461{,}3$:
$4{,}9 \, t^2 = 461{,}3 \Rightarrow t = \sqrt{\dfrac{461{,}3}{4{,}9}}$ (giây)
B4.Vận tốc khi chạm đất:
$v = 9{,}8 \cdot \sqrt{\dfrac{461{,}3}{4{,}9}} \approx 95{,}1$ (m/s)
5
Lưu ý quan trọng khi giải bài tập
▼
🎯 Mẹo phân tích nhân tử
• Khi tính $f'(x_0)$ bằng định nghĩa, luôn phải tạo ra thừa số $(x - x_0)$ ở tử để rút gọn với mẫu.
• Với $x^2$: dùng $x^2 - x_0^2 = (x - x_0)(x + x_0)$.
• Với $x^3$: dùng $x^3 - x_0^3 = (x - x_0)(x^2 + x \cdot x_0 + x_0^2)$.
• Với tam thức $ax^2 + bx + c$: rút $f(x) - f(x_0)$ và đặt $(x - x_0)$ làm nhân tử chung.
• Với $x^2$: dùng $x^2 - x_0^2 = (x - x_0)(x + x_0)$.
• Với $x^3$: dùng $x^3 - x_0^3 = (x - x_0)(x^2 + x \cdot x_0 + x_0^2)$.
• Với tam thức $ax^2 + bx + c$: rút $f(x) - f(x_0)$ và đặt $(x - x_0)$ làm nhân tử chung.
⚠️ Khi viết phương trình tiếp tuyến
• Nếu đề cho hoành độ $x_0$ → áp dụng quy trình $4$ bước trực tiếp.
• Nếu đề cho tung độ $y_0$ → giải $f(x_0) = y_0$ để tìm các giá trị $x_0$ (có thể có nhiều tiếp điểm, suy ra nhiều tiếp tuyến).
• Nếu đề cho hệ số góc $k$ → giải $f'(x_0) = k$ để tìm $x_0$.
• Nếu đề cho tung độ $y_0$ → giải $f(x_0) = y_0$ để tìm các giá trị $x_0$ (có thể có nhiều tiếp điểm, suy ra nhiều tiếp tuyến).
• Nếu đề cho hệ số góc $k$ → giải $f'(x_0) = k$ để tìm $x_0$.
🔬 Bài toán vật lí
• Vận tốc tức thời = đạo hàm của quãng đường (hoặc độ cao) theo thời gian.
• Dấu của vận tốc: $v > 0$ → đi theo chiều dương; $v < 0$ → đi theo chiều âm. Độ lớn vận tốc là $|v|$.
• Khi vật chạm đất, lấy $h(t) = 0$ rồi giải tìm $t$ (loại $t = 0$ là thời điểm ban đầu).
• Dấu của vận tốc: $v > 0$ → đi theo chiều dương; $v < 0$ → đi theo chiều âm. Độ lớn vận tốc là $|v|$.
• Khi vật chạm đất, lấy $h(t) = 0$ rồi giải tìm $t$ (loại $t = 0$ là thời điểm ban đầu).
6
Tổng kết
▼
📋 Bảng công thức tổng hợp
| Nội dung | Công thức |
|---|---|
| Định nghĩa | $f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ |
| Dạng tương đương | $f'(x_0) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ |
| Hệ số góc tiếp tuyến | $k = f'(x_0)$ |
| Phương trình tiếp tuyến | $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$ |
| Vận tốc tức thời | $v(t) = s'(t)$ |
| $(c)'$ | $0$ |
| $(x)'$ | $1$ |
| $(x^2)'$ | $2x$ |
| $(x^3)'$ | $3x^2$ |
| $(kx + c)'$ | $k$ |
| $(kx^2 + c)'$ | $2kx$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📚
Xem thêm: Bài viết chi tiết về định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm trên edus.vn
→
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm!
25 câu · 4 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh