I. Nội dung của phương pháp hình chiếu trục đo

1. Vai trò của hình chiếu trục đo

Hình chiếu vuông góc tuy chính xác nhưng chỉ thể hiện hai chiều kích thước trên mỗi hình, khiến người đọc khó hình dung hình dáng không gian của vật thể. Hình chiếu trục đo (HCTĐ) khắc phục điều này bằng cách biểu diễn vật thể với cả ba chiều kích thước trên cùng một hình, giúp hình dung hình dạng vật thể dễ dàng hơn.

2. Cách xây dựng hình chiếu trục đo

Hình chiếu trục đo được xây dựng qua các bước sau:

• Gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ vào vật thể, với các trục đặt theo ba chiều: dài, rộng và cao.
• Chiếu vật thể cùng hệ trục tọa độ theo hướng chiếu $l$ lên mặt phẳng hình chiếu $P$. Điều kiện: $l$ không song song với $P$ và không song song với bất kỳ mặt phẳng tọa độ nào.
• Kết quả thu được trên mặt phẳng $P$ là hình chiếu trục đo của vật thể cùng hệ tọa độ $O’x’y’z’$.

3. Các khái niệm cơ bản

Trục đo: Các trục $O’x’$, $O’y’$ và $O’z’$ (hình chiếu của các trục tọa độ) được gọi là các trục đo.

Góc trục đo: Góc giữa các cặp trục đo: $\widehat{x’O’y’}$, $\widehat{y’O’z’}$ và $\widehat{z’O’x’}$.

Hệ số biến dạng: Tỉ số giữa độ dài hình chiếu của một đoạn thẳng nằm trên (hoặc song song với) trục tọa độ và độ dài thực của đoạn thẳng đó:

$$p = \frac{O’A’}{OA} \quad \text{(hệ số biến dạng theo trục } O’x’\text{)}$$

$$q = \frac{O’B’}{OB} \quad \text{(hệ số biến dạng theo trục } O’y’\text{)}$$

$$r = \frac{O’C’}{OC} \quad \text{(hệ số biến dạng theo trục } O’z’\text{)}$$

II. Hình chiếu trục đo vuông góc đều

1. Đặc điểm

Trong HCTĐ vuông góc đều, phương chiếu $l$ vuông góc với mặt phẳng hình chiếu $P$, và ba trục tọa độ $Ox$, $Oy$, $Oz$ nghiêng với $P$ các góc bằng nhau.

2. Thông số cơ bản

Góc trục đo:

$$\widehat{x’O’y’} = \widehat{y’O’z’} = \widehat{z’O’x’} = 120°$$

Hệ số biến dạng:

$$p = q = r \approx 0{,}82$$

Để thuận tiện khi dựng hình, quy ước lấy: $p = q = r = 1$ (tức là đặt kích thước thực lên các trục đo mà không cần nhân hệ số).

3. Hình chiếu trục đo của đường tròn

Trong HCTĐ vuông góc đều, hình tròn nằm trên mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ sẽ có hình chiếu là hình elip. Với $d$ là đường kính đường tròn:

• Trục dài của elip $\approx 1{,}22d$
• Trục ngắn của elip $\approx 0{,}71d$

Phương trục dài của elip phụ thuộc vào mặt phẳng chứa đường tròn:

Cách vẽ elip: Có thể dùng thước elip (xác định tâm → vẽ trục dài, trục ngắn → đặt thước tô) hoặc vẽ gần đúng bằng compa (ghép 4 cung tròn).

III. Hình chiếu trục đo xiên góc cân

1. Đặc điểm

Trong HCTĐ xiên góc cân, mặt phẳng tọa độ $xOz$ song song với mặt phẳng hình chiếu $P$, và phương chiếu $l$ không vuông góc với $P$ (chiếu xiên).

2. Thông số cơ bản

Góc trục đo:

$$\widehat{x’O’z’} = 90° \qquad \widehat{x’O’y’} = \widehat{y’O’z’} = 135°$$

(Trục $O’y’$ hướng xuống dưới bên phải, nghiêng $45°$ so với phương ngang)

Hệ số biến dạng:

$$p = r = 1 \qquad q = 0{,}5$$

Hệ số biến dạng theo trục $O’y’$ chỉ bằng một nửa, nghĩa là kích thước theo chiều sâu (trục $y$) được đặt bằng nửa kích thước thực.

3. Hình chiếu trục đo của đường tròn

• Đường tròn nằm trên mặt phẳng song song với $xOz$: hình chiếu là hình tròn (vì mặt $xOz$ song song với $P$, $p = r = 1$).
• Đường tròn nằm trên mặt phẳng song song với $xOy$ hoặc $yOz$: hình chiếu là hình elip với trục dài $\approx 1{,}06d$ và trục ngắn $\approx 0{,}33d$. Trục dài của elip nghiêng $7°$ so với trục ngang hoặc trục đứng.

4. So sánh hai loại HCTĐ

IV. Các bước vẽ hình chiếu trục đo của vật thể

1. Vẽ HCTĐ của một điểm

Điểm $A$ có tọa độ $(x_A, y_A, z_A)$ trong không gian. Hình chiếu trục đo $A’$ của điểm $A$ có các tọa độ trục đo:

$$x’_{A’} = p \times x_A \qquad y’_{A’} = q \times y_A \qquad z’_{A’} = r \times z_A$$

Từ gốc $O’$, đặt lần lượt các giá trị $p \times x_A$ theo trục $O’x’$, $q \times y_A$ theo trục $O’y’$, $r \times z_A$ theo trục $O’z’$ để xác định vị trí điểm $A’$.

2. Vẽ HCTĐ của vật thể

Bước 1: Gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ vào vật thể. Từ các hình chiếu vuông góc đã cho, phác họa hình dáng không gian của vật thể.

Bước 2: Vẽ hình chiếu trục đo của hình hộp chữ nhật bao ngoài vật thể, với kích thước dài $a$, rộng $b$, cao $c$ đặt lên ba trục đo theo hệ số biến dạng tương ứng.

Bước 3: Vẽ các thành phần chi tiết của vật thể bên trong hình hộp bao (các rãnh, lỗ, phần lồi, phần lõm…).

Bước 4: Tẩy các đường nét phụ, xóa đường khuất, tô đậm các cạnh thấy để hoàn thiện bản vẽ.

V. Sơ đồ tư duy

HÌNH CHIẾU TRỤC ĐO

1. Khái niệm và phương pháp

• 1.1. Vai trò: Biểu diễn vật thể với cả 3 chiều kích thước trên cùng 1 hình → dễ hình dung
• 1.2. Cách xây dựng: Gắn hệ trục Oxyz → Chiếu theo hướng l lên mặt phẳng P (l không // P, không // mặt tọa độ nào)
• 1.3. Trục đo: O’x’, O’y’, O’z’ (hình chiếu của các trục tọa độ)
• 1.4. Góc trục đo: Góc giữa các cặp trục đo
• 1.5. Hệ số biến dạng: p = O’A’/OA (trục x’), q = O’B’/OB (trục y’), r = O’C’/OC (trục z’)

2. HCTĐ vuông góc đều

• 2.1. Phương chiếu l vuông góc với P
• 2.2. Góc trục đo: 120° – 120° – 120°
• 2.3. Hệ số biến dạng: p = q = r ≈ 0,82 → quy ước lấy p = q = r = 1
• 2.4. Hình tròn → elip: trục dài ≈ 1,22d, trục ngắn ≈ 0,71d
• 2.5. Trục dài elip vuông góc với trục đo không nằm trên mặt phẳng chứa đường tròn

3. HCTĐ xiên góc cân

• 3.1. Mặt xOz // P, phương chiếu l xiên với P
• 3.2. Góc trục đo: x’O’z’ = 90°, x’O’y’ = y’O’z’ = 135°
• 3.3. Hệ số biến dạng: p = r = 1, q = 0,5 (chiều sâu lấy nửa kích thước thực)
• 3.4. Hình tròn trên mặt // xOz → hình tròn; trên mặt khác → elip (trục dài ≈ 1,06d, trục ngắn ≈ 0,33d, nghiêng 7°)

4. Các bước vẽ HCTĐ của vật thể

• B1: Gắn hệ trục Oxyz vào vật thể, phác họa hình dáng không gian
• B2: Vẽ hình hộp bao ngoài (dài a, rộng b, cao c) theo hệ số biến dạng
• B3: Vẽ các thành phần chi tiết (rãnh, lỗ, phần lồi/lõm)
• B4: Tẩy nét phụ, xóa đường khuất, tô đậm cạnh thấy

ThS. Hồ Thị Thư

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Công Nghệ THPT

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Công nghệ, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ STEM, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Hoàng Hoa Thám