Trong các cuộc thi đấu thể thao, người ta thường tổ chức thi bắn cung. Thuở xưa, cây cung được làm bằng cách buộc một sợi dây vào hai đầu của một đoạn tre có tính đàn hồi cao. Đoạn tre bị kéo căng, cong lại tạo nên hình ảnh của một phần đường tròn — đó chính là hình ảnh của “cung” trong Toán học. Sợi dây nối hai đầu cung chính là hình ảnh của “dây cung”.

Trong bài này, chúng ta sẽ tìm hiểu về dây cung, đường kính, góc ở tâm và số đo cung của đường tròn.

1. Dây và đường kính của đường tròn

Khái niệm

• Dây (hay dây cung) của đường tròn là đoạn thẳng nối hai điểm tuỳ ý trên đường tròn.
• Đường kính là dây đi qua tâm. Đường kính của đường tròn bán kính $R$ có độ dài bằng $2R$.

Quan hệ giữa dây và đường kính

Xét dây $AB$ tuỳ ý không đi qua tâm của đường tròn $(O; R)$. Trong tam giác $AOB$, theo bất đẳng thức tam giác:

$$AB < OA + OB = R + R = 2R$$

Vậy mọi dây không phải đường kính đều có độ dài nhỏ hơn $2R$.

Định lí. Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.

Ví dụ minh hoạ

Tứ giác lồi $MNPQ$ có $\widehat{MNP} = \widehat{MQP} = 90°$. Chứng minh bốn điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ cùng nằm trên một đường tròn và $NQ < MP$.

Giải:

Gọi $O$ là trung điểm của $MP$. Tam giác $MNP$ vuông tại $N$ nên đường trung tuyến $NO$ ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền:

$$ON = OM = OP = \dfrac{MP}{2}$$

Do đó $N$ nằm trên đường tròn $(O)$ đường kính $MP$.

Tương tự, tam giác $MQP$ vuông tại $Q$ nên $OQ = \dfrac{MP}{2}$, suy ra $Q$ cũng thuộc $(O)$.

Vậy bốn điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ cùng thuộc đường tròn $(O)$ đường kính $MP$.

$NQ$ là một dây không đi qua tâm, $MP$ là đường kính. Theo định lí: $NQ < MP$. $\square$

2. Góc ở tâm, cung và số đo của một cung

Khái niệm cung tròn và góc ở tâm

Cho hai điểm $A$ và $B$ cùng thuộc một đường tròn. Hai điểm đó chia đường tròn thành hai phần, mỗi phần gọi là một cung tròn (hay cung). Hai điểm $A$, $B$ gọi là hai đầu mút của mỗi cung.

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

Chú ý:

• Khi $\widehat{AOB}$ không bẹt (tức $< 180°$): cung nằm trong góc $AOB$ gọi là cung nhỏ (kí hiệu gọn $\overset{\frown}{AB}$), cung còn lại là cung lớn.
• Khi $\widehat{AOB}$ bẹt ($= 180°$): mỗi cung là một nửa đường tròn.
• Ta nói: góc $AOB$ chắn cung $\overset{\frown}{AB}$, hay cung $\overset{\frown}{AB}$ bị chắn bởi góc $AOB$.

Ví dụ minh hoạ

Cho ba điểm $M$, $N$, $P$ thuộc đường tròn $(O)$.

a) Các góc ở tâm có hai cạnh đi qua hai trong ba điểm $M$, $N$, $P$ là: $\widehat{MON}$, $\widehat{NOP}$, $\widehat{POM}$.

b) Các cung có hai mút là hai trong ba điểm:

• Hai mút $M$, $N$: cung $\overset{\frown}{MN}$ (nhỏ) và cung $\overset{\frown}{MPN}$ (lớn).
• Hai mút $N$, $P$: cung $\overset{\frown}{NP}$ (nhỏ) và cung $\overset{\frown}{NMP}$ (lớn).
• Hai mút $M$, $P$: cung $\overset{\frown}{MP}$ (nhỏ) và cung $\overset{\frown}{MNP}$ (lớn).

Cách xác định số đo của một cung

1. Số đo cung được xác định như sau:
   • Số đo của nửa đường tròn bằng $180°$.
   • Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
   • Số đo của cung lớn bằng $360°$ trừ đi số đo của cung nhỏ có chung hai mút.
2. Kí hiệu: $\text{sđ},\overset{\frown}{AB}$.

Nếu góc ở tâm $\widehat{AOB} = \alpha$ thì: $\text{sđ cung nhỏ} = \alpha$; $\text{sđ cung lớn} = 360° – \alpha$.

Chú ý:

• Cung có số đo $n°$ gọi là cung $n°$. Cả đường tròn là cung $360°$. Một điểm coi là cung $0°$.
• Hai cung trên một đường tròn gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng số đo.

Tại sao số đo cung lớn luôn lớn hơn $180°$? Vì tổng số đo cung lớn và cung nhỏ là $360°$, mà cung nhỏ có số đo nhỏ hơn $180°$, nên cung lớn phải lớn hơn $180°$.

Nhận xét. Nếu $A$ là một điểm thuộc cung $\overset{\frown}{BAC}$ thì:

$$\text{sđ},\overset{\frown}{BAC} = \text{sđ},\overset{\frown}{BA} + \text{sđ},\overset{\frown}{AC}$$

Ví dụ minh hoạ

Tính số đo các cung có đầu mút là hai trong các điểm $A$, $B$, $C$ trên đường tròn $(O)$, biết rằng $ABC$ là tam giác vuông cân tại đỉnh $A$ và $O$ là trung điểm $BC$.

Giải:

Vì $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$ nên đường trung tuyến $AO$ (ứng với cạnh huyền $BC$) cũng là đường cao, tức $AO \perp BC$.

Do đó: $\widehat{AOB} = \widehat{AOC} = 90°$.

Suy ra: $\text{sđ},\overset{\frown}{AB} = \text{sđ},\overset{\frown}{AC} = 90°$.

Cung lớn $\overset{\frown}{ACB}$ (chung mút $A$, $B$ với cung nhỏ $\overset{\frown}{AB}$): $\text{sđ},\overset{\frown}{ACB} = 360° – 90° = 270°$.

Tương tự: $\text{sđ},\overset{\frown}{ABC} = 360° – 90° = 270°$.

Ngoài ra còn hai nửa đường tròn có chung hai mút $B$, $C$, mỗi nửa có số đo $180°$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Quan hệ dây cung — đường kính, bất đẳng thức

Đặc điểm nhận dạng: Đề bài yêu cầu chứng minh bất đẳng thức liên quan đến độ dài dây, đường kính, hoặc khoảng cách từ điểm trên đường tròn đến đường kính.

Phương pháp giải:

• Sử dụng định lí: Đường kính là dây cung lớn nhất (mọi dây khác $< 2R$).
• Kết hợp bất đẳng thức tam giác và tính chất trung tuyến cạnh huyền.
• Với bài toán khoảng cách: kẻ đường vuông góc, sử dụng tính đối xứng để đưa về so sánh dây với đường kính.

Ví dụ 1. Cho đường tròn đường kính $BC$. Chứng minh rằng với điểm $A$ bất kì (khác $B$ và $C$) nằm trên đường tròn, ta đều có: $BC < AB + AC < 2BC$.

Lời giải chi tiết:

Vì $A$ thuộc đường tròn đường kính $BC$ nên $\widehat{BAC} = 90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, hoặc áp dụng tính chất trung tuyến cạnh huyền).

Xét $\triangle ABC$:

• Theo bất đẳng thức tam giác: $BC < AB + AC$ $\quad (1)$
• $AB$ và $AC$ đều là dây của đường tròn (không đi qua tâm vì $A \neq B$, $A \neq C$, $A$ khác trung điểm $BC$). Theo định lí: $AB < BC$ và $AC < BC$.

Cộng lại: $AB + AC < 2BC$ $\quad (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$: $BC < AB + AC < 2BC$. $\square$

Ví dụ 2. Cho nửa đường tròn đường kính $AB$ và một điểm $M$ tuỳ ý thuộc nửa đường tròn đó. Chứng minh rằng khoảng cách từ $M$ đến $AB$ không lớn hơn $\dfrac{AB}{2}$.

Lời giải chi tiết:

Kẻ $MH \perp AB$ tại $H$. Khoảng cách từ $M$ đến $AB$ chính là $MH$.

Gọi $M’$ là điểm đối xứng của $M$ qua $H$. Khi đó $H$ là trung điểm $MM’$, nên $MM’ = 2MH$.

Vì $AB$ là trục đối xứng của đường tròn $(O)$ nên $M’ \in (O)$.

Do đó $MM’$ là một dây của $(O)$. Theo định lí: $MM’ \leq AB$ (dấu “=” khi $MM’$ là đường kính).

$$2MH \leq AB \implies MH \leq \dfrac{AB}{2}$$

Vậy khoảng cách từ $M$ đến $AB$ không lớn hơn $\dfrac{AB}{2}$. $\square$

Dạng 2: Tính số đo cung

Đặc điểm nhận dạng: Đề bài cho góc ở tâm hoặc mối quan hệ hình học, yêu cầu tính số đo các cung.

Phương pháp giải:

• Xác định góc ở tâm chắn cung cần tìm.
• Áp dụng:
  • Cung nhỏ: $\text{sđ cung nhỏ} = \text{số đo góc ở tâm}$.
  • Cung lớn: $\text{sđ cung lớn} = 360° – \text{sđ cung nhỏ}$.
  • Nửa đường tròn: $180°$.
• Nếu có nhiều cung: sử dụng nhận xét $\text{sđ},\overset{\frown}{BAC} = \text{sđ},\overset{\frown}{BA} + \text{sđ},\overset{\frown}{AC}$.

Ví dụ 3. Cho điểm $C$ nằm trên đường tròn $(O)$. Đường trung trực của đoạn $OC$ cắt $(O)$ tại $A$ và $B$. Tính số đo các cung $\overset{\frown}{ACB}$ và $\overset{\frown}{ABC}$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $D$ là trung điểm $OC$. Vì đường trung trực của $OC$ đi qua $D$ và vuông góc với $OC$, ta có $OD \perp DA$.

Xét $\triangle OAD$ vuông tại $D$:

$$OD = \dfrac{OC}{2} = \dfrac{R}{2}, \quad OA = R$$

$$\cos(\widehat{AOD}) = \dfrac{OD}{OA} = \dfrac{R/2}{R} = \dfrac{1}{2} \implies \widehat{AOD} = 60°$$

Tương tự (do đối xứng qua đường trung trực): $\widehat{BOD} = 60°$.

Suy ra: $\widehat{AOC} = \widehat{AOD} = 60°$ (vì $D$ nằm trên $OC$).

$\widehat{AOB} = \widehat{AOD} + \widehat{BOD} = 60° + 60° = 120°$.

Mà $C$ nằm trên cung $\overset{\frown}{ACB}$ nên:

$$\text{sđ},\overset{\frown}{ACB} = \widehat{AOB} = 120°$$

Cung $\overset{\frown}{AC}$: $\text{sđ},\overset{\frown}{AC} = \widehat{AOC} = 60°$.

Cung $\overset{\frown}{ABC}$: $\text{sđ},\overset{\frown}{ABC} = 360° – \text{sđ},\overset{\frown}{AC} = 360° – 60° = 300°$.

Dạng 3: Tính khoảng cách từ tâm đến dây, tính bán kính

Đặc điểm nhận dạng: Đề bài cho dây cung, bán kính (hoặc số đo cung), yêu cầu tính khoảng cách từ tâm đến dây, hoặc ngược lại.

Phương pháp giải:

• Kẻ $OC \perp AB$ tại $C$ (chân đường vuông góc từ tâm đến dây). Khi đó $C$ là trung điểm của $AB$ (tính chất: đường kính vuông góc với dây thì chia dây làm đôi).
• Tam giác $OAC$ vuông tại $C$, áp dụng:
  • Pythagore: $OA^2 = OC^2 + AC^2$.
  • Tỉ số lượng giác nếu biết góc ở tâm: $\widehat{AOB} = 2\alpha$ thì $\widehat{AOC} = \alpha$.

Ví dụ 4. Cho đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ và $AB$ là một dây bất kì có $AB = 6$ cm.

a) Tính khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$.

b) Tính $\tan \alpha$ nếu góc ở tâm chắn cung $\overset{\frown}{AB}$ bằng $2\alpha$.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi $C$ là trung điểm $AB$. Vì $\triangle OAB$ cân tại $O$ ($OA = OB = 5$) và $C$ là trung điểm $AB$ nên $OC \perp AB$.

$CA = \dfrac{AB}{2} = 3$ cm.

Trong $\triangle OAC$ vuông tại $C$:

$$OC = \sqrt{OA^2 – CA^2} = \sqrt{25 – 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ (cm)}$$

Vậy khoảng cách từ $O$ đến $AB$ bằng 4 cm.

b) Góc ở tâm $\widehat{AOB} = 2\alpha$. Vì $OC$ là phân giác của $\widehat{AOB}$ (tam giác cân) nên $\widehat{AOC} = \alpha$.

Trong $\triangle OAC$ vuông tại $C$:

$$\tan \alpha = \dfrac{CA}{OC} = \dfrac{3}{4}$$

Ví dụ 5. Tâm $O$ của một đường tròn cách dây $AB$ một khoảng 3 cm. Tính bán kính của đường tròn $(O)$, biết rằng cung nhỏ $\overset{\frown}{AB}$ có số đo bằng $100°$ (làm tròn đến hàng phần mười).

Lời giải chi tiết:

Gọi $C$ là trung điểm $AB$. Ta có $OC \perp AB$ và $OC = 3$ cm.

$\widehat{AOB} = \text{sđ},\overset{\frown}{AB} = 100°$.

$\triangle OAB$ cân tại $O$ nên $OC$ là phân giác: $\widehat{AOC} = 50°$.

Trong $\triangle OAC$ vuông tại $C$:

$$\cos 50° = \dfrac{OC}{OA} = \dfrac{3}{R}$$

$$R = \dfrac{3}{\cos 50°} \approx \dfrac{3}{0{,}6428} \approx 4{,}7 \text{ (cm)}$$

Dạng 4: Bài toán thực tế — đồng hồ, góc quay

Đặc điểm nhận dạng: Bài toán liên quan đến kim đồng hồ, góc quay, vòng quay.

Phương pháp giải:

• Kim phút: quay $360°$ trong 60 phút → mỗi phút quay $6°$.
• Kim giờ: quay $360°$ trong 12 giờ = 720 phút → mỗi phút quay $0{,}5°$.
• Số đo cung = (số phút) × (tốc độ quay mỗi phút).

Ví dụ 6. Trên mặt đồng hồ, hỏi cứ sau mỗi khoảng thời gian 36 phút:

a) Đầu kim phút vạch nên một cung có số đo bằng bao nhiêu độ?

b) Đầu kim giờ vạch nên một cung có số đo bằng bao nhiêu độ?

Lời giải chi tiết:

a) Kim phút quay $360°$ trong 60 phút. Trong 36 phút:

$$\dfrac{36}{60} \times 360° = 216°$$

b) Kim giờ quay $360°$ trong 12 giờ = 720 phút. Trong 36 phút:

$$\dfrac{36}{720} \times 360° = 18°$$

Bài tập trắc nghiệm:

Câu 1. Trong một đường tròn, dây lớn nhất là:

A. Đường kính B. Bán kính C. Chu vi D. Diện tích

Đáp án: A.

Câu 2. Chọn khẳng định đúng. Góc ở tâm là góc:

A. Có đỉnh trùng với tâm đường tròn B. Có đỉnh nằm trên đường tròn C. Có hai cạnh là hai đường kính D. Có đỉnh nằm trên bán kính

Đáp án: A.

Câu 3. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ và dây $CD$ không đi qua tâm. Khẳng định nào đúng?

A. $AB \leq CD$ B. $AB < CD$ C. $AB = CD$ D. $AB > CD$

Đáp án: D. Đường kính là dây lớn nhất, dây $CD$ không qua tâm nên $CD < AB$.

Câu 4. Cho hai tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $M$, biết $\widehat{AMB} = 50°$. Số đo cung nhỏ $\overset{\frown}{AB}$ và cung lớn $\overset{\frown}{AB}$ lần lượt là:

A. $130°$; $250°$ B. $230°$; $130°$ C. $130°$; $230°$ D. $150°$; $210°$

Đáp án: C.

Vì $MA$, $MB$ là tiếp tuyến nên $\widehat{OAM} = \widehat{OBM} = 90°$.

Tứ giác $OAMB$ có tổng góc $360°$: $\widehat{AOB} = 360° – 90° – 90° – 50° = 130°$.

Cung nhỏ $= 130°$, cung lớn $= 360° – 130° = 230°$.

Câu 5. Cho hai tiếp tuyến tại $C$ và $D$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $N$, biết $\widehat{CND} = 60°$. Tính $\widehat{DNO}$ và $\widehat{CON}$.

A. $\widehat{DNO} = 45°$; $\widehat{CON} = 45°$

B. $\widehat{DNO} = 60°$; $\widehat{CON} = 30°$

C. $\widehat{DNO} = 35°$; $\widehat{CON} = 55°$

D. $\widehat{DNO} = 30°$; $\widehat{CON} = 60°$

Đáp án: D.

$ON$ là tia phân giác $\widehat{CND}$ (do $NC = ND$ là hai tiếp tuyến) nên $\widehat{DNO} = \dfrac{60°}{2} = 30°$.

Trong $\triangle ONC$ vuông tại $C$: $\widehat{CON} = 90° – \widehat{ONC} = 90° – 30° = 60°$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Khoảng cách tâm–dây: Khi cần tính khoảng cách từ tâm đến dây, luôn kẻ $OH \perp AB$ → $H$ là trung điểm $AB$ → tam giác vuông $OHA$ dùng Pythagore.

Mẹo 2 — Tam giác cân xuất hiện tự nhiên: Vì $OA = OB = R$, tam giác $OAB$ luôn cân tại $O$. Do đó đường vuông góc từ $O$ xuống $AB$ cũng đồng thời là trung tuyến, phân giác và đường cao.

Mẹo 3 — Đồng hồ: Kim phút quay $6°$ mỗi phút, kim giờ quay $0{,}5°$ mỗi phút. Nhớ hai con số này là giải nhanh mọi bài toán đồng hồ.

Mẹo 4 — Kiểm tra nhanh số đo cung: Tổng cung nhỏ + cung lớn luôn $= 360°$. Nếu tính ra tổng khác $360°$ thì chắc chắn sai.

Tổng kết

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du