Số người trên một địa bàn đã được tiêm mũi 4 phòng dịch Covid-19 đạt 40% trong tổng số các đối tượng cần được tiêm. Để hoàn thành một biểu đồ hình quạt tròn, Trang cần vẽ hình quạt tròn biểu thị số liệu 40%. Em có thể giúp bạn Trang được không?

Để giải quyết bài toán này, ta cần biết cách tính số đo cung tương ứng với tỉ lệ phần trăm, rồi vẽ hình quạt tròn — đây chính là nội dung bài học hôm nay.

1. Độ dài của cung tròn

Công thức chu vi đường tròn

Tỉ số giữa chu vi và đường kính của một đường tròn luôn bằng một số vô tỉ không đổi gọi là $\pi$ (pi), $\pi \approx 3{,}14$.

Chu vi đường tròn $(O; R)$ có đường kính $d = 2R$:

$$C = \pi d = 2\pi R \qquad (1)$$

Công thức độ dài cung tròn

Trên cùng một đường tròn, hai cung bằng nhau có cùng độ dài, và độ dài cung tỉ lệ với số đo của nó.

Từ công thức $(1)$, cung $360°$ (cả đường tròn) có độ dài $C = 2\pi R$. Suy ra cung $1°$ có độ dài $\dfrac{2\pi R}{360} = \dfrac{\pi R}{180}$.

Do đó cung $n°$ có độ dài:

$$l = \dfrac{n}{180},\pi R \qquad (2)$$

Nhận xét. Từ $(1)$ và $(2)$, ta có: $l = \dfrac{n}{360},\pi d = \dfrac{n}{360},C$, hay $\dfrac{l}{C} = \dfrac{n}{360}$.

Nghĩa là: tỉ số giữa độ dài cung $n°$ và chu vi đường tròn (cùng bán kính) đúng bằng $\dfrac{n}{360}$.

Ví dụ minh hoạ

Cho $M$ và $N$ là hai điểm trên đường tròn $(O; 4\text{ cm})$ sao cho $\widehat{MON} = 150°$. Tính số đo và độ dài các cung có hai mút $M$, $N$.

Giải:

Ta có hai cung:

Cung nhỏ $\overset{\frown}{MN}$ bị chắn bởi góc ở tâm $\widehat{MON}$:

$\text{sđ},\overset{\frown}{MN} = 150°$. Độ dài:

$$l_1 = \dfrac{150}{180},\pi \cdot 4 = \dfrac{10\pi}{3} \approx 10{,}47 \text{ (cm)}$$

Cung lớn $\overset{\frown}{MkN}$:

$\text{sđ},\overset{\frown}{MkN} = 360° – 150° = 210°$. Độ dài:

$$l_2 = \dfrac{210}{180},\pi \cdot 4 = \dfrac{14\pi}{3} \approx 14{,}66 \text{ (cm)}$$

2. Hình quạt tròn và hình vành khuyên

Khái niệm

1. Hình quạt tròn là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai đầu mút của cung đó.

2. Hình vành khuyên (còn gọi là hình vành khăn) là phần nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính khác nhau.

Diện tích hình quạt tròn

Diện tích hình tròn bán kính $R$: $S = \pi R^2$.

Trên cùng đường tròn, hai hình quạt ứng với hai cung bằng nhau có diện tích bằng nhau, và diện tích hình quạt tỉ lệ với số đo cung tương ứng.

Diện tích hình quạt tròn bán kính $R$ ứng với cung $n°$:

$$S_q = \dfrac{n}{360},\pi R^2 = \dfrac{l \cdot R}{2} \qquad (3)$$

(trong đó $l$ là độ dài cung tương ứng)

Nhận xét. $S_q = \dfrac{n}{360},S$, hay $\dfrac{S_q}{S} = \dfrac{n}{360} = \dfrac{l}{C}$.

Nghĩa là: tỉ số giữa diện tích hình quạt và diện tích hình tròn đúng bằng $\dfrac{n}{360}$ và bằng tỉ số giữa độ dài cung và chu vi đường tròn.

Diện tích hình vành khuyên

Diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn đồng tâm bán kính $R$ và $r$ ($R > r$):

$$S_v = \pi(R^2 – r^2) \qquad (4)$$

Ví dụ minh hoạ 1

Tính diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 4 m và 6 m.

Giải:

$S_v = \pi(R^2 – r^2) = \pi(6^2 – 4^2) = \pi(36 – 16) = 20\pi \text{ (m}^2\text{)}$

Ví dụ minh hoạ 2

Tính diện tích hình quạt tròn bán kính 6 cm và có độ dài cung tương ứng bằng $3\pi$ cm.

Giải:

Theo công thức $(3)$: $S_q = \dfrac{l \cdot R}{2} = \dfrac{3\pi \cdot 6}{2} = 9\pi \text{ (cm}^2\text{)}$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính độ dài cung tròn

Đặc điểm nhận dạng: Đề bài cho số đo cung (hoặc góc ở tâm) và bán kính, yêu cầu tính độ dài cung. Hoặc ngược lại.

Phương pháp giải: Áp dụng $l = \dfrac{n}{180},\pi R$.

Ví dụ 1. Tính độ dài cung $40°$ của đường tròn bán kính 9 cm.

Lời giải chi tiết:

$$l = \dfrac{40}{180},\pi \cdot 9 = \dfrac{40 \times 9}{180},\pi = 2\pi \approx 6{,}28 \text{ (cm)}$$

Ví dụ 2. Bánh xe (khi bơm căng) của một chiếc xe đạp có đường kính 650 mm. Biết rằng khi giò đĩa quay một vòng thì bánh xe quay được khoảng 3,3 vòng. Hỏi chiếc xe đạp di chuyển được quãng đường dài bao nhiêu mét sau khi người đi xe đạp 10 vòng liên tục?

Lời giải chi tiết:

Chu vi bánh xe: $C = \pi d = \pi \times 650 = 650\pi$ (mm).

Khi giò đĩa quay 1 vòng, bánh xe quay 3,3 vòng nên quãng đường đi được:

$$s_1 = 3{,}3 \times 650\pi = 2145\pi \text{ (mm)}$$

Khi đạp 10 vòng:

$$s_{10} = 10 \times 2145\pi = 21450\pi \approx 67\,388 \text{ (mm)} \approx 67{,}4 \text{ (m)}$$

Dạng 2: Tính diện tích hình quạt tròn

Đặc điểm nhận dạng: Đề bài cho bán kính và số đo cung (hoặc độ dài cung), yêu cầu tính diện tích hình quạt.

Phương pháp giải:

• Nếu biết $n$ và $R$: $S_q = \dfrac{n}{360},\pi R^2$.
• Nếu biết $l$ và $R$: $S_q = \dfrac{l \cdot R}{2}$.

Ví dụ 3. Tính diện tích của hình quạt tròn bán kính 4 cm, ứng với cung $36°$.

Lời giải chi tiết:

$$S_q = \dfrac{36}{360},\pi \times 4^2 = \dfrac{1}{10} \times 16\pi = \dfrac{8\pi}{5} \approx 5{,}03 \text{ (cm}^2\text{)}$$

Ví dụ 4 (Bài toán mở đầu). Trở lại tình huống mở đầu. Hãy vẽ hình quạt tròn biểu thị 40% theo hướng dẫn sau:

• Hình quạt tròn cần vẽ ứng với cung có số đo bằng $40\%$ của $360°$.

$$40\% \times 360° = 0{,}4 \times 360° = 144°$$

• Vẽ đường tròn tâm $O$ (bán kính tuỳ chọn), vẽ góc ở tâm $144°$, tô màu hình quạt tròn tương ứng.

Luyện tập. Tính diện tích hình quạt tròn đó nếu bán kính bằng 4 cm.

$$S_q = \dfrac{144}{360},\pi \times 4^2 = \dfrac{2}{5} \times 16\pi = \dfrac{32\pi}{5} \approx 20{,}1 \text{ (cm}^2\text{)}$$

Ví dụ 5. Cho đường tròn $(O; 4\text{ cm})$ và ba điểm $A$, $B$, $C$ trên đường tròn sao cho tam giác $ABC$ cân tại đỉnh $A$ và số đo cung nhỏ $\overset{\frown}{BC}$ bằng $70°$.

a) Giải thích tại sao hai cung nhỏ $\overset{\frown}{AB}$ và $\overset{\frown}{AC}$ bằng nhau.

b) Tính độ dài các cung $\overset{\frown}{BC}$, $\overset{\frown}{AB}$ và $\overset{\frown}{AC}$ (làm tròn đến hàng phần mười).

Lời giải chi tiết:

a) Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$. Vì $AB$ và $AC$ là hai dây bằng nhau của cùng đường tròn $(O)$, chúng căng hai cung nhỏ bằng nhau (hai dây bằng nhau thì hai cung bằng nhau).

Vậy $\text{sđ},\overset{\frown}{AB} = \text{sđ},\overset{\frown}{AC}$.

b) Tổng số đo ba cung nhỏ $\overset{\frown}{AB}$, $\overset{\frown}{BC}$, $\overset{\frown}{AC}$ bằng $360°$:

$$\text{sđ},\overset{\frown}{AB} + 70° + \text{sđ},\overset{\frown}{AC} = 360°$$

Mà $\text{sđ},\overset{\frown}{AB} = \text{sđ},\overset{\frown}{AC}$ nên:

$$2,\text{sđ},\overset{\frown}{AB} = 290° \implies \text{sđ},\overset{\frown}{AB} = \text{sđ},\overset{\frown}{AC} = 145°$$

Độ dài cung $\overset{\frown}{BC}$:

$$l_{BC} = \dfrac{70}{180},\pi \times 4 = \dfrac{14\pi}{9} \approx 4{,}9 \text{ (cm)}$$

Độ dài cung $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$:

$$l_{AB} = \dfrac{145}{180},\pi \times 4 = \dfrac{29\pi}{9} \approx 10{,}1 \text{ (cm)}$$

Dạng 3: Tính diện tích hình vành khuyên

Đặc điểm nhận dạng: Đề bài cho hai đường tròn đồng tâm, yêu cầu tính diện tích phần nằm giữa.

Phương pháp giải: $S_v = \pi(R^2 – r^2)$.

Ví dụ 6. Tính diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 6 cm và 4 cm.

Lời giải chi tiết:

$$S_v = \pi(6^2 – 4^2) = \pi(36 – 16) = 20\pi \approx 62{,}83 \text{ (cm}^2\text{)}$$

Ví dụ 7. Một tấm bia tạo bởi năm đường tròn đồng tâm có bán kính lần lượt là 5 cm, 10 cm, 15 cm, 20 cm và 30 cm. Giả thiết người chơi ném phi tiêu ngẫu nhiên và luôn trúng bia. Tính xác suất ném trúng vòng 8 (hình vành khuyên nằm giữa đường tròn thứ hai và thứ ba), biết xác suất cần tìm bằng tỉ số giữa diện tích hình vành khuyên tương ứng với diện tích hình tròn lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Vòng 8 nằm giữa đường tròn bán kính 10 cm và 15 cm.

Diện tích vòng 8:

$$S_8 = \pi(15^2 – 10^2) = \pi(225 – 100) = 125\pi \text{ (cm}^2\text{)}$$

Diện tích hình tròn lớn nhất (bán kính 30 cm):

$$S = \pi \times 30^2 = 900\pi \text{ (cm}^2\text{)}$$

Xác suất:

$$P = \dfrac{S_8}{S} = \dfrac{125\pi}{900\pi} = \dfrac{125}{900} = \dfrac{5}{36} \approx 0{,}139 \approx 13{,}9\%$$

Dạng 4: Bài toán thực tế (pizza, quạt giấy, biểu đồ)

Đặc điểm nhận dạng: Bài toán đặt trong bối cảnh đời sống, yêu cầu tính diện tích hình quạt hoặc so sánh diện tích các phần.

Phương pháp giải:

• Xác định bán kính $R$ và số đo cung $n$ từ dữ kiện thực tế.
• Nếu cắt đều $k$ miếng: mỗi miếng ứng với cung $\dfrac{360°}{k}$.
• Áp dụng công thức diện tích hình quạt.

Ví dụ 8. Có hai chiếc bánh pizza hình tròn. Chiếc thứ nhất có đường kính 16 cm, được cắt thành 6 miếng đều nhau. Chiếc thứ hai có đường kính 18 cm, được cắt thành 8 miếng đều nhau. Hãy so sánh diện tích bề mặt của hai miếng bánh cắt ra từ hai chiếc bánh.

Lời giải chi tiết:

Miếng bánh 1: Bán kính $R_1 = 8$ cm, cung $n_1 = \dfrac{360°}{6} = 60°$.

$$S_1 = \dfrac{60}{360},\pi \times 8^2 = \dfrac{1}{6} \times 64\pi = \dfrac{32\pi}{3} \approx 33{,}5 \text{ (cm}^2\text{)}$$

Miếng bánh 2: Bán kính $R_2 = 9$ cm, cung $n_2 = \dfrac{360°}{8} = 45°$.

$$S_2 = \dfrac{45}{360},\pi \times 9^2 = \dfrac{1}{8} \times 81\pi = \dfrac{81\pi}{8} \approx 31{,}8 \text{ (cm}^2\text{)}$$

So sánh: $S_1 \approx 33{,}5 > S_2 \approx 31{,}8$ nên miếng bánh cắt từ chiếc thứ nhất có diện tích lớn hơn.

Ví dụ 9. Một chiếc quạt giấy khi xoè ra có dạng nửa hình tròn bán kính 2,2 dm. Tính diện tích phần giấy của chiếc quạt, biết rằng khi gấp lại, phần giấy có chiều dài khoảng 1,6 dm (làm tròn đến hàng phần trăm của dm²).

Lời giải chi tiết:

Khi xoè ra, quạt là nửa hình tròn bán kính $R = 2{,}2$ dm → cung $180°$.

Khi gấp lại, phần giấy có chiều dài $r = 1{,}6$ dm → đây là bán kính nhỏ (phần nan quạt không có giấy).

Phần giấy có dạng nửa hình vành khuyên (nửa vành khuyên giữa bán kính $R = 2{,}2$ và $r = 1{,}6$, ứng với cung $180°$).

$$S = \dfrac{180}{360},\pi(R^2 – r^2) = \dfrac{1}{2},\pi(2{,}2^2 – 1{,}6^2) = \dfrac{1}{2},\pi(4{,}84 – 2{,}56) = \dfrac{1}{2},\pi \times 2{,}28 = 1{,}14\pi$$

$$S \approx 1{,}14 \times 3{,}14 \approx 3{,}58 \text{ (dm}^2\text{)}$$

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Phân biệt chia 180 và chia 360: Độ dài cung chia 180 (vì từ $2\pi R / 360 = \pi R / 180$). Diện tích quạt chia 360 (vì từ $\pi R^2 / 360$).

Mẹo 2 — Dùng $S_q = \dfrac{lR}{2}$ khi đề cho độ dài cung: Nếu đề cho sẵn $l$ thì dùng công thức này nhanh hơn tính lại $n$.

Mẹo 3 — Tỉ lệ phần trăm → số đo cung: $p\% \times 360°$ = số đo cung tương ứng. Ví dụ: $25\% \to 90°$, $40\% \to 144°$.

Mẹo 4 — Hình vành khuyên = hiệu hai hình tròn: $S_v = S_{\text{lớn}} – S_{\text{nhỏ}} = \pi R^2 – \pi r^2$.

Tổng kết

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du