Bài 22 cung cấp tính chất cơ bản của phân thức đại số — công cụ nền tảng để thực hiện hai thao tác quan trọng nhất khi làm việc với phân thức: rút gọn và quy đồng mẫu thức. Tương tự như tính chất cơ bản của phân số (nhân hoặc chia cả tử và mẫu cho cùng một số khác 0), phân thức đại số cũng có tính chất tương tự — nhưng với đa thức thay cho số.

1. Tính chất cơ bản của phân thức

Nhận biết tính chất cơ bản

Phân thức đại số có hai tính chất cơ bản sau:

Tính chất 1: Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

$$\dfrac{A}{B} = \dfrac{A \cdot M}{B \cdot M} \quad (M \text{ là đa thức khác đa thức } 0)$$

Tính chất 2: Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

$$\dfrac{A}{B} = \dfrac{A : N}{B : N} \quad (N \text{ là một nhân tử chung})$$

Ví dụ: Giải thích vì sao $\dfrac{3x + 6}{x^2 – 4} = \dfrac{3}{x – 2}$.

Phân tích tử và mẫu: $3x + 6 = 3(x + 2)$; $x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)$.

Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung $(x + 2)$:

$$\dfrac{3x + 6}{x^2 – 4} = \dfrac{3(x + 2)}{(x – 2)(x + 2)} = \dfrac{3}{x – 2}$$

Quy tắc đổi dấu

Chú ý: Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

$$\dfrac{A}{B} = \dfrac{-A}{-B}$$

Đổi dấu một đa thức là đổi dấu tất cả các hạng tử của đa thức đó.

Ví dụ: $\dfrac{-x}{1 – x} = \dfrac{x}{x – 1}$ (đổi dấu cả tử $-x \to x$ và mẫu $1 – x \to x – 1$).

Quy tắc đổi dấu đặc biệt hữu ích khi quy đồng mẫu thức: gặp hai mẫu “đối nhau” như $x – 1$ và $1 – x$, ta đổi dấu một phân thức để đưa về cùng mẫu.

2. Vận dụng

a) Rút gọn phân thức

Rút gọn một phân thức là biến đổi phân thức đó thành một phân thức mới bằng nó nhưng đơn giản hơn.

Cách rút gọn phân thức đại số:

Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.

Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Ví dụ: Rút gọn $P = \dfrac{x^2 – xy}{3(xy^2 – y^3)}$.

$$P = \dfrac{x^2 – xy}{3(xy^2 – y^3)} = \dfrac{x(x – y)}{3y^2(x – y)} = \dfrac{x}{3y^2}$$

Lưu ý quan trọng: Khi rút gọn, chỉ được chia (triệt tiêu) các nhân tử chung, không được triệt tiêu các hạng tử. Ví dụ: $\dfrac{x^2 + 2x}{3x^2 + 2x}$ không thể rút gọn bằng cách gạch $2x$ ở tử và mẫu, vì $2x$ là hạng tử chứ không phải nhân tử.

b) Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Quy đồng mẫu thức là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho.

Cách quy đồng mẫu thức:

Bước 1: Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung (MTC).

Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách lấy MTC chia cho mẫu thức đó.

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Cách chọn MTC: Lấy tích các nhân tử, trong đó:

• Nhân tử bằng số: lấy BCNN của các hệ số.
• Mỗi lũy thừa của cùng biểu thức: chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.

Ví dụ: Quy đồng mẫu thức: $\dfrac{3}{5x^3 + 5x^2}$ và $\dfrac{-7}{2x^3 + 4x^2 + 2x}$.

Phân tích mẫu:

• $5x^3 + 5x^2 = 5x^2(x + 1)$
• $2x^3 + 4x^2 + 2x = 2x(x + 1)^2$

MTC $= 10x^2(x + 1)^2$.

Nhân tử phụ: $10x^2(x+1)^2 : 5x^2(x+1) = 2(x+1)$; $10x^2(x+1)^2 : 2x(x+1)^2 = 5x$.

Kết quả:

$$\dfrac{3}{5x^3 + 5x^2} = \dfrac{6(x+1)}{10x^2(x+1)^2}; \quad \dfrac{-7}{2x^3 + 4x^2 + 2x} = \dfrac{-35x}{10x^2(x+1)^2}$$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Rút gọn phân thức

Phương pháp giải:

Bước 1: Phân tích tử thành nhân tử (đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử…).

Bước 2: Phân tích mẫu thành nhân tử.

Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung. Chú ý dùng quy tắc đổi dấu nếu gặp nhân tử “đối nhau” (ví dụ: $3 – x$ và $x – 3$).

Ví dụ mẫu 1 (BT 6.9a): Rút gọn $\dfrac{5x + 10}{25x^2 + 50}$.

Lời giải chi tiết:

Phân tích tử: $5x + 10 = 5(x + 2)$.

Phân tích mẫu: $25x^2 + 50 = 25(x^2 + 2)$.

Nhân tử chung: $5$.

$$\dfrac{5x + 10}{25x^2 + 50} = \dfrac{5(x + 2)}{25(x^2 + 2)} = \dfrac{x + 2}{5(x^2 + 2)}$$

Ví dụ mẫu 2 (BT 6.9b): Rút gọn $\dfrac{45x(3 – x)}{15x(x – 3)^3}$.

Lời giải chi tiết:

Nhận xét: $3 – x = -(x – 3)$. Nên $45x(3 – x) = 45x \cdot (-(x-3)) = -45x(x – 3)$.

$$\dfrac{45x(3 – x)}{15x(x – 3)^3} = \dfrac{-45x(x – 3)}{15x(x – 3)^3}$$

Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung $15x(x – 3)$:

$$= \dfrac{-3}{(x – 3)^2}$$

Ví dụ mẫu 3 (BT 6.9c): Rút gọn $\dfrac{(x^2 – 1)^2}{(x + 1)(x^3 + 1)}$.

Lời giải chi tiết:

Phân tích:

• Tử: $(x^2 – 1)^2 = [(x-1)(x+1)]^2 = (x-1)^2(x+1)^2$.
• Mẫu: $(x+1)(x^3 + 1) = (x+1)(x+1)(x^2 – x + 1) = (x+1)^2(x^2 – x + 1)$.

Nhân tử chung: $(x+1)^2$.

$$\dfrac{(x-1)^2(x+1)^2}{(x+1)^2(x^2 – x + 1)} = \dfrac{(x-1)^2}{x^2 – x + 1}$$

Ví dụ mẫu 4 (BT 6.10): Cho phân thức $P = \dfrac{x + 1}{x^2 – 1}$.

a) Rút gọn phân thức, kí hiệu $Q$.

b) Tính giá trị của $P$ và $Q$ tại $x = 11$. So sánh.

Lời giải chi tiết:

a) Phân tích mẫu: $x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)$.

$$Q = \dfrac{x + 1}{(x – 1)(x + 1)} = \dfrac{1}{x – 1}$$

b) Tại $x = 11$:

$P = \dfrac{11 + 1}{11^2 – 1} = \dfrac{12}{120} = \dfrac{1}{10}$.

$Q = \dfrac{1}{11 – 1} = \dfrac{1}{10}$.

Hai kết quả bằng nhau, vì $P$ và $Q$ là hai phân thức bằng nhau ($Q$ là rút gọn của $P$).

Dạng 2: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Phương pháp giải:

Bước 1: Phân tích tất cả mẫu thức thành nhân tử.

Bước 2: Tìm MTC = tích các nhân tử chọn theo quy tắc: hệ số lấy BCNN, mỗi biểu thức lấy lũy thừa cao nhất.

Bước 3: Tìm nhân tử phụ = MTC : mẫu thức.

Bước 4: Nhân tử và mẫu mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Lưu ý: Nếu gặp hai mẫu “đối nhau” (ví dụ $x – 1$ và $1 – x$), dùng quy tắc đổi dấu để đưa về cùng dạng trước khi quy đồng.

Ví dụ mẫu 1 (BT 6.12a): Quy đồng mẫu thức: $\dfrac{1}{x^3 – 8}$ và $\dfrac{3}{4 – 2x}$.

Lời giải chi tiết:

Phân tích mẫu:

• $x^3 – 8 = (x – 2)(x^2 + 2x + 4)$.
• $4 – 2x = 2(2 – x) = -2(x – 2)$.

Áp dụng quy tắc đổi dấu cho phân thức thứ hai:

$$\dfrac{3}{4 – 2x} = \dfrac{3}{-2(x – 2)} = \dfrac{-3}{2(x – 2)}$$

Bây giờ hai mẫu: $(x-2)(x^2 + 2x + 4)$ và $2(x – 2)$.

MTC $= 2(x – 2)(x^2 + 2x + 4)$.

Nhân tử phụ:

• Phân thức 1: MTC $: (x-2)(x^2+2x+4) = 2$.
• Phân thức 2: MTC $: 2(x-2) = x^2 + 2x + 4$.

Kết quả:

$$\dfrac{1}{x^3 – 8} = \dfrac{2}{2(x-2)(x^2+2x+4)}$$

$$\dfrac{3}{4 – 2x} = \dfrac{-3(x^2+2x+4)}{2(x-2)(x^2+2x+4)}$$

Ví dụ mẫu 2 (BT 6.12b): Quy đồng mẫu thức: $\dfrac{x}{x^2 – 1}$ và $\dfrac{1}{x^2 + 2x + 1}$.

Lời giải chi tiết:

Phân tích mẫu:

• $x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)$.
• $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$.

MTC $= (x – 1)(x + 1)^2$.

Nhân tử phụ:

• Phân thức 1: MTC $: (x-1)(x+1) = x + 1$.
• Phân thức 2: MTC $: (x+1)^2 = x – 1$.

Kết quả:

$$\dfrac{x}{x^2 – 1} = \dfrac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)^2}$$

$$\dfrac{1}{x^2 + 2x + 1} = \dfrac{x – 1}{(x-1)(x+1)^2}$$

Dạng 3: Tìm đa thức và chứng minh hai phân thức bằng nhau

Phương pháp giải:

Tìm đa thức $A$: Từ $\dfrac{P}{Q} = \dfrac{A}{R}$ (hoặc $\dfrac{A}{Q} = \dfrac{P}{R}$), sử dụng tính chất cơ bản: nếu phân thức gốc nhân (hoặc chia) tử và mẫu với cùng đa thức $M$ thì phân thức mới bằng phân thức gốc. Xác định $M$ rồi tính $A$.

Tìm hệ số $a$: Dùng quy tắc hai phân thức bằng nhau ($AD = BC$), lập phương trình và giải.

Chứng minh bằng nhau: Rút gọn cả hai phân thức rồi chỉ ra chúng bằng cùng một phân thức. Hoặc dùng tích chéo.

Ví dụ mẫu 1 (BT 6.8): Tìm đa thức thích hợp thay cho dấu “?”: $\dfrac{y – x}{4 – x} = \dfrac{?}{x – 4}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có $x – 4 = -(4 – x)$, tức mẫu mới bằng mẫu cũ nhân $(-1)$.

Theo tính chất cơ bản, phải nhân cả tử với $(-1)$:

$$\dfrac{y – x}{4 – x} = \dfrac{-(y – x)}{-(4 – x)} = \dfrac{x – y}{x – 4}$$

Vậy đa thức cần tìm là $x – y$.

Ví dụ mẫu 2 (BT 6.11): Tìm $a$ sao cho: $\dfrac{5x}{x + 1} = \dfrac{ax(x – 1)}{(1 – x)(x + 1)}$.

Lời giải chi tiết:

Nhận xét mẫu vế phải: $(1 – x)(x + 1) = -(x – 1)(x + 1)$.

Nên: $\dfrac{ax(x-1)}{(1-x)(x+1)} = \dfrac{ax(x-1)}{-(x-1)(x+1)} = \dfrac{-ax}{x + 1}$.

Để hai phân thức bằng nhau:

$$\dfrac{5x}{x + 1} = \dfrac{-ax}{x + 1}$$

Suy ra: $5x = -ax$, tức $a = -5$.

Ví dụ mẫu 3 (Bài 7 giáo án, câu 1): Chứng minh: $\dfrac{9x^2 – 1}{12x^2 + 4x} = \dfrac{9x^2 – 6x + 1}{12x^2 – 4x}$.

Lời giải chi tiết:

Rút gọn vế trái:

$$\dfrac{9x^2 – 1}{12x^2 + 4x} = \dfrac{(3x-1)(3x+1)}{4x(3x+1)} = \dfrac{3x – 1}{4x}$$

Rút gọn vế phải:

$$\dfrac{9x^2 – 6x + 1}{12x^2 – 4x} = \dfrac{(3x – 1)^2}{4x(3x – 1)} = \dfrac{3x – 1}{4x}$$

Hai vế cùng bằng $\dfrac{3x – 1}{4x}$, nên hai phân thức bằng nhau (đpcm).

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Rút gọn = “Phân tích + Chia”: Luôn nhớ hai bước: phân tích nhân tử → chia nhân tử chung. Không bao giờ gạch hạng tử.

Mẹo 2 — Nhận diện nhanh nhân tử đối nhau: $a – b = -(b – a)$. Ví dụ: $3 – x = -(x – 3)$; $1 – x^2 = -(x^2 – 1)$. Khi thấy tử hoặc mẫu “ngược dấu”, dùng ngay quy tắc đổi dấu.

Mẹo 3 — Chọn MTC theo “số mũ cao nhất”: Liệt kê tất cả nhân tử xuất hiện trong các mẫu, mỗi nhân tử lấy lũy thừa cao nhất. Ví dụ: mẫu 1 có $x^2(x+1)$, mẫu 2 có $x(x+1)^2$ → MTC có $x^2(x+1)^2$.

Mẹo 4 — Kiểm tra rút gọn bằng cách thay số: Sau khi rút gọn, thay một giá trị cụ thể (ví dụ $x = 2$) vào cả phân thức gốc và phân thức rút gọn. Nếu kết quả bằng nhau → đúng.

Tổng kết

Qua Bài 22, các em cần nắm vững:

Tính chất cơ bản: Nhân (hoặc chia) cả tử và mẫu của phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được phân thức bằng phân thức đã cho. Đây là cơ sở cho mọi biến đổi phân thức.

Quy tắc đổi dấu: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{-A}{-B}$. Dùng khi gặp tử hoặc mẫu “đối nhau”.

Rút gọn phân thức: Phân tích nhân tử → chia nhân tử chung. Chỉ triệt tiêu nhân tử, không triệt tiêu hạng tử.

Quy đồng mẫu thức: Phân tích mẫu thành nhân tử → chọn MTC → tìm nhân tử phụ → nhân tử và mẫu với nhân tử phụ.

Nắm vững hai kỹ năng rút gọn và quy đồng sẽ giúp các em thực hiện tốt các phép cộng, trừ, nhân, chia phân thức ở các bài tiếp theo.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du