Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
- 1. Bảng tần số ghép nhóm và bảng tần số tương đối ghép nhóm
- Tại sao cần ghép nhóm?
- Nhóm số liệu
- Bảng tần số ghép nhóm
- Bảng tần số tương đối ghép nhóm
- Ví dụ minh họa
- 2. Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột
- Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột là gì?
- Cách vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột
- Ví dụ minh họa
- 3. Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng
- Giá trị đại diện
- Cách vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng
- Ví dụ minh họa
- 4. Các dạng bài tập và phương pháp giải
- Dạng 1: Lập bảng tần số ghép nhóm từ dữ liệu cho trước
- Dạng 2: Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm
- Dạng 3: Đọc bảng tần số tương đối ghép nhóm và tính ngược ra tần số
- Dạng 4: Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột
- Dạng 5: Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm và vẽ biểu đồ dạng đoạn thẳng
- 5. Sai lầm thường gặp
- 6. Mẹo giải nhanh
- 7. Tổng kết
1. Bảng tần số ghép nhóm và bảng tần số tương đối ghép nhóm
Tại sao cần ghép nhóm?
Trong thực tế, nhiều khi ta không biết giá trị chính xác của số liệu mà chỉ biết nó nằm trong một khoảng nhất định. Ví dụ, khi khảo sát thời gian tự học của học sinh, ta thường hỏi: “Bạn tự học từ 1 đến dưới 2 giờ hay từ 2 đến dưới 3 giờ?” thay vì yêu cầu ghi chính xác từng phút. Khi đó, dữ liệu được ghép thành các nhóm (các khoảng) để dễ thống kê và biểu diễn.
Nhóm số liệu
Nhóm số liệu $[a;, b)$ là nhóm gồm các số liệu lớn hơn hoặc bằng $a$ và nhỏ hơn $b$. Trong đó $a$ gọi là đầu mút trái, $b$ gọi là đầu mút phải.
Ví dụ: Nhóm $[1;, 2)$ gồm tất cả các giá trị từ 1 (tính cả 1) đến dưới 2 (không tính 2).
Bảng tần số ghép nhóm
Bảng tần số ghép nhóm là bảng thống kê tần số (số lần xuất hiện) của các nhóm số liệu:
| Nhóm | $[a_1;, a_2)$ | $[a_2;, a_3)$ | $\ldots$ | $[a_k;, a_{k+1})$ |
|---|---|---|---|---|
| Tần số | $m_1$ | $m_2$ | $\ldots$ | $m_k$ |
Trong đó tần số $m_i$ của nhóm $[a_i;, a_{i+1})$ là số giá trị của mẫu số liệu lớn hơn hoặc bằng $a_i$ và nhỏ hơn $a_{i+1}$.
Bảng tần số tương đối ghép nhóm
Bảng tần số tương đối ghép nhóm là bảng thống kê tần số tương đối (tỉ lệ phần trăm) của các nhóm số liệu:
| Nhóm | $[a_1;, a_2)$ | $[a_2;, a_3)$ | $\ldots$ | $[a_k;, a_{k+1})$ |
|---|---|---|---|---|
| Tần số tương đối | $f_1$ | $f_2$ | $\ldots$ | $f_k$ |
Trong đó $n = m_1 + m_2 + \cdots + m_k$ là cỡ mẫu và:
$$f_i = \dfrac{m_i}{n} \cdot 100\%$$
là tần số tương đối của nhóm $[a_i;, a_{i+1})$.
Ví dụ minh họa
Cân nặng (đơn vị: kg) của 40 học sinh lớp 9B được ghép nhóm như sau: từ 40 kg đến dưới 45 kg có 4 học sinh; từ 45 kg đến dưới 50 kg có 12 học sinh; từ 50 kg đến dưới 55 kg có 16 học sinh; từ 55 kg đến dưới 60 kg có 8 học sinh.
Lập bảng tần số ghép nhóm và bảng tần số tương đối ghép nhóm.
Lời giải:
Tần số tương ứng với các nhóm: $m_1 = 4$, $m_2 = 12$, $m_3 = 16$, $m_4 = 8$.
Bảng tần số ghép nhóm:
| Cân nặng (kg) | $[40;, 45)$ | $[45;, 50)$ | $[50;, 55)$ | $[55;, 60)$ |
|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | 4 | 12 | 16 | 8 |
Cỡ mẫu: $n = 4 + 12 + 16 + 8 = 40$.
Tính tần số tương đối cho từng nhóm:
$$f_1 = \dfrac{4}{40} \cdot 100\% = 10\%; \quad f_2 = \dfrac{12}{40} \cdot 100\% = 30\%$$
$$f_3 = \dfrac{16}{40} \cdot 100\% = 40\%; \quad f_4 = \dfrac{8}{40} \cdot 100\% = 20\%$$
Bảng tần số tương đối ghép nhóm:
| Cân nặng (kg) | $[40;, 45)$ | $[45;, 50)$ | $[50;, 55)$ | $[55;, 60)$ |
|---|---|---|---|---|
| Tần số tương đối | 10% | 30% | 40% | 20% |
Kiểm tra: $10\% + 30\% + 40\% + 20\% = 100\%$ ✓
2. Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột
Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột là gì?
Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột là biểu đồ gồm các cột liền nhau (không có khoảng cách giữa các cột) dùng để biểu diễn bảng tần số tương đối ghép nhóm. Chiều cao mỗi cột bằng tần số tương đối của nhóm số liệu tương ứng.
Biểu đồ dạng này còn được gọi là tổ chức đồ (histogram).
Cách vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột
Với các nhóm số liệu có độ dài bằng nhau, ta thực hiện theo 3 bước:
Bước 1. Vẽ trục đứng và trục ngang. Trên trục đứng xác định đơn vị phù hợp với các tần số tương đối. Trên trục ngang xác định các nhóm số liệu.
Bước 2. Dựng các cột kề nhau (liền nhau, không có khoảng cách), mỗi cột có chiều cao bằng tần số tương đối của nhóm số liệu tương ứng.
Bước 3. Ghi chú giải cho các trục, giá trị tần số tương đối trên mỗi cột và tiêu đề biểu đồ.
Lưu ý: Nếu chiều cao mỗi cột biểu diễn tần số (thay vì tần số tương đối) thì ta có biểu đồ tần số ghép nhóm dạng cột.
Ví dụ minh họa
Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột cho bảng thống kê về thời gian đi từ nhà tới trường của một số bạn trong lớp 9E:
| Thời gian (phút) | $[5;, 10)$ | $[10;, 15)$ | $[15;, 20)$ | $[20;, 25)$ |
|---|---|---|---|---|
| Tần số tương đối | 25% | 35% | 25% | 15% |
Lời giải:
Bước 1. Vẽ trục đứng biểu diễn tần số tương đối (%), chia vạch từ 0% đến 40%. Trục ngang ghi các nhóm thời gian: 5, 10, 15, 20, 25.
Bước 2. Dựng 4 cột kề nhau:
- Cột 1 (nhóm $[5;, 10)$): chiều cao 25%
- Cột 2 (nhóm $[10;, 15)$): chiều cao 35%
- Cột 3 (nhóm $[15;, 20)$): chiều cao 25%
- Cột 4 (nhóm $[20;, 25)$): chiều cao 15%
Bước 3. Ghi giá trị tần số tương đối trên đỉnh mỗi cột, ghi tên trục ngang: “Thời gian (phút)”, trục đứng: “Tần số tương đối (%)”, tiêu đề: “Thời gian đến trường của các bạn trong lớp”.
3. Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng
Ngoài biểu đồ dạng cột, ta còn có thể biểu diễn bảng tần số tương đối ghép nhóm bằng biểu đồ dạng đoạn thẳng.
Giá trị đại diện
Mỗi nhóm số liệu $[a_i;, a_{i+1})$ có một giá trị đại diện là trung bình cộng của hai đầu mút:
$$x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$$
Ví dụ: Giá trị đại diện của nhóm $[1;, 1{,}5)$ là $\dfrac{1 + 1{,}5}{2} = 1{,}25$.
Cách vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng
Bước 1. Tính giá trị đại diện $x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$ cho mỗi nhóm số liệu.
Bước 2. Vẽ trục ngang biểu diễn các giá trị đại diện, trục đứng biểu diễn tần số tương đối.
Bước 3. Với mỗi giá trị đại diện $x_i$ và tần số tương đối $f_i$, xác định điểm $M_i(x_i;, f_i)$. Nối các điểm liên tiếp với nhau.
Bước 4. Ghi chú giải cho các trục, giá trị tại mỗi điểm và tiêu đề biểu đồ.
Lưu ý: Trên trục ngang, ta cũng có thể ghi các nhóm số liệu thay cho giá trị đại diện. Nếu thay tần số tương đối bằng tần số, ta có biểu đồ tần số ghép nhóm dạng đoạn thẳng.
Ví dụ minh họa
Cho bảng tần số tương đối ghép nhóm về tuổi thọ của một loại pin sạc:
| Tuổi thọ (năm) | $[1;, 1{,}5)$ | $[1{,}5;, 2)$ | $[2;, 2{,}5)$ | $[2{,}5;, 3)$ | $[3;, 3{,}5)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Tần số tương đối | 10% | 25% | 35% | 20% | 10% |
Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng.
Lời giải:
Bước 1. Tính giá trị đại diện cho mỗi nhóm:
| Nhóm | $[1;, 1{,}5)$ | $[1{,}5;, 2)$ | $[2;, 2{,}5)$ | $[2{,}5;, 3)$ | $[3;, 3{,}5)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Giá trị đại diện | 1,25 | 1,75 | 2,25 | 2,75 | 3,25 |
| Tần số tương đối | 10% | 25% | 35% | 20% | 10% |
Bước 2. Vẽ trục ngang ghi các giá trị đại diện (1,25; 1,75; 2,25; 2,75; 3,25), trục đứng ghi tần số tương đối (%).
Bước 3. Xác định 5 điểm: $(1{,}25;, 10)$, $(1{,}75;, 25)$, $(2{,}25;, 35)$, $(2{,}75;, 20)$, $(3{,}25;, 10)$. Nối các điểm liên tiếp.
Bước 4. Ghi chú giải: trục ngang “Tuổi thọ (năm)”, trục đứng “Tần số tương đối (%)”, tiêu đề “Tuổi thọ pin sạc”.
4. Các dạng bài tập và phương pháp giải
Dạng 1: Lập bảng tần số ghép nhóm từ dữ liệu cho trước
Phương pháp giải:
- Bước 1: Xác định các nhóm số liệu $[a_i;, a_{i+1})$ theo yêu cầu đề bài.
- Bước 2: Duyệt từng giá trị trong mẫu dữ liệu, xếp vào nhóm tương ứng (lưu ý: giá trị bằng $a_i$ thuộc nhóm $[a_i;, a_{i+1})$, giá trị bằng $a_{i+1}$ thuộc nhóm tiếp theo).
- Bước 3: Đếm số giá trị trong mỗi nhóm → tần số.
- Bước 4: Kiểm tra tổng tần số bằng cỡ mẫu.
Ví dụ: (Bài 7.18 SGK)
Ghi lại cấp độ động đất của các trận động đất xảy ra tại một vùng trong 10 năm:
I, V, II, III, VI, V, IV, II, III, V, VI, VII, VIII, I, I, II, VI, VII, IV.
Biết rằng theo thang Richter: cấp I có độ lớn từ 1 đến dưới 3; cấp II và III có độ lớn từ 3 đến dưới 4; cấp IV và V có độ lớn từ 4 đến dưới 5; cấp VI và VII có độ lớn từ 5 đến dưới 6; cấp VIII có độ lớn từ 6 đến dưới 6,9.
Lập bảng tần số ghép nhóm cho độ lớn các trận động đất theo thang Richter.
Lời giải chi tiết:
Tổng số trận động đất: $n = 19$.
Ta phân loại từng trận vào các nhóm theo độ lớn Richter:
- Nhóm $[1;, 3)$ – Cấp I: Đếm trong dãy, cấp I xuất hiện ở vị trí 1, 14, 15 → 3 trận.
- Nhóm $[3;, 4)$ – Cấp II, III: Cấp II ở vị trí 3, 8, 16 (3 trận); Cấp III ở vị trí 4, 9 (2 trận) → 5 trận.
- Nhóm $[4;, 5)$ – Cấp IV, V: Cấp IV ở vị trí 7, 19 (2 trận); Cấp V ở vị trí 2, 6, 10 (3 trận) → 5 trận.
- Nhóm $[5;, 6)$ – Cấp VI, VII: Cấp VI ở vị trí 5, 11, 17 (3 trận); Cấp VII ở vị trí 12, 18 (2 trận) → 5 trận.
- Nhóm $[6;, 6{,}9)$ – Cấp VIII: Vị trí 13 → 1 trận.
Bảng tần số ghép nhóm:
| Độ lớn (độ Richter) | $[1;, 3)$ | $[3;, 4)$ | $[4;, 5)$ | $[5;, 6)$ | $[6;, 6{,}9)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | 3 | 5 | 5 | 5 | 1 |
Kiểm tra: $3 + 5 + 5 + 5 + 1 = 19$ ✓
Dạng 2: Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm
Phương pháp giải:
- Bước 1: Từ bảng tần số ghép nhóm, xác định cỡ mẫu $n = m_1 + m_2 + \cdots + m_k$.
- Bước 2: Tính tần số tương đối: $f_i = \dfrac{m_i}{n} \cdot 100\%$.
- Bước 3: Lập bảng và kiểm tra tổng tần số tương đối = 100%.
Ví dụ: (Bài 7.19 SGK)
Giáo viên ghi lại thời gian chạy cự li 100 mét của các học sinh lớp 9A:
| Thời gian (giây) | $[13;, 15)$ | $[15;, 17)$ | $[17;, 19)$ | $[19;, 21)$ |
|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | 5 | 20 | 13 | 2 |
a) Nêu các nhóm số liệu và tần số tương ứng.
b) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm.
Lời giải chi tiết:
a) Các nhóm số liệu và tần số tương ứng:
- Nhóm $[13;, 15)$: gồm các học sinh có thời gian chạy từ 13 giây đến dưới 15 giây, tần số = 5.
- Nhóm $[15;, 17)$: từ 15 giây đến dưới 17 giây, tần số = 20.
- Nhóm $[17;, 19)$: từ 17 giây đến dưới 19 giây, tần số = 13.
- Nhóm $[19;, 21)$: từ 19 giây đến dưới 21 giây, tần số = 2.
b) Cỡ mẫu: $n = 5 + 20 + 13 + 2 = 40$.
Tính tần số tương đối:
$$f_1 = \dfrac{5}{40} \cdot 100\% = 12{,}5\%$$
$$f_2 = \dfrac{20}{40} \cdot 100\% = 50\%$$
$$f_3 = \dfrac{13}{40} \cdot 100\% = 32{,}5\%$$
$$f_4 = \dfrac{2}{40} \cdot 100\% = 5\%$$
Bảng tần số tương đối ghép nhóm:
| Thời gian (giây) | $[13;, 15)$ | $[15;, 17)$ | $[17;, 19)$ | $[19;, 21)$ |
|---|---|---|---|---|
| Tần số tương đối | 12,5% | 50% | 32,5% | 5% |
Kiểm tra: $12{,}5\% + 50\% + 32{,}5\% + 5\% = 100\%$ ✓
Dạng 3: Đọc bảng tần số tương đối ghép nhóm và tính ngược ra tần số
Phương pháp giải:
- Từ tần số tương đối $f_i$ và cỡ mẫu $n$, tính tần số: $m_i = f_i \times n$ (với $f_i$ ở dạng thập phân).
- Kiểm tra tổng tần số = $n$.
Ví dụ: (Bài 7.17 SGK)
Một cuộc điều tra về thời gian dùng mạng Internet trong ngày của học sinh lớp 9 tại một thành phố cho kết quả:
| Thời gian (giờ) | $[0;, 0{,}5)$ | $[0{,}5;, 1{,}0)$ | $[1{,}0;, 1{,}5)$ | $[1{,}5;, 2{,}0)$ | $[2{,}0;, 2{,}5)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Tỉ lệ | 15% | 27% | 23% | 18% | 17% |
a) Đọc và giải thích bảng thống kê trên.
b) Để thu được bảng trên, người ta đã lập phiếu điều tra và thu về 2000 phiếu. Lập bảng tần số ghép nhóm.
Lời giải chi tiết:
a) Bảng thống kê cho biết tỉ lệ phần trăm học sinh theo từng nhóm thời gian sử dụng Internet mỗi ngày. Cụ thể: có 15% học sinh dùng Internet từ 0 đến dưới 0,5 giờ; 27% từ 0,5 đến dưới 1,0 giờ; 23% từ 1,0 đến dưới 1,5 giờ; 18% từ 1,5 đến dưới 2,0 giờ; 17% từ 2,0 đến dưới 2,5 giờ.
b) Cỡ mẫu $n = 2000$. Tính tần số cho mỗi nhóm:
$$m_1 = 15\% \times 2000 = 0{,}15 \times 2000 = 300$$
$$m_2 = 27\% \times 2000 = 0{,}27 \times 2000 = 540$$
$$m_3 = 23\% \times 2000 = 0{,}23 \times 2000 = 460$$
$$m_4 = 18\% \times 2000 = 0{,}18 \times 2000 = 360$$
$$m_5 = 17\% \times 2000 = 0{,}17 \times 2000 = 340$$
Bảng tần số ghép nhóm:
| Thời gian (giờ) | $[0;, 0{,}5)$ | $[0{,}5;, 1{,}0)$ | $[1{,}0;, 1{,}5)$ | $[1{,}5;, 2{,}0)$ | $[2{,}0;, 2{,}5)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | 300 | 540 | 460 | 360 | 340 |
Kiểm tra: $300 + 540 + 460 + 360 + 340 = 2000$ ✓
Dạng 4: Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột
Phương pháp giải:
- Bước 1: Nếu bảng cho tần số → tính tần số tương đối trước. Nếu đã có tần số tương đối → chuyển sang Bước 2.
- Bước 2: Vẽ trục ngang (các nhóm), trục đứng (tần số tương đối).
- Bước 3: Dựng các cột liền nhau (không có khoảng cách), chiều cao bằng tần số tương đối.
- Bước 4: Ghi giá trị, chú giải trục và tiêu đề.
Ví dụ: (Bài 7.20 SGK)
Người ta trồng cà rốt và thử nghiệm một loại phân bón mới. Khi thu hoạch, đo chiều dài các củ cà rốt:
| Chiều dài (cm) | $[15;, 16)$ | $[16;, 17)$ | $[17;, 18)$ | $[18;, 19)$ | $[19;, 20)$ | $[20;, 21)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Số củ cà rốt | 8 | 17 | 30 | 28 | 12 | 5 |
Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột.
Lời giải chi tiết:
Đầu tiên, tính cỡ mẫu và tần số tương đối:
$n = 8 + 17 + 30 + 28 + 12 + 5 = 100$
| Chiều dài (cm) | $[15;, 16)$ | $[16;, 17)$ | $[17;, 18)$ | $[18;, 19)$ | $[19;, 20)$ | $[20;, 21)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tần số tương đối | 8% | 17% | 30% | 28% | 12% | 5% |
Kiểm tra: $8\% + 17\% + 30\% + 28\% + 12\% + 5\% = 100\%$ ✓
Vẽ biểu đồ:
- Trục ngang: ghi các mốc 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 (đơn vị: cm).
- Trục đứng: ghi tần số tương đối (%), chia vạch từ 0% đến 35%.
- Dựng 6 cột liền nhau, chiều cao lần lượt: 8%, 17%, 30%, 28%, 12%, 5%.
- Ghi tiêu đề: “Chiều dài củ cà rốt”, chú giải trục.
Dạng 5: Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm và vẽ biểu đồ dạng đoạn thẳng
Phương pháp giải:
- Bước 1: Từ bảng tần số ghép nhóm, tính tần số tương đối.
- Bước 2: Tính giá trị đại diện cho mỗi nhóm: $x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$.
- Bước 3: Xác định các điểm $(x_i;, f_i)$, nối liên tiếp.
- Bước 4: Ghi chú giải, giá trị tại mỗi điểm và tiêu đề.
Ví dụ: (Bài 7.21 SGK)
Thời gian chờ mua vé xem bóng đá của một số cổ động viên:
| Thời gian (phút) | $[0;, 5)$ | $[5;, 10)$ | $[10;, 15)$ | $[15;, 20)$ | $[20;, 25)$ | $[25;, 30)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Số cổ động viên | 15 | 38 | 50 | 27 | 20 | 10 |
a) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm.
b) Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng.
Lời giải chi tiết:
a) Cỡ mẫu: $n = 15 + 38 + 50 + 27 + 20 + 10 = 160$.
Tính tần số tương đối:
$$f_1 = \dfrac{15}{160} \cdot 100\% = 9{,}375\%$$
$$f_2 = \dfrac{38}{160} \cdot 100\% = 23{,}75\%$$
$$f_3 = \dfrac{50}{160} \cdot 100\% = 31{,}25\%$$
$$f_4 = \dfrac{27}{160} \cdot 100\% = 16{,}875\%$$
$$f_5 = \dfrac{20}{160} \cdot 100\% = 12{,}5\%$$
$$f_6 = \dfrac{10}{160} \cdot 100\% = 6{,}25\%$$
Bảng tần số tương đối ghép nhóm:
| Thời gian (phút) | $[0;, 5)$ | $[5;, 10)$ | $[10;, 15)$ | $[15;, 20)$ | $[20;, 25)$ | $[25;, 30)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tần số tương đối | 9,375% | 23,75% | 31,25% | 16,875% | 12,5% | 6,25% |
Kiểm tra: $9{,}375 + 23{,}75 + 31{,}25 + 16{,}875 + 12{,}5 + 6{,}25 = 100\%$ ✓
b) Tính giá trị đại diện cho mỗi nhóm:
| Nhóm | $[0;, 5)$ | $[5;, 10)$ | $[10;, 15)$ | $[15;, 20)$ | $[20;, 25)$ | $[25;, 30)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Giá trị đại diện | 2,5 | 7,5 | 12,5 | 17,5 | 22,5 | 27,5 |
| Tần số tương đối | 9,375% | 23,75% | 31,25% | 16,875% | 12,5% | 6,25% |
Xác định 6 điểm: $(2{,}5;, 9{,}375)$, $(7{,}5;, 23{,}75)$, $(12{,}5;, 31{,}25)$, $(17{,}5;, 16{,}875)$, $(22{,}5;, 12{,}5)$, $(27{,}5;, 6{,}25)$.
Nối các điểm liên tiếp, ghi chú giải trục ngang “Thời gian (phút)”, trục đứng “Tần số tương đối (%)”, ghi giá trị tại mỗi điểm và tiêu đề.
5. Sai lầm thường gặp
| Sai lầm | Đính chính |
|---|---|
| Nhầm lẫn giá trị thuộc nhóm nào: ví dụ giá trị bằng 15 thuộc nhóm $[10;, 15)$ hay $[15;, 20)$. | Nhóm $[a;, b)$ bao gồm $a$ nhưng không bao gồm $b$. Vậy giá trị 15 thuộc nhóm $[15;, 20)$, không thuộc $[10;, 15)$. |
| Vẽ biểu đồ histogram nhưng các cột có khoảng cách như biểu đồ cột thông thường. | Biểu đồ tần số ghép nhóm dạng cột (histogram) có các cột liền nhau, không có khoảng cách, vì các nhóm số liệu liên tiếp nhau. |
| Tính giá trị đại diện sai: lấy đầu mút trái hoặc đầu mút phải thay vì trung bình cộng. | Giá trị đại diện = $\dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$ (trung bình cộng hai đầu mút). |
| Tổng tần số tương đối khác 100% do làm tròn không hợp lý. | Khi làm tròn, nên tính giá trị cuối cùng bằng cách lấy $100\%$ trừ tổng các giá trị đã tính để đảm bảo tổng đúng bằng $100\%$. |
| Nhầm lẫn biểu đồ tần số và biểu đồ tần số tương đối: trục đứng ghi tần số nhưng lại gọi là biểu đồ tần số tương đối. | Biểu đồ tần số có trục đứng là số lần (tần số). Biểu đồ tần số tương đối có trục đứng là tỉ lệ phần trăm. Cần phân biệt rõ. |
6. Mẹo giải nhanh
Mẹo 1 – Xếp nhóm nhanh bằng cách gạch đếm: Khi dãy dữ liệu dài, liệt kê các nhóm ra nháp, duyệt từng giá trị và gạch vạch vào nhóm tương ứng. Cách này giúp tránh xếp sai nhóm.
Mẹo 2 – Tính tần số tương đối nhanh khi cỡ mẫu “đẹp”: Nếu $n$ là bội của 10, 20, 40, 50, 100,… thì phép chia cho ra kết quả gọn. Ví dụ: $n = 40$ thì $\dfrac{1}{40} = 2{,}5\%$, nên chỉ cần nhân tần số với 2,5.
Mẹo 3 – Tính giá trị đại diện nhanh: Với các nhóm có độ dài bằng nhau (ví dụ đều rộng 5 đơn vị), giá trị đại diện cách đều nhau. Chỉ cần tính giá trị đại diện đầu tiên rồi cộng thêm độ dài nhóm.
Mẹo 4 – Nhận diện nhanh histogram: Histogram luôn có các cột liền nhau (khác với biểu đồ cột thường có khoảng cách). Đây là dấu hiệu để phân biệt.
7. Tổng kết
- Nhóm số liệu $[a;, b)$ gồm các giá trị $\geq a$ và $< b$.
- Bảng tần số ghép nhóm cho biết số lần xuất hiện (tần số) của mỗi nhóm. Bảng tần số tương đối ghép nhóm cho biết tỉ lệ phần trăm (tần số tương đối) của mỗi nhóm.
- Công thức tần số tương đối: $f_i = \dfrac{m_i}{n} \cdot 100\%$.
- Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột (histogram): các cột liền nhau, chiều cao bằng tần số tương đối.
- Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng: sử dụng giá trị đại diện $x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$, xác định các điểm $(x_i;, f_i)$ rồi nối liên tiếp.
- Tổng tần số tương đối luôn bằng $100\%$.
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du