Lớp 11 · Toán
Bài 11
Hai Đường Thẳng Song Song
Vị trí tương đối · Tính chất · Định lí ba giao tuyến
1
Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
▼
Hai đường thẳng đồng phẳng
Hai đường thẳng $a$ và $b$ được gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.
Khi đó có $3$ trường hợp xảy ra:
Khi đó có $3$ trường hợp xảy ra:
Hình minh hoạ: $3$ trường hợp của hai đường thẳng đồng phẳng
| Trường hợp | Đặc điểm | Kí hiệu |
|---|---|---|
| Cắt nhau | Có đúng $1$ điểm chung $M$ | $a \cap b = \{M\}$ |
| Song song | Không có điểm chung | $a \parallel b$ |
| Trùng nhau | Mọi điểm đều chung | $a \equiv b$ |
Hai đường thẳng chéo nhau
Hai đường thẳng $a$ và $b$ được gọi là chéo nhau nếu chúng không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào.
Hình minh hoạ: Hai đường thẳng $a, b$ chéo nhau
📍 Phân biệt song song và chéo nhau
• Cả hai trường hợp đều không có điểm chung.
• Song song: hai đường thẳng đồng phẳng (cùng một mặt phẳng).
• Chéo nhau: hai đường thẳng không đồng phẳng.
Hệ quả quan trọng: Hai đường thẳng không có điểm chung thì hoặc song song, hoặc chéo nhau.
• Song song: hai đường thẳng đồng phẳng (cùng một mặt phẳng).
• Chéo nhau: hai đường thẳng không đồng phẳng.
Hệ quả quan trọng: Hai đường thẳng không có điểm chung thì hoặc song song, hoặc chéo nhau.
🎯 Bảng tổng hợp vị trí tương đối
• Cắt nhau: đồng phẳng, $1$ điểm chung.
• Song song: đồng phẳng, $0$ điểm chung.
• Trùng nhau: đồng phẳng, vô số điểm chung.
• Chéo nhau: không đồng phẳng, $0$ điểm chung.
• Song song: đồng phẳng, $0$ điểm chung.
• Trùng nhau: đồng phẳng, vô số điểm chung.
• Chéo nhau: không đồng phẳng, $0$ điểm chung.
💡 Ví dụ 1
Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trong ba đường thẳng $AB, AF, BE$ có hai đường thẳng nào chéo nhau hay không
Hình minh hoạ: Hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ chung cạnh $AB$
→ Vì $AF$ và $BE$ là hai cạnh của hình bình hành $ABEF$ nên $AF, BE \subset (ABEF)$
→ $AB$ cũng là một cạnh của hình bình hành $ABEF$ nên $AB \subset (ABEF)$
→ Ba đường thẳng $AB, AF, BE$ cùng nằm trong mặt phẳng $(ABEF)$
Vậy không có cặp đường thẳng nào trong ba đường thẳng $AB, AF, BE$ chéo nhau
💡 Ví dụ 2
Cho hình tứ diện $ABCD$. Hai đường thẳng $AB$ và $CD$ có chéo nhau hay không
Hình minh hoạ: Tứ diện $ABCD$ với $3$ cặp cạnh đối chéo nhau
→ Giả sử $AB$ và $CD$ không chéo nhau, tức là cùng nằm trong một mặt phẳng
→ Khi đó $4$ điểm $A, B, C, D$ đồng phẳng
→ Điều này mâu thuẫn với giả thiết $ABCD$ là hình tứ diện ($4$ đỉnh không đồng phẳng)
→ Vậy $AB$ và $CD$ chéo nhau
Lập luận tương tự, $3$ cặp cạnh đối diện của tứ diện đều chéo nhau: $(AB, CD), (AC, BD), (AD, BC)$
2
Tính chất của hai đường thẳng song song
▼
⚡ Tính chất 1
Trong không gian, qua một điểm $M$ không nằm trên đường thẳng $d$ cho trước, có đúng một đường thẳng song song với $d$.
Hình minh hoạ: Đường thẳng duy nhất qua $M$ song song với $d$
⚡ Tính chất 2 — Tính bắc cầu
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Nếu $a \parallel c$ và $b \parallel c$ (với $a \not\equiv b$) thì $a \parallel b$
⚡ Tính chất 3 — Định lí ba giao tuyến
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
Hình minh hoạ: Hai trường hợp của định lí ba giao tuyến
Hệ quả quan trọng
Nếu hai mặt phẳng phân biệt $(P), (Q)$ chứa hai đường thẳng song song $a, b$ thì giao tuyến của chúng (nếu có) hoặc song song với $a, b$, hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
$\begin{cases} a \subset (P), \ b \subset (Q) \\ a \parallel b \\ (P) \cap (Q) = c \end{cases} \Rightarrow c \parallel a \parallel b$
🎯 Ứng dụng của hệ quả
Rất hữu ích để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng khi mỗi mặt phẳng chứa một đường thẳng và hai đường thẳng đó song song với nhau.
💡 Ví dụ 3
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$
Hình minh hoạ: Giao tuyến $m$ của $(SAB)$ và $(SCD)$ qua $S$, song song với $AB$ và $CD$
→ Điểm chung: $S$ thuộc cả $(SAB)$ và $(SCD)$
→ Hai đường thẳng song song: $AB \subset (SAB)$ và $CD \subset (SCD)$ với $AB \parallel CD$ (do $ABCD$ là hình bình hành)
→ Áp dụng hệ quả: giao tuyến phải đi qua $S$ và song song với $AB, CD$
Vậy giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $m$ đi qua $S$ và $m \parallel AB \parallel CD$
3
Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song
▼
Có $4$ cách thường dùng:
📐 Cách 1 — Đường trung bình của tam giác
Nếu $M, N$ là trung điểm hai cạnh của tam giác thì $MN$ là đường trung bình.
$M, N$ là trung điểm $AB, AC$ → $MN \parallel BC$ và $MN = \dfrac{1}{2}BC$.
$M, N$ là trung điểm $AB, AC$ → $MN \parallel BC$ và $MN = \dfrac{1}{2}BC$.
📐 Cách 2 — Định lí Ta-lét đảo
Trong tam giác $ABC$ với $M \in AB, N \in AC$:
$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} \Rightarrow MN \parallel BC$
$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} \Rightarrow MN \parallel BC$
📐 Cách 3 — Tính chất hình bình hành
Nếu tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau thì là hình bình hành. Khi đó các cặp cạnh đối song song với nhau.
Dấu hiệu tứ giác là hình bình hành:
• Hai cặp cạnh đối song song.
• Một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Dấu hiệu tứ giác là hình bình hành:
• Hai cặp cạnh đối song song.
• Một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
📐 Cách 4 — Tính bắc cầu (Tính chất 2)
$\begin{cases} a \parallel c \\ b \parallel c \end{cases} \Rightarrow a \parallel b$ (với $a, b$ phân biệt).
💡 Ví dụ 4 — Áp dụng đường trung bình
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SA, SD$. Chứng minh $MN \parallel BC$
Hình minh hoạ: $MN$ là đường trung bình tam giác $SAD$
→ Xét tam giác $SAD$: $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SD$
→ Theo định lí đường trung bình: $MN \parallel AD$ và $MN = \dfrac{1}{2}AD$
→ Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD \parallel BC$
→ Áp dụng tính bắc cầu: $MN \parallel AD$ và $AD \parallel BC$ suy ra $MN \parallel BC$
Vậy $MN \parallel BC$ (đpcm)
4
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (có yếu tố song song)
▼
Có $2$ phương pháp:
🔧 Phương pháp 1 — Tìm $2$ điểm chung
Đã học ở bài trước: tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng, nối lại được giao tuyến.
🔧 Phương pháp 2 — Định lí giao tuyến song song
Áp dụng khi mỗi mặt phẳng chứa một đường thẳng và hai đường thẳng đó song song.
Bước 1: Tìm $1$ điểm chung $S$ của $(P)$ và $(Q)$.
Bước 2: Chỉ ra $a \subset (P)$, $b \subset (Q)$ và $a \parallel b$.
Bước 3: Giao tuyến là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $a, b$.
Bước 1: Tìm $1$ điểm chung $S$ của $(P)$ và $(Q)$.
Bước 2: Chỉ ra $a \subset (P)$, $b \subset (Q)$ và $a \parallel b$.
Bước 3: Giao tuyến là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $a, b$.
🎯 Dấu hiệu nhận biết
Khi đề bài cho đáy là hình bình hành, hình thang, hoặc các tứ giác có cặp cạnh song song → thường áp dụng được Phương pháp $2$.
💡 Ví dụ 5
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Xác định giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$
→ Điểm chung: $S \in (SAD)$ và $S \in (SBC)$
→ $AD \subset (SAD)$, $BC \subset (SBC)$, và $AD \parallel BC$ (do $ABCD$ là hình bình hành)
→ Theo định lí giao tuyến: giao tuyến qua $S$ và song song với $AD, BC$
Vậy giao tuyến $(SAD) \cap (SBC)$ là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AD, BC$
💡 Ví dụ 6 — Tìm giao tuyến rồi chứng minh song song
Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N$ là trung điểm $BC, CD$ và $P$ là một điểm trên cạnh $AC$. Xác định giao tuyến $d$ của $(AMN)$ và $(BPD)$, rồi chứng minh $d \parallel BD$
Hình minh hoạ: Giao tuyến $d = EF$ song song với $BD$
Tìm $2$ điểm chung:
→ Trong $(ABC)$: gọi $E = BP \cap AM$. Khi đó $E \in AM \subset (AMN)$ và $E \in BP \subset (BPD)$
→ Trong $(ACD)$: gọi $F = DP \cap AN$. Khi đó $F \in AN \subset (AMN)$ và $F \in DP \subset (BPD)$
→ Giao tuyến $d = EF$
Chứng minh $d \parallel BD$:
→ Trong tam giác $BCD$: $M$ trung điểm $BC$, $N$ trung điểm $CD$ nên $MN$ là đường trung bình, do đó $MN \parallel BD$
→ $MN \subset (AMN)$, $BD \subset (BPD)$, $MN \parallel BD$
→ Theo định lí giao tuyến: $d \parallel MN \parallel BD$
Vậy $d \equiv EF \parallel BD$ (đpcm)
5
Bài toán điển hình về chứng minh hình bình hành
▼
📐 Bài toán dạng chuẩn
Để chứng minh một tứ giác trong không gian là hình bình hành, ta thường:
• Chỉ ra một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, hoặc
• Chứng minh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Công cụ chính: đường trung bình của tam giác.
• Chỉ ra một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, hoặc
• Chứng minh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Công cụ chính: đường trung bình của tam giác.
💡 Ví dụ 7
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh bên $SA, SB, SC, SD$. Chứng minh rằng tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành
→ Xét tam giác $SAB$: $M, N$ là trung điểm $SA, SB$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN \parallel AB$ và $MN = \dfrac{1}{2}AB$ (1)
→ Xét tam giác $SCD$: $P, Q$ là trung điểm $SC, SD$ nên $PQ$ là đường trung bình, suy ra $PQ \parallel CD$ và $PQ = \dfrac{1}{2}CD$ (2)
→ Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB \parallel CD$ và $AB = CD$ (3)
→ Từ (1), (2), (3): $MN \parallel PQ$ (bắc cầu qua $AB, CD$) và $MN = PQ = \dfrac{1}{2}AB$
→ Tứ giác $MNPQ$ có một cặp cạnh đối ($MN$ và $PQ$) vừa song song vừa bằng nhau
Vậy $MNPQ$ là hình bình hành (đpcm)
⚠️ Lưu ý
Trong tứ giác $MNPQ$, thứ tự đỉnh phải theo vòng quanh. Khi $M, N, P, Q$ là trung điểm các cạnh $SA, SB, SC, SD$ thì các cạnh đối là $(MN, PQ)$ và $(NP, MQ)$ — KHÔNG phải $(MP, NQ)$.
6
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp kiến thức trọng tâm
| Nội dung | Tóm tắt |
|---|---|
| $4$ vị trí tương đối | Cắt nhau, song song, trùng nhau (đồng phẳng) và chéo nhau (không đồng phẳng) |
| Tính chất $1$ | Qua điểm $M \notin d$, có duy nhất $1$ đường thẳng qua $M$ song song với $d$ |
| Tính chất $2$ (bắc cầu) | $a \parallel c, b \parallel c \Rightarrow a \parallel b$ (với $a, b$ phân biệt) |
| Định lí $3$ giao tuyến | $3$ giao tuyến phân biệt: đồng quy hoặc đôi một song song |
| Hệ quả | $a \subset (P), b \subset (Q), a \parallel b, (P) \cap (Q) = c \Rightarrow c \parallel a \parallel b$ |
| Đường trung bình | $M, N$ trung điểm $AB, AC$ → $MN \parallel BC$ và $MN = \dfrac{1}{2}BC$ |
| $4$ cách CMR song song | Đường trung bình · Ta-lét đảo · Hình bình hành · Bắc cầu |
| Cạnh đối tứ diện | $3$ cặp cạnh đối của tứ diện đôi một chéo nhau |
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Hai đường thẳng song song!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh