Lớp 11 · Toán
Bài 18
Lũy Thừa Với Số Mũ Thực
Số mũ nguyên · Căn bậc $n$ · Số mũ hữu tỉ · Số mũ thực
1
Lũy thừa với số mũ nguyên
▼
Định nghĩa
Cho $n$ là số nguyên dương:
• Với $a$ là số thực tuỳ ý: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ thừa số}}$
• Với $a \neq 0$: $a^0 = 1$ và $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$
Trong $a^m$: $a$ gọi là cơ số, $m$ là số mũ.
• Với $a$ là số thực tuỳ ý: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ thừa số}}$
• Với $a \neq 0$: $a^0 = 1$ và $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$
Trong $a^m$: $a$ gọi là cơ số, $m$ là số mũ.
⚠️ $0^0$ và $0^{-n}$ (với $n \in \mathbb{N}^*$) không có nghĩa
Các tính chất cơ bản
| Tính chất | Công thức (với $a \neq 0, b \neq 0$) |
|---|---|
| Nhân cùng cơ số | $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ |
| Chia cùng cơ số | $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ |
| Lũy thừa của lũy thừa | $(a^m)^n = a^{mn}$ |
| Lũy thừa của tích | $(ab)^m = a^m \cdot b^m$ |
| Lũy thừa của thương | $\left(\dfrac{a}{b}\right)^m = \dfrac{a^m}{b^m}$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
💡 Ví dụ 1 — Tính lũy thừa số mũ âm
Tính $\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-2}$
B1.Áp dụng $\left(\dfrac{1}{a}\right)^{-n} = a^n$: $\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-2} = 5^2$
B2.Tính $5^2 = 25$
2
Căn bậc $n$ và tính chất
▼
Định nghĩa căn bậc $n$
Cho số thực $a$ và số nguyên dương $n$. Số $b$ được gọi là căn bậc $n$ của số $a$ nếu $b^n = a$.
Phân loại theo $n$ chẵn / lẻ
• Khi $n$ lẻ: mỗi số thực $a$ có duy nhất một căn bậc $n$, ký hiệu $\sqrt[n]{a}$.
• Khi $n$ chẵn:
— Mỗi số thực dương $a$ có đúng hai căn bậc $n$ là hai số đối nhau: $\sqrt[n]{a}$ (dương) và $-\sqrt[n]{a}$ (âm).
— $\sqrt[n]{0} = 0$.
— Số âm không có căn bậc chẵn.
• Khi $n$ chẵn:
— Mỗi số thực dương $a$ có đúng hai căn bậc $n$ là hai số đối nhau: $\sqrt[n]{a}$ (dương) và $-\sqrt[n]{a}$ (âm).
— $\sqrt[n]{0} = 0$.
— Số âm không có căn bậc chẵn.
Tính chất căn bậc $n$
| Tính chất | Công thức |
|---|---|
| Căn của tích | $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ |
| Căn của thương | $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$ |
| Lũy thừa của căn | $\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}$ |
| Căn lồng căn | $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$ |
| Căn của lũy thừa | $\sqrt[n]{a^n} = a$ ($n$ lẻ); $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ ($n$ chẵn) |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
💡 Ví dụ 2 — Tính căn bậc $n$
Tính: a) $\sqrt[3]{-64}$ và b) $\sqrt[4]{\dfrac{1}{16}}$
a)$n = 3$ là số lẻ, mọi số thực đều có căn bậc 3
$\sqrt[3]{-64} = \sqrt[3]{(-4)^3} = -4$
b)$n = 4$ là số chẵn, lấy căn dương
$\sqrt[4]{\dfrac{1}{16}} = \sqrt[4]{\left(\dfrac{1}{2}\right)^4} = \dfrac{1}{2}$
3
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
▼
Định nghĩa
Cho số thực $a$ dương và số hữu tỉ $r = \dfrac{m}{n}$, trong đó $m \in \mathbb{Z}$ và $n$ là số nguyên dương. Khi đó:
$a^r = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$
⚠️ Tại sao cần $a > 0$?
Vì nếu $a < 0$ và $n$ chẵn thì $\sqrt[n]{a^m}$ không có nghĩa. Đây là lý do định nghĩa lũy thừa số mũ hữu tỉ chỉ áp dụng cho cơ số dương.
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ (của một số dương) có đầy đủ các tính chất giống lũy thừa số mũ nguyên.
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ (của một số dương) có đầy đủ các tính chất giống lũy thừa số mũ nguyên.
💡 Mẹo chuyển đổi nhanh
• $a^{0{,}5} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$
• $a^{0{,}25} = a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a}$
• $a^{0{,}75} = a^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{a^3}$
• $a^{1{,}5} = a^{\frac{3}{2}} = \sqrt{a^3}$
• $a^{0{,}25} = a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a}$
• $a^{0{,}75} = a^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{a^3}$
• $a^{1{,}5} = a^{\frac{3}{2}} = \sqrt{a^3}$
💡 Ví dụ 3 — Số mũ hữu tỉ dương
Tính $16^{\frac{3}{2}}$
Cách 1.Chuyển về dạng căn: $16^{\frac{3}{2}} = \sqrt{16^3} = \sqrt{4096} = 64$
Cách 2.Tách số mũ: $16^{\frac{3}{2}} = \left(16^{\frac{1}{2}}\right)^3 = (\sqrt{16})^3 = 4^3 = 64$
💡 Ví dụ 4 — Số mũ hữu tỉ âm
Tính $8^{-\frac{2}{3}}$
B1.Đổi sang số mũ dương: $8^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{8^{\frac{2}{3}}}$
B2.Tính $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$
B3.Vậy $8^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{4}$
4
Lũy thừa với số mũ thực
▼
Định nghĩa
Cho $a$ là số thực dương và $\alpha$ là một số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ $(r_n)$ mà $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} r_n = \alpha$.
Khi đó dãy số $(a^{r_n})$ có giới hạn xác định, không phụ thuộc vào dãy $(r_n)$ đã chọn. Giới hạn đó gọi là lũy thừa của $a$ với số mũ $\alpha$.
Khi đó dãy số $(a^{r_n})$ có giới hạn xác định, không phụ thuộc vào dãy $(r_n)$ đã chọn. Giới hạn đó gọi là lũy thừa của $a$ với số mũ $\alpha$.
$a^\alpha = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} a^{r_n}$
Tính chất quan trọng
Lũy thừa với số mũ thực (của một số dương) có đầy đủ các tính chất giống lũy thừa số mũ nguyên:
• $a^\alpha \cdot a^\beta = a^{\alpha + \beta}$
• $\dfrac{a^\alpha}{a^\beta} = a^{\alpha - \beta}$
• $(a^\alpha)^\beta = a^{\alpha\beta}$
• $(ab)^\alpha = a^\alpha \cdot b^\alpha$
• $\left(\dfrac{a}{b}\right)^\alpha = \dfrac{a^\alpha}{b^\alpha}$
• $a^\alpha \cdot a^\beta = a^{\alpha + \beta}$
• $\dfrac{a^\alpha}{a^\beta} = a^{\alpha - \beta}$
• $(a^\alpha)^\beta = a^{\alpha\beta}$
• $(ab)^\alpha = a^\alpha \cdot b^\alpha$
• $\left(\dfrac{a}{b}\right)^\alpha = \dfrac{a^\alpha}{b^\alpha}$
💡 Ví dụ 5 — Rút gọn biểu thức có số mũ vô tỉ
Rút gọn $A = a^{\sqrt{5} - 1} \cdot a^{3 - \sqrt{5}}$ (với $a > 0$)
B1.Áp dụng $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
B2.$A = a^{(\sqrt{5} - 1) + (3 - \sqrt{5})} = a^{\sqrt{5} - 1 + 3 - \sqrt{5}}$
B3.Rút gọn $\sqrt{5} - \sqrt{5} = 0$, còn lại $A = a^2$
💡 Ví dụ 6 — Lũy thừa của lũy thừa
Rút gọn $B = \left(a^{\sqrt{3} + 1}\right)^{\sqrt{3} - 1}$ (với $a > 0$)
B1.Áp dụng $(a^m)^n = a^{mn}$: $B = a^{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}$
B2.Khai triển: $(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$
B3.Vậy $B = a^2$
5
So sánh các lũy thừa cùng cơ số
▼
Quy tắc so sánh
Với $a > 0$ và $a \neq 1$, $m, n$ là các số thực:
• Nếu $a > 1$ thì $a^m > a^n \;\Leftrightarrow\; m > n$
• Nếu $0 < a < 1$ thì $a^m > a^n \;\Leftrightarrow\; m < n$
• Nếu $a > 1$ thì $a^m > a^n \;\Leftrightarrow\; m > n$
• Nếu $0 < a < 1$ thì $a^m > a^n \;\Leftrightarrow\; m < n$
💡 Mẹo ghi nhớ
• Cơ số > 1: "số mũ lớn $\Rightarrow$ giá trị lớn" (cùng chiều).
• Cơ số < 1: "số mũ lớn $\Rightarrow$ giá trị nhỏ" (ngược chiều).
• Cơ số < 1: "số mũ lớn $\Rightarrow$ giá trị nhỏ" (ngược chiều).
🔧 Phương pháp so sánh hai lũy thừa
Cách 1: Đưa về cùng cơ số $a$, rồi so sánh số mũ.
Cách 2: Đưa về cùng số mũ, rồi so sánh cơ số.
Mẹo phân tích: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $16 = 2^4$; $9 = 3^2$, $27 = 3^3$, $81 = 3^4$; $25 = 5^2$, $125 = 5^3$.
Cách 2: Đưa về cùng số mũ, rồi so sánh cơ số.
Mẹo phân tích: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $16 = 2^4$; $9 = 3^2$, $27 = 3^3$, $81 = 3^4$; $25 = 5^2$, $125 = 5^3$.
💡 Ví dụ 7 — So sánh không dùng máy tính
So sánh $8^{\sqrt{3}}$ và $4^{2\sqrt{3}}$
B1.Đưa về cùng cơ số $2$: $8 = 2^3 \Rightarrow 8^{\sqrt{3}} = (2^3)^{\sqrt{3}} = 2^{3\sqrt{3}}$
B2.$4 = 2^2 \Rightarrow 4^{2\sqrt{3}} = (2^2)^{2\sqrt{3}} = 2^{4\sqrt{3}}$
B3.So sánh số mũ: $3 < 4$ nên $3\sqrt{3} < 4\sqrt{3}$
B4.Cơ số $2 > 1$ và $3\sqrt{3} < 4\sqrt{3}$ nên $2^{3\sqrt{3}} < 2^{4\sqrt{3}}$, tức $8^{\sqrt{3}} < 4^{2\sqrt{3}}$
💡 Ví dụ 8 — So sánh số mũ chứa căn
So sánh $5^{6\sqrt{3}}$ và $5^{3\sqrt{6}}$
B1.Hai lũy thừa đã cùng cơ số $5 > 1$, chỉ cần so sánh số mũ
B2.Bình phương hai số mũ (đều dương): $(6\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$; $(3\sqrt{6})^2 = 9 \cdot 6 = 54$
B3.Vì $108 > 54$ nên $6\sqrt{3} > 3\sqrt{6}$
B4.Cơ số $5 > 1$ nên $5^{6\sqrt{3}} > 5^{3\sqrt{6}}$
6
Tổng kết công thức
▼
📋 Bảng tổng hợp định nghĩa lũy thừa
| Loại | Định nghĩa | Điều kiện |
|---|---|---|
| Số mũ nguyên dương | $a^n = a \cdot a \cdots a$ ($n$ thừa số) | $a \in \mathbb{R}$ |
| Số mũ bằng $0$ | $a^0 = 1$ | $a \neq 0$ |
| Số mũ nguyên âm | $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ | $a \neq 0$ |
| Số mũ hữu tỉ | $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ | $a > 0$ |
| Số mũ thực (vô tỉ) | $a^\alpha = \displaystyle\lim a^{r_n}$ | $a > 0$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📚
Xem thêm: Bài viết chi tiết về lũy thừa với số mũ thực — lý thuyết, công thức và phương pháp giải trên edus.vn
→
1
—
Điểm: 0/27
🎯
Luyện tập Lũy thừa với số mũ thực!
27 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/27
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh