Lớp 11 · Toán
Bài 2
Công Thức Lượng Giác
Công thức cộng · Nhân đôi - Hạ bậc · Tích thành tổng · Tổng thành tích
1
Bài toán mở đầu & Ôn lại
▼
🎵 Tình huống thực tế
Một thiết bị âm thanh nhận tín hiệu vào là $f_1(t) = 5\sin t$ và phát lại $f_2(t) = 5\cos t$. Âm kết hợp là:
$$f(t) = 5\sin t + 5\cos t$$ Câu hỏi: Có thể viết $f(t)$ dưới dạng $k\sin(t + \varphi)$ không? Tìm biên độ $k$ và pha ban đầu $\varphi$.
👉 Để giải được bài toán này, chúng ta cần các công thức lượng giác trong bài học hôm nay.
$$f(t) = 5\sin t + 5\cos t$$ Câu hỏi: Có thể viết $f(t)$ dưới dạng $k\sin(t + \varphi)$ không? Tìm biên độ $k$ và pha ban đầu $\varphi$.
👉 Để giải được bài toán này, chúng ta cần các công thức lượng giác trong bài học hôm nay.
🔵 Ôn lại giá trị lượng giác của các góc đặc biệt:
| Góc | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan$ | $0$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | — |
Các đẳng thức cơ bản
$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$
$\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a}$ ($\cos a \ne 0$)
$1 + \tan^2 a = \dfrac{1}{\cos^2 a}$
$\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a}$ ($\cos a \ne 0$)
$1 + \tan^2 a = \dfrac{1}{\cos^2 a}$
📍 Dấu của GTLG theo góc phần tư
• Góc phần tư I $(0 < a < \dfrac{\pi}{2})$: cả 4 GTLG đều dương.
• Góc phần tư II $(\dfrac{\pi}{2} < a < \pi)$: chỉ $\sin a > 0$, các GTLG khác âm.
• Góc phần tư III $(\pi < a < \dfrac{3\pi}{2})$: chỉ $\tan a, \cot a > 0$.
• Góc phần tư IV $(\dfrac{3\pi}{2} < a < 2\pi)$: chỉ $\cos a > 0$.
• Góc phần tư II $(\dfrac{\pi}{2} < a < \pi)$: chỉ $\sin a > 0$, các GTLG khác âm.
• Góc phần tư III $(\pi < a < \dfrac{3\pi}{2})$: chỉ $\tan a, \cot a > 0$.
• Góc phần tư IV $(\dfrac{3\pi}{2} < a < 2\pi)$: chỉ $\cos a > 0$.
💡Vì sao cần nhớ dấu? Khi tính các GTLG còn lại từ một GTLG cho trước (ví dụ: biết $\sin a$, tìm $\cos a$), ta dùng $\cos a = \pm\sqrt{1 - \sin^2 a}$. Việc xác định dấu giúp chọn đúng dấu $+$ hay $-$.
2
Công thức cộng
▼
🔵 Sáu công thức cộng:
▸ Công thức cộng cho cosin
$\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
$\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
$\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
▸ Công thức cộng cho sin
$\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$
$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$
$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$
▸ Công thức cộng cho tan
$\tan(a - b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$
$\tan(a + b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$
$\tan(a + b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$
(điều kiện: các biểu thức đều có nghĩa)
🔵 Mẹo nhớ:
| Công thức | Cách nhớ |
|---|---|
| $\cos(a \pm b)$ | "cos cos $\mp$ sin sin" — dấu ở giữa ngược dấu trong ngoặc |
| $\sin(a \pm b)$ | "sin cos $\pm$ cos sin" — dấu giữ nguyên |
| $\tan(a \pm b)$ | Tử: $\tan a \pm \tan b$ | Mẫu: $1 \mp \tan a \tan b$ |
Ví dụ 1 — Tính $\cos 75°$
Vì $75° = 45° + 30°$ nên ta áp dụng công thức cộng cho cosin:
⟶$\cos 75° = \cos(45° + 30°) = \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30°$
⟶$= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2}$
⟶$= \dfrac{\sqrt{6}}{4} - \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$
⟹$\cos 75° = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Ví dụ 2 — Tính $\tan\dfrac{\pi}{12}$
Vì $\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}$ nên:
⟶$\tan\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\tan\dfrac{\pi}{3} - \tan\dfrac{\pi}{4}}{1 + \tan\dfrac{\pi}{3} \cdot \tan\dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$
Nhân tử và mẫu với liên hợp $(\sqrt{3} - 1)$:
⟶$= \dfrac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \dfrac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$
⟹$\tan\dfrac{\pi}{12} = 2 - \sqrt{3}$.
Ví dụ 3 — Tính $\cos\left(a + \dfrac{\pi}{3}\right)$ khi biết $\sin a$
Cho $\sin a = \dfrac{3}{5}$ và $\dfrac{\pi}{2} < a < \pi$. Tính $\cos\left(a + \dfrac{\pi}{3}\right)$.
B1.Xác định dấu của $\cos a$: vì $\dfrac{\pi}{2} < a < \pi$ (QII) nên $\cos a < 0$.
B2.Tính $\cos a$: $\cos a = -\sqrt{1 - \sin^2 a} = -\sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = -\dfrac{4}{5}$.
B3.Áp dụng công thức cộng:
⟶$\cos\left(a + \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos a \cos\dfrac{\pi}{3} - \sin a \sin\dfrac{\pi}{3}$
⟶$= -\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{4 + 3\sqrt{3}}{10}$.
⚡Mẹo nhận dạng nhanh:
• Thấy biểu thức $\cos A \cos B - \sin A \sin B$ → đây là $\cos(A + B)$.
• Thấy $\sin A \cos B + \cos A \sin B$ → đây là $\sin(A + B)$.
• Ví dụ: $\cos 35° \cos 25° - \sin 35° \sin 25° = \cos 60° = \dfrac{1}{2}$.
• Thấy biểu thức $\cos A \cos B - \sin A \sin B$ → đây là $\cos(A + B)$.
• Thấy $\sin A \cos B + \cos A \sin B$ → đây là $\sin(A + B)$.
• Ví dụ: $\cos 35° \cos 25° - \sin 35° \sin 25° = \cos 60° = \dfrac{1}{2}$.
3
Công thức nhân đôi & Hạ bậc
▼
🔵 Ba công thức nhân đôi:
$\sin 2a = 2\sin a \cos a$
$\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$
$\tan 2a = \dfrac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}$
$\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$
$\tan 2a = \dfrac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}$
💡 Lưu ý: $\cos 2a$ có 3 dạng — chọn dạng phù hợp
• Biết cả $\sin a$ và $\cos a$ → dùng $\cos^2 a - \sin^2 a$.
• Chỉ biết $\cos a$ → dùng $2\cos^2 a - 1$.
• Chỉ biết $\sin a$ → dùng $1 - 2\sin^2 a$.
• Chỉ biết $\cos a$ → dùng $2\cos^2 a - 1$.
• Chỉ biết $\sin a$ → dùng $1 - 2\sin^2 a$.
🔵 Công thức hạ bậc: Từ công thức $\cos 2a$, suy ra:
Công thức hạ bậc
$\cos^2 a = \dfrac{1 + \cos 2a}{2}$
$\sin^2 a = \dfrac{1 - \cos 2a}{2}$
$\sin^2 a = \dfrac{1 - \cos 2a}{2}$
→ Ứng dụng: hạ bậc 2 xuống bậc 1, đơn giản hoá biểu thức hoặc giúp tính giá trị các góc dạng $\dfrac{\pi}{8}, \dfrac{\pi}{12}$,...
Ví dụ 4 — Tính $\sin 2a$ khi biết $\cos a$
Cho $\cos a = -\dfrac{1}{3}$ với $\dfrac{\pi}{2} < a < \pi$. Tính $\sin 2a$.
B1.Tìm $\sin a$: vì $\dfrac{\pi}{2} < a < \pi$ nên $\sin a > 0$.
⟶$\sin a = \sqrt{1 - \dfrac{1}{9}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
B2.Áp dụng nhân đôi:
⟶$\sin 2a = 2\sin a \cos a = 2 \cdot \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right) = -\dfrac{4\sqrt{2}}{9}$.
Ví dụ 5 — Tính $\cos\dfrac{\pi}{8}$ bằng công thức hạ bậc
Vì $\dfrac{\pi}{4} = 2 \cdot \dfrac{\pi}{8}$ nên áp dụng hạ bậc:
⟶$\cos^2\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{1 + \cos\dfrac{\pi}{4}}{2} = \dfrac{1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}$.
Vì $0 < \dfrac{\pi}{8} < \dfrac{\pi}{2}$ nên $\cos\dfrac{\pi}{8} > 0$:
⟹$\cos\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$.
⚡Mẹo khi đề cho $\sin a + \cos a = k$ hoặc $\sin a - \cos a = k$:
Bình phương hai vế:
• $(\sin a + \cos a)^2 = k^2 \Rightarrow 1 + \sin 2a = k^2 \Rightarrow \sin 2a = k^2 - 1$.
• $(\sin a - \cos a)^2 = k^2 \Rightarrow 1 - \sin 2a = k^2 \Rightarrow \sin 2a = 1 - k^2$.
Ví dụ: $\sin a + \cos a = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sin 2a = \dfrac{1}{4} - 1 = -\dfrac{3}{4}$.
Bình phương hai vế:
• $(\sin a + \cos a)^2 = k^2 \Rightarrow 1 + \sin 2a = k^2 \Rightarrow \sin 2a = k^2 - 1$.
• $(\sin a - \cos a)^2 = k^2 \Rightarrow 1 - \sin 2a = k^2 \Rightarrow \sin 2a = 1 - k^2$.
Ví dụ: $\sin a + \cos a = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sin 2a = \dfrac{1}{4} - 1 = -\dfrac{3}{4}$.
4
Biến đổi tích thành tổng
▼
🔵 Ba công thức:
$\cos a \cos b = \dfrac{1}{2}\left[\cos(a - b) + \cos(a + b)\right]$
$\sin a \sin b = \dfrac{1}{2}\left[\cos(a - b) - \cos(a + b)\right]$
$\sin a \cos b = \dfrac{1}{2}\left[\sin(a - b) + \sin(a + b)\right]$
$\sin a \sin b = \dfrac{1}{2}\left[\cos(a - b) - \cos(a + b)\right]$
$\sin a \cos b = \dfrac{1}{2}\left[\sin(a - b) + \sin(a + b)\right]$
🔵 Mẹo nhớ:
| Tích | Kết quả | Cách nhớ |
|---|---|---|
| $\cos \cdot \cos$ | $\dfrac{1}{2}[\cos + \cos]$ | "cos cos" → cộng cos |
| $\sin \cdot \sin$ | $\dfrac{1}{2}[\cos - \cos]$ | "sin sin" → trừ cos |
| $\sin \cdot \cos$ | $\dfrac{1}{2}[\sin + \sin]$ | "sin cos" → cộng sin |
⚠️ Luôn nhớ hệ số $\dfrac{1}{2}$ ở phía trước
Đây là sai lầm phổ biến nhất! Nếu quên hệ số $\dfrac{1}{2}$, kết quả sẽ gấp đôi đáp án đúng.
Ví dụ 6 — Tính $A = \cos\dfrac{5\pi}{12} \cdot \cos\dfrac{7\pi}{12}$
Dạng $\cos \cdot \cos$ → dùng công thức cộng cos.
⟶$A = \dfrac{1}{2}\left[\cos\left(\dfrac{5\pi}{12} - \dfrac{7\pi}{12}\right) + \cos\left(\dfrac{5\pi}{12} + \dfrac{7\pi}{12}\right)\right]$
⟶$= \dfrac{1}{2}\left[\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + \cos\pi\right] = \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\sqrt{3}}{2} - 1\right]$
⟹$A = \dfrac{\sqrt{3} - 2}{4}$.
Ví dụ 7 — Tính $B = \sin 15° \cdot \cos 75°$
Dạng $\sin \cdot \cos$ → dùng cộng sin.
⟶$B = \dfrac{1}{2}\left[\sin(15° - 75°) + \sin(15° + 75°)\right]$
⟶$= \dfrac{1}{2}\left[\sin(-60°) + \sin 90°\right] = \dfrac{1}{2}\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2} + 1\right]$
⟹$B = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4}$.
5
Biến đổi tổng thành tích
▼
🔵 Bốn công thức:
$\cos u + \cos v = 2\cos\dfrac{u + v}{2} \cdot \cos\dfrac{u - v}{2}$
$\cos u - \cos v = -2\sin\dfrac{u + v}{2} \cdot \sin\dfrac{u - v}{2}$
$\sin u + \sin v = 2\sin\dfrac{u + v}{2} \cdot \cos\dfrac{u - v}{2}$
$\sin u - \sin v = 2\cos\dfrac{u + v}{2} \cdot \sin\dfrac{u - v}{2}$
$\cos u - \cos v = -2\sin\dfrac{u + v}{2} \cdot \sin\dfrac{u - v}{2}$
$\sin u + \sin v = 2\sin\dfrac{u + v}{2} \cdot \cos\dfrac{u - v}{2}$
$\sin u - \sin v = 2\cos\dfrac{u + v}{2} \cdot \sin\dfrac{u - v}{2}$
📍 Quy tắc chung "tổng chia 2, hiệu chia 2"
• Hai góc sau biến đổi là $\dfrac{u+v}{2}$ và $\dfrac{u-v}{2}$.
• Hệ số đứng trước là $2$ (KHÔNG phải $\dfrac{1}{2}$ như tích → tổng!).
• Đặc biệt: $\cos u - \cos v$ có dấu trừ phía trước!
• Hệ số đứng trước là $2$ (KHÔNG phải $\dfrac{1}{2}$ như tích → tổng!).
• Đặc biệt: $\cos u - \cos v$ có dấu trừ phía trước!
🔵 Mẹo nhớ:
| Tổng / Hiệu | Kết quả |
|---|---|
| $\cos + \cos$ | $2\cos \cdot \cos$ (cùng cos → tích cos cos) |
| $\cos - \cos$ | $\mathbf{-2}\sin \cdot \sin$ (CÓ DẤU TRỪ!) |
| $\sin + \sin$ | $2\sin \cdot \cos$ (sin đứng trước) |
| $\sin - \sin$ | $2\cos \cdot \sin$ (cos đứng trước) |
Ví dụ 8 — Tính $A = \sin\dfrac{\pi}{9} - \sin\dfrac{4\pi}{9} + \sin\dfrac{7\pi}{9}$
B1.Nhận xét: $\dfrac{\pi}{9} + \dfrac{7\pi}{9} = \dfrac{8\pi}{9}$, mà $\dfrac{8\pi}{9} : 2 = \dfrac{4\pi}{9}$ — góc đặc biệt! Nhóm hai số hạng này.
⟶$A = \left(\sin\dfrac{\pi}{9} + \sin\dfrac{7\pi}{9}\right) - \sin\dfrac{4\pi}{9}$
B2.Áp dụng $\sin + \sin$:
⟶$\sin\dfrac{\pi}{9} + \sin\dfrac{7\pi}{9} = 2\sin\dfrac{4\pi}{9} \cdot \cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = 2\sin\dfrac{4\pi}{9} \cdot \dfrac{1}{2} = \sin\dfrac{4\pi}{9}$.
⟹$A = \sin\dfrac{4\pi}{9} - \sin\dfrac{4\pi}{9} = 0$.
Ví dụ 9 — Quay lại bài toán mở đầu
Viết $f(t) = 5\sin t + 5\cos t$ dưới dạng $k\sin(t + \varphi)$.
⟶$f(t) = 5(\sin t + \cos t)$
Khai triển $\sqrt{2}\sin\left(t + \dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left(\sin t \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \cos t \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sin t + \cos t$.
⟶Vậy $\sin t + \cos t = \sqrt{2}\sin\left(t + \dfrac{\pi}{4}\right)$.
⟹$f(t) = 5\sqrt{2}\sin\left(t + \dfrac{\pi}{4}\right)$. Biên độ $k = 5\sqrt{2}$, pha ban đầu $\varphi = \dfrac{\pi}{4}$.
🎯Dấu hiệu chọn công thức:
• Biểu thức có tổng/hiệu $\sin$ hoặc $\cos$ → dùng tổng → tích.
• Biểu thức có tích $\sin \cdot \sin$, $\cos \cdot \cos$, $\sin \cdot \cos$ → dùng tích → tổng.
• Trước khi biến đổi, tìm cặp góc có tổng/hiệu là góc đặc biệt để nhóm lại.
• Biểu thức có tổng/hiệu $\sin$ hoặc $\cos$ → dùng tổng → tích.
• Biểu thức có tích $\sin \cdot \sin$, $\cos \cdot \cos$, $\sin \cdot \cos$ → dùng tích → tổng.
• Trước khi biến đổi, tìm cặp góc có tổng/hiệu là góc đặc biệt để nhóm lại.
6
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp các công thức:
| Loại | Công thức |
|---|---|
| Cộng | $\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b$ $\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$ $\tan(a \pm b) = \dfrac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}$ |
| Nhân đôi | $\sin 2a = 2\sin a \cos a$ $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ $\tan 2a = \dfrac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}$ |
| Hạ bậc | $\cos^2 a = \dfrac{1 + \cos 2a}{2}$ | $\sin^2 a = \dfrac{1 - \cos 2a}{2}$ |
| Tích → Tổng | $\cos a \cos b = \dfrac{1}{2}[\cos(a-b) + \cos(a+b)]$ $\sin a \sin b = \dfrac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(a+b)]$ $\sin a \cos b = \dfrac{1}{2}[\sin(a-b) + \sin(a+b)]$ |
| Tổng → Tích | $\cos u + \cos v = 2\cos\dfrac{u+v}{2}\cos\dfrac{u-v}{2}$ $\cos u - \cos v = -2\sin\dfrac{u+v}{2}\sin\dfrac{u-v}{2}$ $\sin u + \sin v = 2\sin\dfrac{u+v}{2}\cos\dfrac{u-v}{2}$ $\sin u - \sin v = 2\cos\dfrac{u+v}{2}\sin\dfrac{u-v}{2}$ |
| Đặc biệt | $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$ $\sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$ |
✅Tổng kết Bài 2:
• Công thức cộng là nền tảng — suy ra mọi công thức khác.
• Nhân đôi: thay $b = a$ trong công thức cộng. Hạ bậc: suy từ $\cos 2a$.
• Tích → Tổng có hệ số $\dfrac{1}{2}$ phía trước; Tổng → Tích có hệ số $2$.
• Nhớ mẹo dấu: cos cos $\mp$ sin sin, sin cos $\pm$ cos sin.
• Khi tính GTLG từ một GTLG cho trước, luôn kiểm tra dấu theo góc phần tư.
📚
Xem thêm bài viết chi tiết• Công thức cộng là nền tảng — suy ra mọi công thức khác.
• Nhân đôi: thay $b = a$ trong công thức cộng. Hạ bậc: suy từ $\cos 2a$.
• Tích → Tổng có hệ số $\dfrac{1}{2}$ phía trước; Tổng → Tích có hệ số $2$.
• Nhớ mẹo dấu: cos cos $\mp$ sin sin, sin cos $\pm$ cos sin.
• Khi tính GTLG từ một GTLG cho trước, luôn kiểm tra dấu theo góc phần tư.
Công thức lượng giác lớp 11 — tổng hợp đầy đủ →
1
—
Điểm: 0/28
🎯
Luyện tập Công thức lượng giác!
28 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/28
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh