Lớp 11 · Toán
Bài 20
Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
Định nghĩa · Đồ thị · Tính chất · Tập xác định · Ứng dụng thực tế
1
Định nghĩa hàm số mũ
▼
Định nghĩa
Cho $a$ là số thực dương khác $1$.
Hàm số $y = a^x$ được gọi là hàm số mũ cơ số $a$
📍 Vì sao có điều kiện $a > 0$ và $a \neq 1$?
• Điều kiện $a > 0$ để $a^x$ có nghĩa với mọi $x \in \mathbb{R}$
• Điều kiện $a \neq 1$ vì nếu $a = 1$ thì $y = 1^x = 1$ là hàm hằng, không còn ý nghĩa của hàm mũ
• Điều kiện $a \neq 1$ vì nếu $a = 1$ thì $y = 1^x = 1$ là hàm hằng, không còn ý nghĩa của hàm mũ
💡 Ví dụ 1 – Nhận dạng hàm số mũ
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số mũ? Chỉ ra cơ số:
a) $y = (\sqrt{2})^x$ b) $y = 2^{-x}$ c) $y = 8^{x/3}$ d) $y = x^{-2}$
a) $y = (\sqrt{2})^x$ b) $y = 2^{-x}$ c) $y = 8^{x/3}$ d) $y = x^{-2}$
a)$y = (\sqrt{2})^x$ là hàm số mũ với cơ số $a = \sqrt{2} \approx 1{,}414 > 1$
b)$y = 2^{-x} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ là hàm số mũ với cơ số $a = \dfrac{1}{2}$ (vì $0 < \dfrac{1}{2} < 1$)
c)$y = 8^{x/3} = \left(8^{1/3}\right)^x = 2^x$ là hàm số mũ với cơ số $a = 2$
d)$y = x^{-2} = \dfrac{1}{x^2}$ không là hàm số mũ vì biến $x$ nằm ở cơ số (không phải số mũ)
Dấu hiệu: hàm số mũ có biến $x$ ở số mũ, cơ số là hằng số dương khác $1$
2
Đồ thị và tính chất của hàm số mũ
▼
Tính chất
Hàm số mũ $y = a^x$ có các tính chất sau:
| Tính chất | Nội dung |
|---|---|
| Tập xác định | $\mathbb{R}$ |
| Tập giá trị | $(0; +\infty)$ |
| Đồng biến | Khi $a > 1$ |
| Nghịch biến | Khi $0 < a < 1$ |
| Điểm cố định | $(0; 1)$ và $(1; a)$ |
| Tiệm cận | Trục $Ox$ (tiệm cận ngang) |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
Hình 1: Đồ thị hàm số $y = a^x$ — trường hợp $a > 1$ (đồng biến) và $0 < a < 1$ (nghịch biến)
📌 Nhận xét quan trọng
• Đồ thị $y = a^x$ và $y = \left(\dfrac{1}{a}\right)^x$ đối xứng nhau qua trục $Oy$
• Đồ thị luôn nằm phía trên trục hoành (vì $a^x > 0$ với mọi $x$)
• Khi $a > 1$: $x \to -\infty$ thì $y \to 0$; $x \to +\infty$ thì $y \to +\infty$
• Khi $0 < a < 1$: $x \to -\infty$ thì $y \to +\infty$; $x \to +\infty$ thì $y \to 0$
• Đồ thị luôn nằm phía trên trục hoành (vì $a^x > 0$ với mọi $x$)
• Khi $a > 1$: $x \to -\infty$ thì $y \to 0$; $x \to +\infty$ thì $y \to +\infty$
• Khi $0 < a < 1$: $x \to -\infty$ thì $y \to +\infty$; $x \to +\infty$ thì $y \to 0$
💡 Ví dụ 2 – Vẽ đồ thị $y = 3^x$
Vẽ đồ thị hàm số $y = 3^x$
B1.Nhận xét: $a = 3 > 1$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
B2.Lập bảng giá trị:
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y = 3^x$ | $\dfrac{1}{9}$ | $\dfrac{1}{3}$ | $1$ | $3$ | $9$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
B3.Biểu diễn các điểm $\left(-2;\dfrac{1}{9}\right), \left(-1;\dfrac{1}{3}\right), (0;1), (1;3), (2;9)$ rồi nối bằng đường cong trơn
Đồ thị đi qua $(0;1)$, nằm trên trục hoành, đi lên từ trái sang phải
Hình 2: Đồ thị hàm số $y = 3^x$ — đồng biến, đi qua $(0;1)$ và $(1;3)$
💡 Ví dụ 3 – Vẽ đồ thị $y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$
Vẽ đồ thị hàm số $y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$
B1.$a = \dfrac{1}{2}$ với $0 < a < 1$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$
B2.Lập bảng giá trị (lưu ý $y = (1/2)^x = 2^{-x}$):
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $8$ | $4$ | $2$ | $1$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{1}{4}$ | $\dfrac{1}{8}$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
B3.Nối các điểm bằng đường cong trơn — đồ thị đi qua $(0;1)$, nằm trên trục hoành và đi xuống từ trái sang phải
Đồ thị $y = (1/2)^x$ và $y = 2^x$ đối xứng nhau qua trục $Oy$
Hình 3: Đồ thị hàm số $y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ — nghịch biến, đi qua $(0;1)$
3
Định nghĩa hàm số lôgarit
▼
Định nghĩa
Cho $a$ là số thực dương khác $1$.
Hàm số $y = \log_a x$ được gọi là hàm số lôgarit cơ số $a$
🔗 Mối quan hệ với hàm số mũ
• Hàm số $y = \log_a x$ là hàm ngược của hàm số $y = a^x$
• Đồ thị của hai hàm $y = a^x$ và $y = \log_a x$ đối xứng nhau qua đường $y = x$
• Đồ thị của hai hàm $y = a^x$ và $y = \log_a x$ đối xứng nhau qua đường $y = x$
💡 Ví dụ 4 – Nhận dạng hàm số lôgarit
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lôgarit? Chỉ ra cơ số:
a) $y = \log_{\sqrt{3}} x$ b) $y = \log_{2^{-2}} x$ c) $y = \log_x 2$ d) $y = \log_{1/5} x$
a) $y = \log_{\sqrt{3}} x$ b) $y = \log_{2^{-2}} x$ c) $y = \log_x 2$ d) $y = \log_{1/5} x$
a)$y = \log_{\sqrt{3}} x$ là hàm số lôgarit với cơ số $a = \sqrt{3} \approx 1{,}732 > 1$
b)$y = \log_{2^{-2}} x = \log_{1/4} x$ là hàm số lôgarit với cơ số $a = \dfrac{1}{4}$ (vì $0 < \dfrac{1}{4} < 1$)
c)$y = \log_x 2$ không là hàm số lôgarit vì biến $x$ nằm ở cơ số
d)$y = \log_{1/5} x$ là hàm số lôgarit với cơ số $a = \dfrac{1}{5}$
Dấu hiệu: hàm số lôgarit có biến $x$ nằm trong đối số lôgarit, cơ số là hằng số dương khác $1$
4
Đồ thị và tính chất của hàm số lôgarit
▼
Tính chất
Hàm số lôgarit $y = \log_a x$ có các tính chất sau:
| Tính chất | Nội dung |
|---|---|
| Tập xác định | $(0; +\infty)$ |
| Tập giá trị | $\mathbb{R}$ |
| Đồng biến | Khi $a > 1$ |
| Nghịch biến | Khi $0 < a < 1$ |
| Điểm cố định | $(1; 0)$ và $(a; 1)$ |
| Tiệm cận | Trục $Oy$ (tiệm cận đứng) |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
Hình 4: Đồ thị hàm số $y = \log_a x$ — trường hợp $a > 1$ (đồng biến) và $0 < a < 1$ (nghịch biến)
📌 Nhận xét quan trọng
• Đồ thị $y = \log_a x$ và $y = \log_{1/a} x$ đối xứng nhau qua trục $Ox$
• Đồ thị luôn nằm bên phải trục tung (vì $x > 0$)
• Khi $a > 1$: $x \to 0^+$ thì $y \to -\infty$; $x \to +\infty$ thì $y \to +\infty$
• Khi $0 < a < 1$: $x \to 0^+$ thì $y \to +\infty$; $x \to +\infty$ thì $y \to -\infty$
• Đồ thị luôn nằm bên phải trục tung (vì $x > 0$)
• Khi $a > 1$: $x \to 0^+$ thì $y \to -\infty$; $x \to +\infty$ thì $y \to +\infty$
• Khi $0 < a < 1$: $x \to 0^+$ thì $y \to +\infty$; $x \to +\infty$ thì $y \to -\infty$
💡 Ví dụ 5 – Vẽ đồ thị $y = \log x$
Vẽ đồ thị hàm số $y = \log x$ (lôgarit thập phân)
B1.$y = \log x = \log_{10} x$ có $a = 10 > 1$ nên hàm số đồng biến trên $(0; +\infty)$
B2.Lập bảng giá trị (chọn $x$ là luỹ thừa của $10$):
| $x$ | $0{,}01$ | $0{,}1$ | $1$ | $10$ | $100$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y = \log x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
B3.Biểu diễn các điểm và nối bằng đường cong trơn — đồ thị đi qua $(1;0)$, nằm bên phải trục tung, đi lên từ trái sang phải
Khi $x \to 0^+$, đồ thị tiến gần trục tung — đây là tiệm cận đứng
Hình 5: Đồ thị hàm số $y = \log x$ — đồng biến, đi qua $(1;0)$ và $(10;1)$
💡 Ví dụ 6 – Vẽ đồ thị $y = \log_{1/2} x$
Vẽ đồ thị hàm số $y = \log_{1/2} x$
B1.$a = \dfrac{1}{2}$ với $0 < a < 1$ nên hàm số nghịch biến trên $(0; +\infty)$
B2.Lập bảng giá trị (chọn $x$ là luỹ thừa của $\dfrac{1}{2}$):
| $x$ | $8$ | $4$ | $2$ | $1$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{1}{4}$ | $\dfrac{1}{8}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
B3.Nối các điểm bằng đường cong trơn — đồ thị đi qua $(1;0)$, nằm bên phải trục tung, đi xuống từ trái sang phải
Hình 6: Đồ thị hàm số $y = \log_{1/2} x$ — nghịch biến, đi qua $(1;0)$
5
Tập xác định & Bài toán thực tế
▼
Tập xác định
Với hàm số mũ $y = a^{f(x)}$: Tập xác định là tập các giá trị $x$ sao cho $f(x)$ xác định.
Với hàm số lôgarit $y = \log_a f(x)$: Điều kiện là $f(x) > 0$. Tập xác định là nghiệm của bất phương trình này.
Với hàm số lôgarit $y = \log_a f(x)$: Điều kiện là $f(x) > 0$. Tập xác định là nghiệm của bất phương trình này.
⚠️ Lưu ý đặc biệt
• $y = \log|g(x)|$ có điều kiện $g(x) \neq 0$ (vì $|g(x)| > 0 \Leftrightarrow g(x) \neq 0$)
• $y = \ln f(x)$ có điều kiện $f(x) > 0$
• Khi có nhiều biểu thức lôgarit, lấy giao các điều kiện
• $y = \ln f(x)$ có điều kiện $f(x) > 0$
• Khi có nhiều biểu thức lôgarit, lấy giao các điều kiện
💡 Ví dụ 7 – Tìm tập xác định
Tìm tập xác định của $y = \ln(4 - x^2)$
B1.Điều kiện xác định: $4 - x^2 > 0$
B2.Giải: $4 - x^2 > 0 \Leftrightarrow x^2 < 4 \Leftrightarrow -2 < x < 2$
KL.Tập xác định $D = (-2; 2)$
Công thức ứng dụng
Các bài toán thực tế thường gặp:
| Ứng dụng | Công thức |
|---|---|
| Tăng trưởng dân số | $A = Pe^{rt}$ |
| Phân rã phóng xạ | $m(t) = m_0 e^{-kt}$ |
| Lãi kép liên tục | $A = Pe^{rt}$ |
| Độ pH dung dịch | $\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
💡 Ví dụ 8 – Bài toán dân số (bài mở đầu SGK)
Năm $2020$, dân số Việt Nam khoảng $97{,}34$ triệu người, tỉ lệ tăng dân số $0{,}91\%$. Ước tính dân số năm $2050$ theo công thức $A = Pe^{rt}$
B1.Xác định: $P = 97{,}34$; $r = 0{,}0091$; $t = 2050 - 2020 = 30$
B2.Thay vào công thức: $A = 97{,}34 \cdot e^{0{,}0091 \cdot 30} = 97{,}34 \cdot e^{0{,}273}$
B3.Dùng máy tính: $e^{0{,}273} \approx 1{,}3139$ → $A \approx 97{,}34 \cdot 1{,}3139 \approx 127{,}90$
Ước tính dân số Việt Nam năm $2050$ khoảng $127{,}90$ triệu người
💡 Ví dụ 9 – Phóng xạ
Khối lượng chất phóng xạ còn lại sau $t$ ngày: $m(t) = 13e^{-0{,}015t}$ (kg). Tính $m(0)$ và $m(45)$
a)$m(0) = 13e^{-0{,}015 \cdot 0} = 13 \cdot e^0 = 13 \cdot 1 = 13$ (kg) — khối lượng ban đầu
b)$m(45) = 13e^{-0{,}015 \cdot 45} = 13e^{-0{,}675}$
Dùng máy tính: $e^{-0{,}675} \approx 0{,}5092$ → $m(45) \approx 13 \cdot 0{,}5092 \approx 6{,}62$ (kg)
Sau $45$ ngày, khối lượng chất phóng xạ còn lại khoảng $6{,}62$ kg
6
Tổng kết
▼
📋 So sánh hàm số mũ và hàm số lôgarit
| Đặc điểm | $y = a^x$ | $y = \log_a x$ |
|---|---|---|
| Tập xác định | $\mathbb{R}$ | $(0; +\infty)$ |
| Tập giá trị | $(0; +\infty)$ | $\mathbb{R}$ |
| Điểm cố định | $(0; 1)$ | $(1; 0)$ |
| Tiệm cận | Trục $Ox$ | Trục $Oy$ |
| Đồng biến | $a > 1$ | $a > 1$ |
| Nghịch biến | $0 < a < 1$ | $0 < a < 1$ |
| Quan hệ | Hai hàm ngược của nhau, đồ thị đối xứng qua $y = x$ | |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📚
Xem thêm: Bài viết chi tiết về hàm số mũ và hàm số lôgarit — lý thuyết, công thức ứng dụng và phương pháp giải trên edus.vn
→
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Hàm số mũ và Hàm số lôgarit!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh