Menu Học Tập

Bài tập Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc (25 bài tập)

Lớp 11 · Toán Bài 25

Hai Mặt Phẳng Vuông Góc

Định nghĩa · Điều kiện · Tính chất · Góc nhị diện · Hình lăng trụ – Hình chóp đều

1
Góc giữa hai mặt phẳng — Hai mặt phẳng vuông góc
▼
Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Lấy các đường thẳng $a, b$ tương ứng vuông góc với $(P), (Q)$. Khi đó, góc giữa $a$ và $b$ không phụ thuộc vào vị trí của $a, b$ và được gọi là góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.
Hai mặt phẳng vuông góc
Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90°$.
Kí hiệu: $(P) \perp (Q)$
Phạm vi góc giữa hai mặt phẳng
Nếu $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng thì $0° \leq \varphi \leq 90°$
• $\varphi = 0°$ khi hai mặt phẳng song song hoặc trùng
• $\varphi \neq 0°$ khi hai mặt phẳng cắt nhau
Hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến Delta, đường thẳng m thuộc P, n thuộc Q cùng vuông góc với Delta
Hình 1: Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến $\Delta$; $m \subset (P)$, $n \subset (Q)$ cùng đi qua $O$ trên $\Delta$ và vuông góc với $\Delta$
⭐ Cách tính góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
Cho $(P) \cap (Q) = \Delta$. Lấy hai đường thẳng $m \subset (P)$ và $n \subset (Q)$, cùng đi qua một điểm $O \in \Delta$ và cùng vuông góc với $\Delta$. Khi đó:
Góc giữa $(P)$ và $(Q) =$ góc giữa $m$ và $n$
Đặc biệt: $(P) \perp (Q) \Leftrightarrow m \perp n$
2
Điều kiện & tính chất hai mặt phẳng vuông góc
▼
⭐ Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
$a \subset (P)$ và $a \perp (Q) \Rightarrow (P) \perp (Q)$
🎯 Mẹo nhận dạng
Khi $SA \perp (ABCD)$ → mọi mặt phẳng chứa $SA$ (như $(SAB), (SAC), (SAD)$) đều vuông góc với $(ABCD)$
Tính chất 1
Cho $(P) \perp (Q)$ có giao tuyến $\Delta$. Nếu $a \subset (P)$ và $a \perp \Delta$ thì $a \perp (Q)$.
Tính chất 2
Nếu $(P) \perp (R)$, $(Q) \perp (R)$ và $(P) \cap (Q) = a$ thì $a \perp (R)$.
💡 Ví dụ 1 – Hai mặt phẳng vuông góc trong tứ diện
Cho tứ diện $OABC$ có $OA \perp OB$, $OA \perp OC$. Chứng minh $(OAB) \perp (OBC)$ và $(OAC) \perp (OBC)$
Tứ diện OABC với OA vuông góc OB và OC
Hình 2: Tứ diện $OABC$ với $OA \perp OB$ và $OA \perp OC$
B1.$OA \perp OB$ và $OA \perp OC$, với $OB \cap OC = \{O\}$ trong $(OBC)$ → $OA \perp (OBC)$ B2.Mặt phẳng $(OAB)$ chứa $OA$. Vì $OA \perp (OBC)$ nên $(OAB) \perp (OBC)$ B3.Tương tự, $(OAC)$ chứa $OA$ → $(OAC) \perp (OBC)$ Mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng $OA \perp (OBC)$ đều vuông góc với $(OBC)$
3
Góc nhị diện
▼
Định nghĩa góc nhị diện
Hình gồm hai nửa mặt phẳng $(P), (Q)$ có chung bờ $a$ được gọi là một góc nhị diện, kí hiệu $[P, a, Q]$.
• Đường thẳng $a$ là cạnh của góc nhị diện
• Các nửa mặt phẳng $(P), (Q)$ là các mặt của góc nhị diện
Góc nhị diện P-a-Q với cạnh a và hai nửa mặt phẳng P, Q
Hình 3: Góc nhị diện $[P, a, Q]$ — hai nửa mặt phẳng $P, Q$ có chung bờ $a$
⭐ Góc phẳng của góc nhị diện
Từ một điểm $O$ bất kì thuộc cạnh $a$, vẽ các tia $Ox, Oy$ tương ứng thuộc $(P), (Q)$ và vuông góc với $a$. Khi đó:
$\widehat{xOy}$ là góc phẳng của góc nhị diện $[P, a, Q]$
Số đo của $\widehat{xOy}$ không phụ thuộc vào vị trí của $O$ trên $a$.
Phạm vi số đo góc nhị diện
• Số đo góc nhị diện thuộc $[0°; 180°]$
• Góc nhị diện vuông khi số đo $= 90°$, nhọn khi $< 90°$, tù khi $> 90°$
• Hai mặt phẳng cắt nhau tạo 4 góc nhị diện. Nếu 1 trong 4 góc đó vuông thì cả 4 đều vuông
🔧 Cách xác định góc phẳng của góc nhị diện $[B, SA, D]$ khi $SA \perp$ đáy
Cụ thể, khi $SA \perp (ABCD)$: $AB \perp SA$ và $AD \perp SA$ (vì $AB, AD \subset (ABCD)$). Vậy $\widehat{BAD}$ là góc phẳng của góc nhị diện $[B, SA, D]$

Tổng quát: Tìm hai tia cùng xuất phát từ một điểm trên cạnh nhị diện, mỗi tia nằm trong một mặt và vuông góc với cạnh — góc giữa hai tia chính là góc phẳng nhị diện.
💡 Ví dụ 2 – Tính góc nhị diện trong hình chóp
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, $\triangle ABC$ vuông tại $A$, $\widehat{ABC} = 30°$, $AC = a$, $SA = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính số đo góc nhị diện $[S, BC, A]$
Hình chóp S.ABC, H là hình chiếu của A trên BC
Hình 4: Hình chóp $S.ABC$, $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$, $\widehat{SHA}$ là góc phẳng nhị diện $[S, BC, A]$
B1.Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$ → $AH \perp BC$. Vì $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp BC$, kết hợp với $AH \perp BC$ → $BC \perp (SAH)$ → $BC \perp SH$ B2.Vậy $\widehat{SHA}$ là góc phẳng của nhị diện $[S, BC, A]$ B3.$\triangle ABC$ vuông tại $A$, $\widehat{ABC} = 30°$, $AC = a$ → $AB = a\sqrt{3}$, $BC = 2a$. Diện tích $\triangle ABC = \dfrac{1}{2} AB \cdot AC = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}$. Mặt khác $S = \dfrac{1}{2} BC \cdot AH$ → $AH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ B4.$\triangle SAH$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{SHA} = \dfrac{SA}{AH} = \dfrac{a\sqrt{3}/2}{a\sqrt{3}/2} = 1 \Rightarrow \widehat{SHA} = 45°$ Vậy góc nhị diện $[S, BC, A] = 45°$
4
Hình lăng trụ đặc biệt
▼
Các hình lăng trụ đặc biệt
Tên hìnhĐịnh nghĩa & tính chất
Lăng trụ đứngLăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy. Các mặt bên là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy
Lăng trụ đềuLăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Các mặt bên là hình chữ nhật có cùng kích thước
Hình hộp đứngLăng trụ đứng có đáy là hình bình hành. Các mặt bên là hình chữ nhật
Hình hộp chữ nhậtHình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật. Cả $6$ mặt đều là hình chữ nhật. Các đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm
Hình lập phươngHình hộp chữ nhật có tất cả cạnh bằng nhau. Cả $6$ mặt là hình vuông
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' và hình lập phương
Hình 5: Hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ (trái) và hình lập phương (phải)
⭐ Công thức đường chéo hình hộp chữ nhật
Hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với $AB = a$, $BC = b$, $CC' = c$ có:
$AC' = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
Hệ quả: Đường chéo của hình lập phương cạnh $a$ bằng $a\sqrt{3}$
💡 Ví dụ 3 – Hình lập phương có tam giác đều
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh tam giác $A'BD$ là tam giác đều
B1.Gọi $a$ là cạnh hình lập phương. Các mặt là hình vuông cạnh $a$ B2.$BD$ là đường chéo hình vuông $ABCD$ → $BD = a\sqrt{2}$ B3.$A'D$ là đường chéo hình vuông $ADD'A'$ → $A'D = a\sqrt{2}$ B4.$A'B$ là đường chéo hình vuông $ABB'A'$ → $A'B = a\sqrt{2}$ B5.Tam giác $A'BD$ có ba cạnh bằng nhau → tam giác đều $BD, A'D, A'B$ đều là đường chéo của các hình vuông cạnh $a$ → bằng nhau và cùng bằng $a\sqrt{2}$
5
Hình chóp đều và hình chóp cụt đều
▼
Định nghĩa hình chóp đều
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Hình chóp đều S.ABC và S.ABCD
Hình 6: Hình chóp tam giác đều $S.ABC$ (trái) và hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ (phải)
⭐ Định lý đặc trưng
Một hình chóp là đều khi và chỉ khi:
• Đáy là một đa giác đều, và
• Hình chiếu của đỉnh trên mặt đáy là tâm của đa giác đáy
🎯 Hệ quả thường dùng
Trong hình chóp đều, các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau. Ngược lại, hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau cũng là hình chóp đều
💡 Ví dụ 4 – Tính sin góc cạnh bên với đáy
Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$, đáy cạnh $a$, cạnh bên $b$. Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên $SA$ và mặt đáy
B1.Gọi $O$ là tâm tam giác đều $ABC$ (cũng là hình chiếu của $S$). Khi đó $SO \perp (ABC)$ → góc giữa $SA$ và đáy là $\widehat{SAO}$ B2.Tam giác đều cạnh $a$ có trung tuyến $AM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ → $OA = \dfrac{2}{3} AM = \dfrac{a\sqrt{3}}{3} = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$ B3.$\triangle SAO$ vuông tại $O$: $SA = b$, $OA = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$ → $SO = \sqrt{b^2 - \dfrac{a^2}{3}}$ B4.$\sin \widehat{SAO} = \dfrac{SO}{SA} = \dfrac{\sqrt{b^2 - a^2/3}}{b} = \dfrac{\sqrt{3b^2 - a^2}}{b\sqrt{3}}$ Khi $b = a$ (hình chóp đều có cạnh bên = cạnh đáy): $\sin = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$
Hình chóp cụt đều
Cho hình chóp đều $S.A_1A_2\ldots A_n$. Mặt phẳng không đi qua $S$ và song song với đáy cắt các cạnh bên tại $B_1, B_2, \ldots, B_n$. Hình gồm hai đáy $A_1A_2\ldots A_n$ và $B_1B_2\ldots B_n$ cùng các hình thang cân ở mặt bên được gọi là hình chóp cụt đều.
Tính chất: Hình chóp cụt đều có các cạnh bên bằng nhau, đường cao $HH'$ nối hai tâm đáy
📐 Công thức độ dài cạnh bên hình chóp cụt đều (tam giác)
Hình chóp cụt tam giác đều có chiều cao $h$, hai đáy là tam giác đều cạnh $a$ (đáy lớn) và $a'$ (đáy nhỏ):
Cạnh bên $= \sqrt{h^2 + \dfrac{(a-a')^2}{3}}$
6
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp lý thuyết
Nội dungCông thức / Phát biểu
Điều kiện $(P) \perp (Q)$$\exists a \subset (P), a \perp (Q) \Rightarrow (P) \perp (Q)$
Cách tính góc nhị diệnHai tia qua điểm trên cạnh, mỗi tia trong một mặt và $\perp$ cạnh
Phạm vi góc nhị diện$[0°; 180°]$
Đường chéo hình hộp chữ nhật$AC' = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
Đường chéo hình lập phương$a\sqrt{3}$
Hình chóp đềuĐáy đa giác đều + hình chiếu đỉnh = tâm đáy
Cạnh bên chóp cụt tam giác đều$\sqrt{h^2 + \dfrac{(a-a')^2}{3}}$
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📚 Xem thêm: Bài viết chi tiết về hai mặt phẳng vuông góc — định nghĩa, điều kiện, tính chất và các hình lăng trụ, hình chóp đặc biệt trên edus.vn →
1
—
Điểm: 0/25
🎯

Luyện tập Hai mặt phẳng vuông góc!

25 câu · 5 dạng (5 câu tự luận)

💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh

Bài tập Toán 11 Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập (25 bài tập) ( 14/05 )

Bài tập Toán 11 Bài 29: Công thức cộng xác suất (25 bài tập) ( 14/05 )

Bài tập Toán 11 Bài 33: Đạo hàm cấp hai (25 bài tập) ( 14/05 )

Bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm (25 bài tập) ( 14/05 )

Bài tập Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (25 bài tập) ( 14/05 )