Menu Học Tập

Bài tập Toán 11 Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập (25 bài tập)

Lớp 11 · Toán Bài 30

Công Thức Nhân Xác Suất

Hai biến cố độc lập · Sơ đồ hình cây · Kiểm tra tính độc lập

1
Công thức nhân cho hai biến cố độc lập
▼
Công thức
Nếu hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau thì:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
🔑 Hai biến cố độc lập
Hai biến cố được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.
Ví dụ thực tế: Kết quả thi đấu Bắn súng của vận động viên An không ảnh hưởng đến kết quả thi Bơi lội của vận động viên Bình.
📌 Hệ quả với biến cố đối
Nếu $A, B$ độc lập thì các cặp sau cũng độc lập:
• $A$ và $\overline{B}$: $P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B})$
• $\overline{A}$ và $B$: $P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \cdot P(B)$
• $\overline{A}$ và $\overline{B}$: $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})$
💡 Ví dụ — Hai vận động viên
Vận động viên Minh thi Cử tạ, vận động viên Hùng thi Nhảy cao. Xác suất giành huy chương lần lượt là $0{,}7$ và $0{,}85$. Tính xác suất: a) cả hai đều giành huy chương; b) cả hai đều không giành huy chương
Gọi $A$: "Minh đạt huy chương"; $B$: "Hùng đạt huy chương" Hai vận động viên thi hai môn khác nhau → $A, B$ độc lập a)$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}7 \times 0{,}85 = 0{,}595$ b)$P(\overline{A}) = 0{,}3$, $P(\overline{B}) = 0{,}15$ $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0{,}3 \times 0{,}15 = 0{,}045$
2
Sơ đồ hình cây — bốn trường hợp
▼
Bốn trường hợp khi xét hai biến cố $A, B$
Khi xét hai biến cố $A, B$ độc lập, có $4$ trường hợp loại trừ lẫn nhau (xung khắc đôi một), tổng xác suất bằng $1$.
Bắt đầu P(A) P(Ā) A Ā P(B) P(B̄) P(B) P(B̄) A ∩ B A ∩ B̄ Ā ∩ B Ā ∩ B̄
Trường hợpXác suất
$A$ xảy ra và $B$ xảy ra$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
$A$ xảy ra và $B$ không$P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B})$
$A$ không và $B$ xảy ra$P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \cdot P(B)$
Cả hai đều không xảy ra$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})$
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
🎯 Mẹo "Ít nhất một"
$P(\text{ít nhất một trong hai xảy ra}) = 1 - P(\text{cả hai đều không xảy ra}) = 1 - P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})$.
Cách này thường nhanh hơn tính trực tiếp $P(A \cup B)$.
💡 Ví dụ — Gieo hai loại hạt giống
Hạt $A$ nảy mầm với xác suất $0{,}92$, hạt $B$ nảy mầm với xác suất $0{,}88$ (độc lập). Tính xác suất: a) $A$ nảy mầm còn $B$ không; b) $A$ không nảy mầm còn $B$ nảy; c) ít nhất một hạt nảy mầm
$P(A) = 0{,}92$, $P(\overline{A}) = 0{,}08$; $P(B) = 0{,}88$, $P(\overline{B}) = 0{,}12$ a)$P(A \cap \overline{B}) = 0{,}92 \times 0{,}12 = 0{,}1104$ b)$P(\overline{A} \cap B) = 0{,}08 \times 0{,}88 = 0{,}0704$ c)Biến cố "cả hai không nảy": $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}08 \times 0{,}12 = 0{,}0096$ $P(\text{ít nhất một nảy mầm}) = 1 - 0{,}0096 = 0{,}9904$
3
Kiểm tra hai biến cố độc lập hay không
▼
Cách kiểm tra
Để kiểm tra hai biến cố $A, B$ có độc lập hay không, ta so sánh $P(A \cap B)$ với $P(A) \cdot P(B)$:
$A, B$ độc lập $\Leftrightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
Hai trường hợp
• Nếu $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ → $A, B$ độc lập.
• Nếu $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$ → $A, B$ không độc lập (có liên quan với nhau).
⚠️ Lưu ý: xung khắc ≠ độc lập
Nếu $A, B$ xung khắc với $P(A) > 0$ và $P(B) > 0$ thì $P(A \cap B) = 0 \neq P(A) \cdot P(B) > 0$, nên $A, B$ không độc lập. Xung khắc và độc lập là hai khái niệm khác nhau.
💡 Ví dụ — Thuốc lá và viêm phổi
Khảo sát $5\,000$ người đàn ông về thói quen hút thuốc lá và bệnh viêm phổi, thu được kết quả như bảng. Chứng tỏ nghiện thuốc lá và mắc viêm phổi có liên quan
Viêm phổiKhông viêm phổi
Nghiện thuốc lá$752$$1\,236$
Không nghiện$575$$2\,437$
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
Gọi $A$: "Người đó nghiện thuốc lá"; $B$: "Người đó mắc viêm phổi" $P(A) = \dfrac{752 + 1\,236}{5\,000} = \dfrac{1\,988}{5\,000} = 0{,}3976$ $P(B) = \dfrac{752 + 575}{5\,000} = \dfrac{1\,327}{5\,000} = 0{,}2654$ $P(A) \cdot P(B) = 0{,}3976 \times 0{,}2654 \approx 0{,}1055$ $P(A \cap B) = \dfrac{752}{5\,000} = 0{,}1504$ Vì $P(A \cap B) = 0{,}1504 \neq 0{,}1055 = P(A) \cdot P(B)$ nên $A, B$ không độc lập Vậy nghiện thuốc lá và mắc viêm phổi có liên quan với nhau
4
Bài toán hai túi bi — áp dụng công thức nhân
▼
Tại sao độc lập?
Khi lấy vật từ hai túi (hộp) khác nhau, kết quả ở túi này không ảnh hưởng đến túi kia → biến cố từ hai phép thử này độc lập → áp dụng công thức nhân.
🔧 Các bước giải
Bước 1: Xác định biến cố $A$ (lấy ở túi I) và $B$ (lấy ở túi II), giải thích độc lập.
Bước 2: Tính $P(A), P(B), P(\overline{A}), P(\overline{B})$.
Bước 3: Áp dụng công thức nhân cho từng trường hợp.
Bước 4: Nếu cần "cùng màu" / "không cùng màu" → chia thành các trường hợp xung khắc, cộng các xác suất.
💡 Ví dụ — Hai túi bi
Túi I: $3$ bi xanh + $7$ bi đỏ. Túi II: $10$ bi xanh + $6$ bi đỏ. Từ mỗi túi lấy ngẫu nhiên $1$ bi. Tính xác suất: a) cả hai cùng xanh; b) cả hai cùng đỏ; c) hai bi cùng màu
Gọi $A$: "Bi từ túi I là xanh"; $B$: "Bi từ túi II là xanh". $A, B$ độc lập $P(A) = \dfrac{3}{10}$, $P(\overline{A}) = \dfrac{7}{10}$, $P(B) = \dfrac{10}{16} = \dfrac{5}{8}$, $P(\overline{B}) = \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}$ a)$P(A \cap B) = \dfrac{3}{10} \times \dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{80} = \dfrac{3}{16}$ b)$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \dfrac{7}{10} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{21}{80}$ c)"Cùng màu" = "cùng xanh" hoặc "cùng đỏ" (xung khắc): $P = \dfrac{15}{80} + \dfrac{21}{80} = \dfrac{36}{80} = \dfrac{9}{20}$ $P(\text{không cùng màu}) = 1 - \dfrac{9}{20} = \dfrac{11}{20}$
5
Sai lầm thường gặp
▼
⚠️ Bảng sai lầm thường gặp
Sai lầmĐính chính
Mặc nhiên coi mọi cặp biến cố là độc lậpHai biến cố chỉ độc lập khi $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Cần lý do thực tế hoặc kiểm tra
Nhầm độc lập với xung khắcXung khắc: $A \cap B = \varnothing$. Độc lập: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Nếu $A, B$ xung khắc (với $P > 0$) thì không độc lập
Áp dụng công thức nhân khi không độc lậpChỉ đúng khi $A, B$ độc lập. Nếu không độc lập thì không thể nhân trực tiếp
"Ít nhất một" mà cộng $P(A) + P(B)$Phải dùng $P(\text{ít nhất một}) = 1 - P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})$ (khi độc lập) hoặc công thức cộng tổng quát
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
🎯 Mẹo nhận biết nhanh
• Hai phép thử thực hiện trên hai đối tượng khác nhau, không can thiệp lẫn nhau (hai túi, hai vận động viên, hai tỉnh, hai máy...) → biến cố thường độc lập.
• Khi chuyển/dồn đối tượng giữa hai nhóm (như câu chuyện gà chuyển chuồng) → biến cố không độc lập.
• Tổng xác suất $4$ nhánh sơ đồ hình cây luôn bằng $1$ — biết $3$ nhánh suy ra nhánh còn lại.
6
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp công thức
Tình huốngCông thức
$A, B$ độc lập$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
$A, B$ độc lập (với $\overline{B}$)$P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B})$
Cả hai đều không xảy ra$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})$
Ít nhất một xảy ra$1 - P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})$
Đúng một xảy ra$P(A) \cdot P(\overline{B}) + P(\overline{A}) \cdot P(B)$
Kiểm tra độc lậpSo sánh $P(A \cap B)$ với $P(A) \cdot P(B)$
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📚 Xem thêm: Bài viết chi tiết về công thức nhân xác suất trên edus.vn →
1
—
Điểm: 0/25
🎯

Luyện tập Công thức nhân xác suất!

25 câu · 4 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh

Bài tập Toán 11 Bài 29: Công thức cộng xác suất (25 bài tập) ( 14/05 )

Bài tập Toán 11 Bài 33: Đạo hàm cấp hai (25 bài tập) ( 14/05 )

Bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm (25 bài tập) ( 14/05 )

Bài tập Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (25 bài tập) ( 14/05 )

Bài tập Toán 11 Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập (26 bài tập) ( 14/05 )