Lớp 11 · Toán
Bài 33
Đạo Hàm Cấp Hai
Định nghĩa · Cách tính · Ý nghĩa cơ học · Gia tốc tức thời
1
Định nghĩa đạo hàm cấp hai
▼
Định nghĩa
Giả sử hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại mọi $x \in (a; b)$. Nếu hàm số $y' = f'(x)$ lại có đạo hàm tại $x$ thì đạo hàm của $y'$ được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số $y = f(x)$ tại $x$, ký hiệu là $y''$ hoặc $f''(x)$.
$y'' = (y')' \quad \text{hoặc} \quad f''(x) = [f'(x)]'$
🔑 Hiểu đơn giản
Đạo hàm cấp hai là "đạo hàm của đạo hàm". Tức là ta tính đạo hàm cấp một $y'$ trước, sau đó tiếp tục lấy đạo hàm thêm lần nữa.
🔧 Quy trình tính đạo hàm cấp hai (2 bước)
Bước 1: Tính đạo hàm cấp một $y' = f'(x)$
Bước 2: Tính đạo hàm của $y'$ để được $y'' = (y')'$
Nếu cần tính tại điểm cụ thể, thay giá trị vào $y''$
Bước 2: Tính đạo hàm của $y'$ để được $y'' = (y')'$
Nếu cần tính tại điểm cụ thể, thay giá trị vào $y''$
2
Đạo hàm cấp hai của hàm đa thức
▼
Công thức nhanh
Với $n \in \mathbb{N}^*$, ta có:
$(x^n)'' = n(n - 1) x^{n - 2}$
📌 Một số trường hợp đặc biệt
• $(x^2)'' = 2$
• $(x^3)'' = 6x$
• $(x^4)'' = 12 x^2$
• $(x^5)'' = 20 x^3$
• Hằng số: $(c)'' = 0$
• $(x^3)'' = 6x$
• $(x^4)'' = 12 x^2$
• $(x^5)'' = 20 x^3$
• Hằng số: $(c)'' = 0$
💡 Ví dụ
Tính $y''$ của hàm số $y = x^3 - 3 x^2 + 2x + 1$
B1.Tính $y' = (x^3)' - 3(x^2)' + 2(x)' + (1)' = 3x^2 - 6x + 2$
B2.Tính $y'' = (y')' = (3x^2)' - (6x)' + (2)' = 6x - 6$
Vậy $y'' = 6x - 6$
3
Đạo hàm cấp hai của hàm mũ và lôgarit
▼
Công thức nhanh
| Hàm số | $y'$ | $y''$ |
|---|---|---|
| $e^x$ | $e^x$ | $e^x$ |
| $e^{ax}$ | $a \cdot e^{ax}$ | $a^2 e^{ax}$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ |
| $\ln(ax + b)$ | $\dfrac{a}{ax+b}$ | $-\dfrac{a^2}{(ax+b)^2}$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
💡 Ví dụ 1 — Hàm mũ kết hợp
Tính $y''$ của hàm số $y = x^2 + e^{2x - 1}$. Sau đó tính $y''(0)$
B1.$y' = (x^2)' + (e^{2x-1})' = 2x + 2 e^{2x-1}$
B2.$y'' = (2x)' + (2 e^{2x-1})' = 2 + 2 \cdot 2 e^{2x-1} = 2 + 4 e^{2x-1}$
$y''(0) = 2 + 4 e^{-1} = 2 + \dfrac{4}{e}$
💡 Ví dụ 2 — Hàm tích $x^2 e^x$
Cho $f(x) = x^2 e^x$. Tính $f''(0)$
B1.Dùng quy tắc tích: $f'(x) = (x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)' = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x(2x + x^2)$
B2.Tiếp tục dùng quy tắc tích cho $f'$:
$f''(x) = (e^x)' \cdot (2x + x^2) + e^x \cdot (2x + x^2)' = e^x(2x + x^2) + e^x(2 + 2x)$
$= e^x(x^2 + 4x + 2)$
B3.$f''(0) = e^0(0 + 0 + 2) = 1 \cdot 2 = 2$
💡 Ví dụ 3 — Hàm lôgarit
Tính $y''$ của hàm số $y = \ln(x + 1)$
B1.$y' = \dfrac{(x + 1)'}{x + 1} = \dfrac{1}{x + 1} = (x + 1)^{-1}$
B2.$y'' = -1 \cdot (x + 1)^{-2} \cdot (x + 1)' = -\dfrac{1}{(x + 1)^2}$
4
Đạo hàm cấp hai của hàm lượng giác
▼
Công thức nhanh
| Hàm số | $y'$ | $y''$ |
|---|---|---|
| $\sin x$ | $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | $-\cos x$ |
| $\sin(ax + b)$ | $a \cos(ax + b)$ | $-a^2 \sin(ax + b)$ |
| $\cos(ax + b)$ | $-a \sin(ax + b)$ | $-a^2 \cos(ax + b)$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
🎯 Mẹo ghi nhớ
Với hàm lượng giác $\sin$ và $\cos$, đạo hàm cấp hai luôn có dấu trừ và nhân thêm $a^2$ (với $a$ là hệ số của $x$ bên trong).
💡 Ví dụ — Tính $y''$ của $\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)$
B1.$y' = \left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)' \cdot \cos\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right) = 2 \cos\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)$
B2.$y'' = 2 \cdot \left[-\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)' \cdot \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)\right] = -4 \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)$
Áp dụng công thức nhanh: $(\sin(ax + b))'' = -a^2 \sin(ax + b)$ với $a = 2$, $b = \dfrac{\pi}{4}$ → $y'' = -4 \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)$
5
Ý nghĩa cơ học — Gia tốc tức thời
▼
Định nghĩa gia tốc tức thời
Một chuyển động có phương trình $s = f(t)$ thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số $f(t)$ là gia tốc tức thời của chuyển động.
$a(t) = v'(t) = f''(t)$
📊 Mối quan hệ s → v → a
$s = f(t) \xrightarrow{\text{đạo hàm}} v = f'(t) \xrightarrow{\text{đạo hàm}} a = f''(t)$
• Quãng đường (hoặc vị trí): $s$ (đơn vị m hoặc cm)
• Vận tốc: $v = s'$ (đơn vị m/s hoặc cm/s)
• Gia tốc: $a = v' = s''$ (đơn vị m/s² hoặc cm/s²)
• Quãng đường (hoặc vị trí): $s$ (đơn vị m hoặc cm)
• Vận tốc: $v = s'$ (đơn vị m/s hoặc cm/s)
• Gia tốc: $a = v' = s''$ (đơn vị m/s² hoặc cm/s²)
🔧 Các bước tính gia tốc tại một thời điểm
Bước 1: Từ phương trình $s(t)$, tính vận tốc $v(t) = s'(t)$
Bước 2: Tính gia tốc $a(t) = v'(t) = s''(t)$
Bước 3: Thay giá trị $t$ cụ thể vào để tính $a(t_0)$
Bước 2: Tính gia tốc $a(t) = v'(t) = s''(t)$
Bước 3: Thay giá trị $t$ cụ thể vào để tính $a(t_0)$
💡 Ví dụ — Con lắc lò xo
Chuyển động của một vật gắn trên con lắc lò xo: $x(t) = 4 \cos\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right)$ ($x$ tính bằng cm, $t$ tính bằng giây). Tính gia tốc tức thời tại $t = 5$ giây (làm tròn đến hàng đơn vị)
B1.Vận tốc:
$v(t) = x'(t) = -2\pi \cdot 4 \sin\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right) = -8\pi \sin\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right)$
B2.Gia tốc:
$a(t) = v'(t) = -8\pi \cdot 2\pi \cos\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right) = -16\pi^2 \cos\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right)$
B3.Tại $t = 5$:
$a(5) = -16\pi^2 \cos\left(10\pi + \dfrac{\pi}{3}\right) = -16\pi^2 \cos\dfrac{\pi}{3} = -16\pi^2 \cdot \dfrac{1}{2} = -8\pi^2 \approx -79$ (cm/s²)
Lưu ý: $\cos(10\pi + \alpha) = \cos\alpha$ do $10\pi = 5 \cdot 2\pi$
6
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp công thức đạo hàm cấp hai
| Hàm số $y$ | $y'$ | $y''$ |
|---|---|---|
| $x^n$ | $n x^{n-1}$ | $n(n-1) x^{n-2}$ |
| $e^x$ | $e^x$ | $e^x$ |
| $e^{ax}$ | $a e^{ax}$ | $a^2 e^{ax}$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | $-\cos x$ |
| $\sin(ax + b)$ | $a \cos(ax+b)$ | $-a^2 \sin(ax+b)$ |
| $\cos(ax + b)$ | $-a \sin(ax+b)$ | $-a^2 \cos(ax+b)$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📌 Lưu ý khi giải bài tập
• Đạo hàm cấp hai = đạo hàm của đạo hàm: tính $y'$ trước, rồi tính $(y')'$.
• Với hàm tích $u \cdot v$: dùng $(uv)' = u'v + uv'$ rồi tiếp tục cho $y''$.
• Bài toán vật lí: gia tốc $= $ đạo hàm vận tốc $=$ đạo hàm cấp hai của quãng đường.
• Với hàm tích $u \cdot v$: dùng $(uv)' = u'v + uv'$ rồi tiếp tục cho $y''$.
• Bài toán vật lí: gia tốc $= $ đạo hàm vận tốc $=$ đạo hàm cấp hai của quãng đường.
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Đạo hàm cấp hai!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh