Lớp 11 · Toán
Bài 6
Cấp Số Cộng
Định nghĩa · Công sai · Số hạng tổng quát · Tổng $n$ số hạng đầu
1
Định nghĩa cấp số cộng
▼
Định nghĩa
Cấp số cộng (viết tắt: CSC) là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi $d$.
Số $d$ được gọi là công sai của cấp số cộng.
Số $d$ được gọi là công sai của cấp số cộng.
$u_n = u_{n-1} + d$ với $n \geq 2$
💡 Cách kiểm tra một dãy có là cấp số cộng
Xét hiệu $D = u_{n+1} - u_n$ (hoặc $u_n - u_{n-1}$):
• Nếu $D$ là hằng số (không phụ thuộc $n$) → dãy là cấp số cộng với công sai $d = D$.
• Nếu $D$ phụ thuộc $n$ → dãy không phải cấp số cộng.
• Nếu $D$ là hằng số (không phụ thuộc $n$) → dãy là cấp số cộng với công sai $d = D$.
• Nếu $D$ phụ thuộc $n$ → dãy không phải cấp số cộng.
📝 Ví dụ 1
Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 3$ và công sai $d = 4$. Viết năm số hạng đầu.
Áp dụng $u_n = u_{n-1} + d$:
• $u_1 = 3$
• $u_2 = 3 + 4 = 7$
• $u_3 = 7 + 4 = 11$
• $u_4 = 11 + 4 = 15$
• $u_5 = 15 + 4 = 19$
Kết luận: $3; 7; 11; 15; 19$.
📝 Ví dụ 2
Chứng minh dãy $u_n = 7n - 2$ là cấp số cộng. Tìm $u_1$ và $d$.
Bước 1: Xét hiệu $u_n - u_{n-1}$ với $n \geq 2$:
$u_n - u_{n-1} = (7n - 2) - [7(n-1) - 2] = 7n - 2 - 7n + 7 + 2 = 7$.
Bước 2: Hiệu bằng $7$ — là hằng số → dãy là cấp số cộng.
Bước 3: $u_1 = 7 \cdot 1 - 2 = 5$; công sai $d = 7$.
⚠ Lưu ý
Dãy số không đổi $a, a, a, \ldots$ là cấp số cộng có công sai $d = 0$.
2
Số hạng tổng quát của cấp số cộng
▼
Công thức số hạng tổng quát
Nếu cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ thì số hạng tổng quát được tính theo công thức:
$u_n = u_1 + (n - 1) \cdot d$
⚠ Lưu ý quan trọng
Hệ số là $(n - 1)$, KHÔNG phải $n$. Học sinh rất hay nhầm chỗ này!
Giải thích: từ $u_1$ đến $u_n$, ta đã cộng thêm $d$ tổng cộng $(n - 1)$ lần.
Giải thích: từ $u_1$ đến $u_n$, ta đã cộng thêm $d$ tổng cộng $(n - 1)$ lần.
📝 Ví dụ 3
Tìm 5 số hạng đầu và số hạng thứ $100$ của CSC: $12; 7; 2; \ldots$
Bước 1: Xác định $u_1$ và $d$:
• $u_1 = 12$.
• $d = u_2 - u_1 = 7 - 12 = -5$ (kiểm tra: $2 - 7 = -5$ ✓).
Bước 2: Năm số hạng đầu: $12; 7; 2; -3; -8$.
Bước 3: Tính $u_{100}$:
$u_{100} = u_1 + (100 - 1) \cdot d = 12 + 99 \cdot (-5) = 12 - 495 = -483$.
📝 Ví dụ 4 (Lập hệ phương trình)
Cho CSC $(u_n)$ có $u_8 = 36$ và $u_{15} = 71$. Tìm $u_{100}$.
Bước 1: Lập hệ theo công thức $u_n = u_1 + (n-1) d$:
$\left\{\begin{array}{l} u_1 + 7d = 36 \\ u_1 + 14d = 71 \end{array}\right.$
Bước 2: Lấy PT(2) – PT(1): $7d = 35 \Rightarrow d = 5$.
Thay vào PT(1): $u_1 + 7 \cdot 5 = 36 \Rightarrow u_1 = 1$.
Bước 3: $u_{100} = 1 + 99 \cdot 5 = 496$.
🎯 Phương pháp lập hệ
Khi đề cho hai dữ kiện về các số hạng (ví dụ $u_m = A$, $u_k = B$), ta luôn lập hệ hai phương trình hai ẩn $u_1, d$ rồi giải:
• Lấy hai phương trình trừ nhau để khử $u_1$, tìm $d$.
• Thay $d$ vào một trong hai phương trình để tìm $u_1$.
• Lấy hai phương trình trừ nhau để khử $u_1$, tìm $d$.
• Thay $d$ vào một trong hai phương trình để tìm $u_1$.
3
Tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng
▼
Công thức tổng $S_n$
Cho cấp số cộng $(u_n)$ có công sai $d$. Tổng $n$ số hạng đầu là $S_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_n$. Khi đó:
$S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2} = \dfrac{n \cdot [2u_1 + (n-1) \cdot d]}{2}$
💡 Cách nhớ
• Công thức 1: $S_n = n \cdot \dfrac{u_1 + u_n}{2}$ — dùng khi đã biết $u_1$ và $u_n$ (hoặc $n$ và $u_n$).
• Công thức 2: $S_n = \dfrac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}$ — dùng khi biết $u_1, d, n$.
• Công thức 2: $S_n = \dfrac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}$ — dùng khi biết $u_1, d, n$.
📝 Ví dụ 5 (Bài toán nhà hát)
Một nhà hát có $25$ hàng ghế: hàng đầu $16$ ghế, mỗi hàng sau nhiều hơn hàng liền trước $2$ ghế. Tính tổng số ghế.
Phân tích: Số ghế mỗi hàng là CSC với $u_1 = 16$, $d = 2$, $n = 25$.
Áp dụng: $S_{25} = \dfrac{25 \cdot [2 \cdot 16 + 24 \cdot 2]}{2} = \dfrac{25 \cdot 80}{2} = 1000$.
Kết luận: Nhà hát có $1000$ ghế.
📝 Ví dụ 6 (Tìm $n$)
Cho CSC $3; 7; 11; \ldots$ Tính tổng của bao nhiêu số hạng đầu để bằng $465$?
Bước 1: $u_1 = 3$, $d = 4$.
Bước 2: $S_n = \dfrac{n[2 \cdot 3 + (n-1) \cdot 4]}{2} = \dfrac{n(4n + 2)}{2} = n(2n + 1) = 2n^2 + n$.
Bước 3: Đặt $S_n = 465$: $2n^2 + n - 465 = 0$.
$\Delta = 1 + 4 \cdot 2 \cdot 465 = 3721 = 61^2 \Rightarrow n = \dfrac{-1 + 61}{4} = 15$ (loại nghiệm âm).
Kết luận: Lấy tổng của $15$ số hạng đầu. Kiểm tra: $S_{15} = 15 \cdot 31 = 465$ ✓.
4
Bài toán thực tế
▼
🎯 Cách nhận biết bài toán dùng CSC
Bài toán có dạng cấp số cộng khi xuất hiện cụm từ:
• "Tăng/giảm đều" mỗi đơn vị thời gian (mỗi tháng, mỗi năm) một lượng cố định.
• "Mỗi hàng nhiều hơn hàng trước" một số cố định.
• "Mỗi tầng cao hơn tầng dưới" một khoảng đều nhau.
• "Tăng/giảm đều" mỗi đơn vị thời gian (mỗi tháng, mỗi năm) một lượng cố định.
• "Mỗi hàng nhiều hơn hàng trước" một số cố định.
• "Mỗi tầng cao hơn tầng dưới" một khoảng đều nhau.
🔧 Quy trình giải
Bước 1: Xác định $u_1$ (giá trị ban đầu) và $d$ (lượng thay đổi mỗi bước, lưu ý dấu).
Bước 2: Áp dụng đúng công thức cần dùng:
• Tìm giá trị tại thời điểm thứ $k$ → dùng $u_k = u_1 + (k-1)d$.
• Tính tổng sau $n$ bước → dùng $S_n = \dfrac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}$.
Bước 2: Áp dụng đúng công thức cần dùng:
• Tìm giá trị tại thời điểm thứ $k$ → dùng $u_k = u_1 + (k-1)d$.
• Tính tổng sau $n$ bước → dùng $S_n = \dfrac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}$.
📝 Ví dụ 7 (Tổng lương)
Anh Nam có lương khởi điểm $100$ triệu/năm, mỗi năm tăng $20$ triệu. Tính tổng lương sau $10$ năm làm việc.
Phân tích: Lương mỗi năm là CSC với $u_1 = 100$, $d = 20$, $n = 10$.
Áp dụng: $S_{10} = \dfrac{10 \cdot [2 \cdot 100 + 9 \cdot 20]}{2} = 5 \cdot 380 = 1900$ (triệu).
Kết luận: Tổng lương sau $10$ năm là $1900$ triệu đồng ($1{,}9$ tỉ).
📝 Ví dụ 8 (Khấu hao tài sản)
Ô tô có giá $500$ triệu, mỗi năm giảm $40$ triệu. Tính giá xe sau $4$ năm sử dụng.
Phân tích: Giá trị xe theo năm là CSC với "giá trị ban đầu" $= 500$, $d = -40$.
Tính: Sau $4$ năm sử dụng = đã giảm $4$ lần.
Giá còn lại $= 500 + 4 \cdot (-40) = 500 - 160 = 340$ triệu.
Lưu ý: dấu $d$ âm khi giá trị giảm đều theo thời gian.
5
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp công thức
| Tên | Công thức |
|---|---|
| Hệ thức truy hồi | $u_n = u_{n-1} + d$ với $n \geq 2$ |
| Số hạng tổng quát | $u_n = u_1 + (n - 1) \cdot d$ |
| Công sai | $d = u_n - u_{n-1}$ (cho mọi $n \geq 2$) |
| Tổng $n$ số hạng đầu | $S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$ |
| Tổng $S_n$ (dạng khác) | $S_n = \dfrac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}$ |
💡 Lời khuyên khi giải bài
• Câu hỏi chứng minh CSC: tính $u_{n+1} - u_n$. Nếu là hằng số → CSC.
• Câu hỏi tìm $u_k$ khi biết 2 số hạng: lập hệ phương trình → tìm $u_1$, $d$ → áp công thức.
• Câu hỏi tìm $n$ khi biết $S_n$: lập phương trình bậc hai theo $n$ → giải → loại nghiệm âm.
• Bài toán thực tế: cẩn thận dấu của $d$ (tăng: $d > 0$, giảm: $d < 0$).
• Câu hỏi tìm $u_k$ khi biết 2 số hạng: lập hệ phương trình → tìm $u_1$, $d$ → áp công thức.
• Câu hỏi tìm $n$ khi biết $S_n$: lập phương trình bậc hai theo $n$ → giải → loại nghiệm âm.
• Bài toán thực tế: cẩn thận dấu của $d$ (tăng: $d > 0$, giảm: $d < 0$).
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Cấp số cộng!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh