Lớp 11 · Toán
Bài 9
Các Số Đặc Trưng Đo Xu Thế Trung Tâm
Số trung bình · Trung vị · Tứ phân vị · Mốt
1
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
▼
Công thức
Cho mẫu số liệu ghép nhóm gồm $k$ nhóm với tần số tương ứng:
| Nhóm | $[a_1; a_2)$ | $[a_2; a_3)$ | ... | $[a_k; a_{k+1})$ |
|---|---|---|---|---|
| Tần số | $m_1$ | $m_2$ | ... | $m_k$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
Số trung bình của mẫu được tính theo công thức:
$\bar{x} = \dfrac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \ldots + m_k x_k}{n}$
📍 Các ký hiệu
• $n = m_1 + m_2 + \ldots + m_k$ là cỡ mẫu (tổng số phần tử).
• $x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$ là giá trị đại diện của nhóm $[a_i; a_{i+1})$ — chính là trung điểm của nhóm.
• $\bar{x}$ là ước lượng cho số trung bình của mẫu số liệu gốc.
• $x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$ là giá trị đại diện của nhóm $[a_i; a_{i+1})$ — chính là trung điểm của nhóm.
• $\bar{x}$ là ước lượng cho số trung bình của mẫu số liệu gốc.
🔧 Các bước tính
Bước 1: Tính giá trị đại diện $x_i$ của mỗi nhóm (trung điểm).
Bước 2: Tính cỡ mẫu $n = m_1 + m_2 + \ldots + m_k$.
Bước 3: Áp dụng công thức $\bar{x} = \dfrac{\sum m_i x_i}{n}$.
Bước 2: Tính cỡ mẫu $n = m_1 + m_2 + \ldots + m_k$.
Bước 3: Áp dụng công thức $\bar{x} = \dfrac{\sum m_i x_i}{n}$.
💡 Ví dụ minh hoạ
Cân nặng (kg) của $30$ học sinh lớp 11A được cho như sau. Tính cân nặng trung bình.
| Cân nặng | $[40;50)$ | $[50;60)$ | $[60;70)$ | $[70;80)$ |
|---|---|---|---|---|
| Số HS | $5$ | $12$ | $8$ | $5$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
B1.Giá trị đại diện: $x_1 = \dfrac{40+50}{2} = 45$; $x_2 = 55$; $x_3 = 65$; $x_4 = 75$.
B2.Cỡ mẫu: $n = 5 + 12 + 8 + 5 = 30$.
B3.Áp dụng công thức:
$\bar{x} = \dfrac{5 \cdot 45 + 12 \cdot 55 + 8 \cdot 65 + 5 \cdot 75}{30} = \dfrac{225 + 660 + 520 + 375}{30} = \dfrac{1780}{30} \approx 59{,}33$ (kg).
Vậy cân nặng trung bình của $30$ học sinh là khoảng $59{,}33$ kg.
2
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
▼
Công thức
Giả sử nhóm chứa trung vị là nhóm thứ $p$: $[a_p; a_{p+1})$. Khi đó:
$M_e = a_p + \dfrac{\dfrac{n}{2} - (m_1 + m_2 + \ldots + m_{p-1})}{m_p} \cdot (a_{p+1} - a_p)$
🔍 Cách xác định nhóm chứa trung vị
• Trung vị nằm ở vị trí thứ $\dfrac{n}{2}$ trong mẫu đã sắp xếp.
• Lập bảng tần số tích luỹ: cộng dồn các tần số từ trái sang phải.
• Tìm nhóm đầu tiên mà tần số tích luỹ không nhỏ hơn $\dfrac{n}{2}$ — đó là nhóm chứa trung vị.
• Quy ước: nếu $p = 1$ thì $m_1 + m_2 + \ldots + m_{p-1} = 0$.
• Lập bảng tần số tích luỹ: cộng dồn các tần số từ trái sang phải.
• Tìm nhóm đầu tiên mà tần số tích luỹ không nhỏ hơn $\dfrac{n}{2}$ — đó là nhóm chứa trung vị.
• Quy ước: nếu $p = 1$ thì $m_1 + m_2 + \ldots + m_{p-1} = 0$.
🔧 Các bước tính trung vị
Bước 1: Tính cỡ mẫu $n$ và lập bảng tần số tích luỹ.
Bước 2: Xác định nhóm chứa vị trí $\dfrac{n}{2}$ → đó là nhóm thứ $p$.
Bước 3: Xác định $a_p$, $m_p$, tần số tích luỹ trước nhóm $p$ và độ dài nhóm $h = a_{p+1} - a_p$.
Bước 4: Thay vào công thức.
Bước 2: Xác định nhóm chứa vị trí $\dfrac{n}{2}$ → đó là nhóm thứ $p$.
Bước 3: Xác định $a_p$, $m_p$, tần số tích luỹ trước nhóm $p$ và độ dài nhóm $h = a_{p+1} - a_p$.
Bước 4: Thay vào công thức.
💡 Ví dụ minh hoạ
Thời gian (phút) tự học mỗi ngày của một số học sinh được cho như sau. Tính trung vị.
| Thời gian | $[0;10)$ | $[10;20)$ | $[20;30)$ | $[30;40)$ |
|---|---|---|---|---|
| Tần số $m_i$ | $5$ | $12$ | $8$ | $5$ |
| TS tích luỹ | $5$ | $17$ | $25$ | $30$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
B1.Cỡ mẫu: $n = 30 \Rightarrow \dfrac{n}{2} = 15$.
B2.Vị trí $15$ nằm trong khoảng $(5; 17]$ → thuộc nhóm $[10; 20)$, là nhóm thứ $p = 2$.
B3.Xác định: $a_p = 10$, $m_p = 12$, $m_1 = 5$, $h = 20 - 10 = 10$.
B4.Áp dụng công thức:
$M_e = 10 + \dfrac{15 - 5}{12} \cdot 10 = 10 + \dfrac{100}{12} \approx 18{,}33$ (phút).
Có khoảng $50\%$ học sinh tự học dưới $18{,}33$ phút mỗi ngày.
3
Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
▼
Định nghĩa
Ba tứ phân vị $Q_1, Q_2, Q_3$ chia mẫu số liệu thành $4$ phần bằng nhau, mỗi phần chứa $25\%$ giá trị:
• $Q_1$: tứ phân vị thứ nhất (có khoảng $25\%$ giá trị nhỏ hơn $Q_1$).
• $Q_2 = M_e$: trung vị (chính là tứ phân vị thứ hai).
• $Q_3$: tứ phân vị thứ ba (có khoảng $75\%$ giá trị nhỏ hơn $Q_3$).
• $Q_1$: tứ phân vị thứ nhất (có khoảng $25\%$ giá trị nhỏ hơn $Q_1$).
• $Q_2 = M_e$: trung vị (chính là tứ phân vị thứ hai).
• $Q_3$: tứ phân vị thứ ba (có khoảng $75\%$ giá trị nhỏ hơn $Q_3$).
⚡ Công thức $Q_1$
$Q_1 = a_p + \dfrac{\dfrac{n}{4} - (m_1 + \ldots + m_{p-1})}{m_p} \cdot (a_{p+1} - a_p)$
Nhóm chứa $Q_1$ là nhóm chứa vị trí thứ $\dfrac{n}{4}$.
⚡ Công thức $Q_3$
$Q_3 = a_p + \dfrac{\dfrac{3n}{4} - (m_1 + \ldots + m_{p-1})}{m_p} \cdot (a_{p+1} - a_p)$
Nhóm chứa $Q_3$ là nhóm chứa vị trí thứ $\dfrac{3n}{4}$.
📍 Ghi nhớ nhanh
• Công thức $Q_1, Q_2, Q_3$ có dạng chung — chỉ khác ở vị trí cần tìm ($\dfrac{n}{4}, \dfrac{n}{2}, \dfrac{3n}{4}$).
• $\dfrac{r \cdot n}{4}$ giá trị nhỏ hơn $Q_r$ (với $r = 1, 2, 3$).
• $\dfrac{r \cdot n}{4}$ giá trị nhỏ hơn $Q_r$ (với $r = 1, 2, 3$).
💡 Ví dụ minh hoạ
Cho bảng tần số ghép nhóm về số giờ ngủ của $40$ học sinh. Tính $Q_1$ và $Q_3$.
| Giờ ngủ | $[4;6)$ | $[6;8)$ | $[8;10)$ | $[10;12)$ |
|---|---|---|---|---|
| Tần số | $6$ | $18$ | $12$ | $4$ |
| TS tích luỹ | $6$ | $24$ | $36$ | $40$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
Tính $Q_1$:
$\dfrac{n}{4} = \dfrac{40}{4} = 10$ → vị trí $10$ thuộc nhóm $[6;8)$ (vì $6 < 10 \leq 24$), $p = 2$.
$Q_1 = 6 + \dfrac{10 - 6}{18} \cdot 2 = 6 + \dfrac{8}{18} \approx 6{,}44$.
Tính $Q_3$:
$\dfrac{3n}{4} = 30$ → vị trí $30$ thuộc nhóm $[8;10)$ (vì $24 < 30 \leq 36$), $p = 3$.
$Q_3 = 8 + \dfrac{30 - 24}{12} \cdot 2 = 8 + 1 = 9$.
Có khoảng $25\%$ học sinh ngủ dưới $6{,}44$ giờ và $75\%$ học sinh ngủ dưới $9$ giờ.
4
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
▼
Công thức
Giả sử nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất, là nhóm thứ $j$: $[a_j; a_{j+1})$. Khi đó:
$M_o = a_j + \dfrac{m_j - m_{j-1}}{(m_j - m_{j-1}) + (m_j - m_{j+1})} \cdot h$
📍 Các ký hiệu và quy ước
• $m_j$: tần số của nhóm chứa mốt.
• $m_{j-1}$, $m_{j+1}$: tần số nhóm liền trước và liền sau nhóm chứa mốt.
• $h = a_{j+1} - a_j$: độ dài nhóm.
• Quy ước: $m_0 = m_{k+1} = 0$ (khi nhóm chứa mốt là nhóm đầu hoặc cuối).
• $m_{j-1}$, $m_{j+1}$: tần số nhóm liền trước và liền sau nhóm chứa mốt.
• $h = a_{j+1} - a_j$: độ dài nhóm.
• Quy ước: $m_0 = m_{k+1} = 0$ (khi nhóm chứa mốt là nhóm đầu hoặc cuối).
⚠️ Lưu ý quan trọng
• Chỉ tính mốt khi các nhóm có độ dài bằng nhau.
• Khi tần số các nhóm bằng nhau, mẫu không có mốt.
• Một mẫu có thể có nhiều hơn một mốt (khi có nhiều nhóm cùng tần số lớn nhất).
• Khi tần số các nhóm bằng nhau, mẫu không có mốt.
• Một mẫu có thể có nhiều hơn một mốt (khi có nhiều nhóm cùng tần số lớn nhất).
🔧 Các bước tính mốt
Bước 1: Kiểm tra độ dài các nhóm — phải bằng nhau.
Bước 2: Tìm nhóm có tần số lớn nhất → nhóm thứ $j$.
Bước 3: Xác định $a_j$, $m_j$, $m_{j-1}$, $m_{j+1}$, $h$.
Bước 4: Thay vào công thức.
Bước 2: Tìm nhóm có tần số lớn nhất → nhóm thứ $j$.
Bước 3: Xác định $a_j$, $m_j$, $m_{j-1}$, $m_{j+1}$, $h$.
Bước 4: Thay vào công thức.
💡 Ví dụ minh hoạ
Chiều cao (cm) của $40$ học sinh lớp 11B được cho như sau. Tính mốt.
| Chiều cao | $[150;155)$ | $[155;160)$ | $[160;165)$ | $[165;170)$ |
|---|---|---|---|---|
| Số HS | $6$ | $10$ | $16$ | $8$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
B1.Các nhóm đều có độ dài $h = 5$ ✓.
B2.Tần số lớn nhất là $16$ → nhóm chứa mốt là $[160; 165)$, $j = 3$.
B3.$a_j = 160$, $m_j = 16$, $m_{j-1} = 10$, $m_{j+1} = 8$, $h = 5$.
B4.Áp dụng công thức:
$M_o = 160 + \dfrac{16 - 10}{(16-10) + (16-8)} \cdot 5 = 160 + \dfrac{6}{14} \cdot 5 \approx 162{,}14$ (cm).
Chiều cao phổ biến nhất của học sinh lớp 11B là khoảng $162{,}14$ cm.
5
Hiệu chỉnh dữ liệu rời rạc & ý nghĩa các số đặc trưng
▼
Khi nào cần hiệu chỉnh?
Với dữ liệu rời rạc cho dạng $k_1 - k_2$ (trong đó $k_1, k_2 \in \mathbb{N}$), nhóm $k_1 - k_2$ được hiểu là gồm các giá trị $k_1, k_1+1, \ldots, k_2$. Để áp dụng các công thức cho mẫu số liệu ghép nhóm, ta hiệu chỉnh như sau:
$k_1 - k_2 \longrightarrow [k_1 - 0{,}5; k_2 + 0{,}5)$
💡 Ví dụ hiệu chỉnh
Điểm thi môn Toán (thang $10$, làm tròn đến $1$) của một lớp:
| Điểm gốc | $1-4$ | $5-7$ | $8-10$ |
|---|---|---|---|
| Số HS | $5$ | $20$ | $10$ |
| Hiệu chỉnh | $[0{,}5; 4{,}5)$ | $[4{,}5; 7{,}5)$ | $[7{,}5; 10{,}5)$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📌 Ý nghĩa các số đặc trưng
• Số trung bình $\bar{x}$: giá trị "trung tâm" của mẫu, cho biết mức trung bình.
• Trung vị $M_e$: chia mẫu thành hai phần, $50\%$ giá trị nhỏ hơn $M_e$. Ít chịu ảnh hưởng của giá trị bất thường (so với $\bar{x}$).
• Tứ phân vị: $25\%$ giá trị nhỏ hơn $Q_1$; $75\%$ giá trị nhỏ hơn $Q_3$.
• Mốt $M_o$: giá trị phổ biến (xuất hiện nhiều) nhất trong mẫu.
• Trung vị $M_e$: chia mẫu thành hai phần, $50\%$ giá trị nhỏ hơn $M_e$. Ít chịu ảnh hưởng của giá trị bất thường (so với $\bar{x}$).
• Tứ phân vị: $25\%$ giá trị nhỏ hơn $Q_1$; $75\%$ giá trị nhỏ hơn $Q_3$.
• Mốt $M_o$: giá trị phổ biến (xuất hiện nhiều) nhất trong mẫu.
🎯 Mẹo đọc đề
• "$25\%$ giá trị nhỏ hơn ..." → tìm $Q_1$.
• "$50\%$ giá trị nhỏ hơn ..." → tìm $M_e$ (trung vị).
• "$75\%$ giá trị nhỏ hơn ..." → tìm $Q_3$.
• "$75\%$ giá trị lớn hơn hoặc bằng ..." → vẫn là tìm $Q_1$ (vì $100\% - 25\% = 75\%$).
• "Giá trị phổ biến nhất" → tìm mốt $M_o$.
• "$50\%$ giá trị nhỏ hơn ..." → tìm $M_e$ (trung vị).
• "$75\%$ giá trị nhỏ hơn ..." → tìm $Q_3$.
• "$75\%$ giá trị lớn hơn hoặc bằng ..." → vẫn là tìm $Q_1$ (vì $100\% - 25\% = 75\%$).
• "Giá trị phổ biến nhất" → tìm mốt $M_o$.
6
Tổng kết công thức
▼
📋 Bảng tổng hợp công thức
| Số đặc trưng | Công thức | Vị trí cần tìm |
|---|---|---|
| Số trung bình $\bar{x}$ | $\dfrac{\sum m_i x_i}{n}$ $x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$ |
— |
| Trung vị $M_e$ | $a_p + \dfrac{\frac{n}{2} - \sum_{i<p} m_i}{m_p} \cdot h$ | $\dfrac{n}{2}$ |
| Tứ phân vị $Q_1$ | $a_p + \dfrac{\frac{n}{4} - \sum_{i<p} m_i}{m_p} \cdot h$ | $\dfrac{n}{4}$ |
| Tứ phân vị $Q_3$ | $a_p + \dfrac{\frac{3n}{4} - \sum_{i<p} m_i}{m_p} \cdot h$ | $\dfrac{3n}{4}$ |
| Mốt $M_o$ | $a_j + \dfrac{m_j - m_{j-1}}{(m_j-m_{j-1})+(m_j-m_{j+1})} \cdot h$ | Tần số max |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📚
Xem thêm: Bài viết chi tiết về các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm trên edus.vn
→
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập các số đặc trưng đo xu thế trung tâm!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh