Menu Học Tập

Bài tập toán 7 Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác

Lớp 7 · Toán Bài 14 · Hình học

Trường Hợp Bằng Nhau Thứ Hai & Thứ Ba Của Tam Giác

Cạnh – Góc – Cạnh (c.g.c) và Góc – Cạnh – Góc (g.c.g)

1
Trường hợp Cạnh – Góc – Cạnh (c.g.c)
▼

Ở bài trước, ta đã biết hai tam giác bằng nhau khi ba cạnh tương ứng bằng nhau (c.c.c). Tuy nhiên trong thực tế, nhiều khi không thể đo hết các cạnh. Vậy có cách nào khác không?

①Góc xen giữa hai cạnh
Trong tam giác $ABC$, góc $\widehat{BAC}$ (hay góc $\widehat{A}$) được gọi là góc xen giữa hai cạnh $AB$ và $AC$.

Tương tự:
• $\widehat{B}$ là góc xen giữa $BA$ và $BC$.
• $\widehat{C}$ là góc xen giữa $CA$ và $CB$.
A A B C
$\widehat{A}$ là góc xen giữa hai cạnh $AB$ và $AC$
!Định lí (c.g.c)
Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
A B C A' B' C'
$AB = A'B'$ ; $\widehat{A} = \widehat{A'}$ ; $AC = A'C' \Rightarrow \triangle ABC = \triangle A'B'C'$ (c.g.c)
⚠️Lưu ý quan trọng: Góc phải là góc xen giữa hai cạnh đã cho, không phải góc bất kì. Nếu góc không nằm xen giữa thì không áp dụng được c.g.c.
Ví dụ 1 — Chứng minh c.g.c với cạnh chung

Cho hình vẽ, biết $AB = AD$ và $\widehat{BAC} = \widehat{DAC}$. Chứng minh $\triangle ABC = \triangle ADC$.

📐 Chứng minh:

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle ADC$ có:

①$AB = AD$(giả thiết)
②$\widehat{BAC} = \widehat{DAC}$(giả thiết)
③$AC$ là cạnh chung(cạnh chung)
Vậy $\triangle ABC = \triangle ADC$ (c.g.c)
2
Trường hợp Góc – Cạnh – Góc (g.c.g)
▼
①Góc kề với cạnh
Trong tam giác $ABC$, hai góc $\widehat{ABC}$ và $\widehat{ACB}$ (hay $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$) được gọi là các góc kề cạnh $BC$.

Tương tự:
• $\widehat{A}$ và $\widehat{B}$ là hai góc kề cạnh $AB$.
• $\widehat{A}$ và $\widehat{C}$ là hai góc kề cạnh $AC$.
B C A B C
$\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ là hai góc kề cạnh $BC$
!Định lí (g.c.g)
Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
A B C A' B' C'
$\widehat{B} = \widehat{B'}$ ; $BC = B'C'$ ; $\widehat{C} = \widehat{C'} \Rightarrow \triangle ABC = \triangle A'B'C'$ (g.c.g)
⚠️Lưu ý quan trọng: Hai góc phải là hai góc kề của cạnh đã cho (tức nằm ở hai đầu cạnh đó). Nếu góc không kề cạnh đã cho thì không áp dụng được g.c.g trực tiếp.
Ví dụ 2 — Chứng minh g.c.g với cạnh chung

Cho hình vẽ, biết $\widehat{ABD} = \widehat{CBD}$ và $\widehat{ADB} = \widehat{CDB}$. Chứng minh $\triangle ABD = \triangle CBD$.

📐 Chứng minh:

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle CBD$ có:

①$\widehat{ABD} = \widehat{CBD}$(giả thiết)
②$BD$ là cạnh chung(cạnh chung)
③$\widehat{ADB} = \widehat{CDB}$(giả thiết)
Vậy $\triangle ABD = \triangle CBD$ (g.c.g)
3
Tổng hợp ba trường hợp bằng nhau của tam giác
▼

Đến nay, ta đã biết 3 trường hợp để chứng minh hai tam giác bằng nhau:

Trường hợpĐiều kiệnKí hiệu
Cạnh – Cạnh – Cạnh Ba cạnh tương ứng bằng nhau c.c.c
Cạnh – Góc – Cạnh Hai cạnh và góc xen giữa tương ứng bằng nhau c.g.c
Góc – Cạnh – Góc Một cạnh và hai góc kề tương ứng bằng nhau g.c.g

📝 Cách chọn đúng trường hợp: Khi bài cho một số yếu tố bằng nhau, em đếm:

1
Có 3 cạnh bằng nhau → dùng c.c.c.
2
Có 2 cạnh + 1 góc xen giữa 2 cạnh đó → dùng c.g.c.
3
Có 1 cạnh + 2 góc kề cạnh đó → dùng g.c.g.
Ví dụ 3 — Chọn đúng trường hợp

Hai tam giác $ABC$ và $MNP$ có $\widehat{A} = 60°$, $\widehat{N} = 50°$, $\widehat{P} = 70°$, $AB = MN$, $AC = MP$. Hỏi $\triangle ABC$ có bằng $\triangle MNP$ không?

Bước 1: Tính $\widehat{M}$ trong $\triangle MNP$:
$\widehat{M} + \widehat{N} + \widehat{P} = 180°$
$\widehat{M} = 180° - 50° - 70° = 60°$
Bước 2: Xét hai tam giác:
• $AB = MN$ (giả thiết)
• $\widehat{A} = \widehat{M} = 60°$ (góc xen giữa $AB$, $AC$ và $MN$, $MP$)
• $AC = MP$ (giả thiết)
Kết luận: $\triangle ABC = \triangle MNP$ (c.g.c).
4
Một số bài toán áp dụng
▼
Ví dụ 4 — Chứng minh c.g.c rồi suy ra cạnh bằng nhau

Cho hình vẽ, biết $CE = DE$ và $\widehat{CEA} = \widehat{DEA}$. Chứng minh $AC = AD$.

📐 Chứng minh:

Xét $\triangle AEC$ và $\triangle AED$ có:

①$CE = DE$(giả thiết)
②$\widehat{CEA} = \widehat{DEA}$(giả thiết)
③$AE$ là cạnh chung(cạnh chung)
$\Rightarrow \triangle AEC = \triangle AED$ (c.g.c)

Suy ra $AC = AD$ (hai cạnh tương ứng).

Ví dụ 5 — Áp dụng góc đối đỉnh trong c.g.c

Cho hai đoạn thẳng $MN$ và $PQ$ cắt nhau tại $O$ sao cho $OM = OP$ và $ON = OQ$. Chứng minh $\triangle MON = \triangle POQ$.

📐 Chứng minh:

Xét $\triangle MON$ và $\triangle POQ$ có:

①$OM = OP$(giả thiết)
②$\widehat{MON} = \widehat{POQ}$(đối đỉnh)
③$ON = OQ$(giả thiết)
Vậy $\triangle MON = \triangle POQ$ (c.g.c)
📖
Xem lý thuyết chi tiết bài học
Đầy đủ định nghĩa, công thức, các dạng bài tập có lời giải chi tiết
→
1
—
Điểm: 0/20
📐

Luyện tập về c.g.c và g.c.g

20 câu · 14 trắc nghiệm + 6 tự luận chứng minh

💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du

Bài tập toán 7 Bài 37: Hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác (20 bài tập) ( 28/04 )

Bài tập toán 7 Bài 36: Hình hộp chữ nhật và hình lập phương (20 bài tập) ( 28/04 )

Bài tập toán 7 Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác ( 28/04 )

Bài tập toán 7 Bài 34. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác ( 28/04 )

Bài tập toán 7 Bài 33: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác (20 bài tập) ( 28/04 )