Trong chương trình Toán lớp 8, đơn thức là một trong những khái niệm nền tảng đầu tiên khi các em bước vào học về biểu thức đại số. Hiểu rõ đơn thức sẽ giúp các em dễ dàng tiếp cận các kiến thức về đa thức ở những bài học sau.

Vậy đơn thức được hiểu như thế nào?

Đơn thức là một biểu thức đại số mà trong đó chỉ chứa một số, hoặc một biến, hoặc là tích của các số và các biến với nhau.

Nói cách khác, nếu một biểu thức đại số không có phép cộng hay phép trừ nào nằm giữa các thành phần của nó, thì đó chính là một đơn thức.

Những biểu thức sau là đơn thức:

• $9$ (chỉ là một số)
• $x$ (chỉ là một biến)
• $-5x^2y$ (tích của số $-5$ với các biến $x^2$ và $y$)
• $17z^4$ (tích của số $17$ với biến $z^4$)
• $xy \cdot 4x^2$ (tích của các số và biến)

Những biểu thức sau KHÔNG phải đơn thức:

• $x + 2y$ → có chứa phép cộng giữa hai hạng tử
• $x^3 – \dfrac{1}{2}x$ → có chứa phép trừ
• $5x\sqrt{y}$ → có chứa căn bậc hai của biến (không phải dạng lũy thừa nguyên dương)

Một điểm hay bị nhầm: Biểu thức $(1 + \sqrt{2})x^2y$ trông có vẻ chứa phép cộng, nhưng thực chất $(1 + \sqrt{2})$ là một con số cố định (xấp xỉ 2,414). Do đó toàn bộ biểu thức có dạng: một số nhân với các biến → đây là đơn thức.

Các em cần phân biệt rõ: phép cộng giữa phần số với phần số (tạo ra một hằng số) khác với phép cộng giữa các hạng tử chứa biến (tạo ra đa thức).

Đơn thức thu gọn là gì?

Khi làm việc với đơn thức, các em sẽ gặp những đơn thức mà trong đó một biến có thể xuất hiện nhiều lần, hoặc có nhiều hệ số chưa được nhân lại. Để thuận tiện cho việc tính toán, ta cần đưa đơn thức về dạng thu gọn.

Đơn thức thu gọn là đơn thức mà trong đó chỉ có một số duy nhất (gọi là hệ số), và mỗi biến chỉ xuất hiện đúng một lần dưới dạng lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Ví dụ so sánh:

• Đơn thức $2xy(-3)x^2$ chưa thu gọn vì: có hai số ($2$ và $-3$), biến $x$ xuất hiện hai lần ($x$ và $x^2$).
• Đơn thức $5x^2y^3z$ đã thu gọn vì: chỉ có một số ($5$), mỗi biến $x$, $y$, $z$ chỉ xuất hiện một lần.

Cách thu gọn đơn thức:

Áp dụng các tính chất của phép nhân và quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$) để gom phần số lại với nhau, gom các biến giống nhau lại.

Ví dụ: Thu gọn đơn thức $A = 2xy(-3)x^2$

$$A = 2xy(-3)x^2$$

$$= \big[2 \cdot (-3)\big] \cdot (x \cdot x^2) \cdot y$$

$$= -6 \cdot x^{1+2} \cdot y$$

$$= -6x^3y$$

Vậy đơn thức thu gọn của $A$ là $-6x^3y$.

Hệ số, phần biến và bậc của đơn thức

Sau khi đơn thức đã được thu gọn, ta có thể xác định ba thành phần quan trọng:

Hệ số và phần biến

Trong một đơn thức thu gọn:

• Hệ số là phần số đứng trước (bao gồm cả dấu).
• Phần biến là phần còn lại gồm các biến kèm số mũ.

Ví dụ: Với đơn thức $-6x^3y$:

$$\underbrace{-6}_{\text{Hệ số}} \cdot \underbrace{x^3y}_{\text{Phần biến}}$$

Bậc của đơn thức

Bậc của đơn thức là tổng tất cả các số mũ của các biến có trong đơn thức thu gọn (với điều kiện hệ số khác $0$).

Ví dụ: Đơn thức $5x^2y^3z$ có bậc bằng: $2 + 3 + 1 = 6$.

(Lưu ý: biến $z$ không ghi số mũ, ta hiểu số mũ của nó là $1$.)

Ví dụ trong SGK: Xác định hệ số, phần biến và bậc của đơn thức $0{,}5xy^2 \cdot 4x^2$.

• Bước 1: Thu gọn trước:

$$0{,}5xy^2 \cdot 4x^2 = (0{,}5 \cdot 4)(x \cdot x^2)y^2 = 2x^3y^2$$

• Bước 2: Xác định:
  • Hệ số: $2$
  • Phần biến: $x^3y^2$
  • Bậc: $3 + 2 = 5$

Một số chú ý quan trọng

• Khi hệ số là $+1$ hoặc $-1$, ta không viết số 1. Chẳng hạn: đơn thức $xy^2$ có hệ số là $1$; đơn thức $-x^2y^2$ có hệ số là $-1$.
• Mỗi số khác 0 (ví dụ $5$, $-7$, $\dfrac{1}{3}$) được coi là đơn thức thu gọn có bậc 0.
• Số 0 cũng là đơn thức, nhưng nó không có bậc.
• Khi viết đơn thức thu gọn, ta thường viết hệ số đứng trước, các biến xếp theo thứ tự bảng chữ cái phía sau.

Đơn thức đồng dạng

Khi làm bài tập, các em sẽ thường xuyên phải nhận biết các đơn thức nào “cùng loại” với nhau để thực hiện phép cộng, trừ. Đó chính là các đơn thức đồng dạng.

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số đều khác 0 và có phần biến hoàn toàn giống nhau.

Ví dụ:

• $2x^2y^3$ và $-\dfrac{1}{2}x^2y^3$ là hai đơn thức đồng dạng vì cùng phần biến $x^2y^3$.
• $2x^2y^3$ và $x^3y^2$ không đồng dạng vì phần biến khác nhau ($x^2y^3 \ne x^3y^2$), mặc dù cả hai đều có bậc $5$.

Nhận xét: Hai đơn thức đồng dạng luôn có cùng bậc. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng — cùng bậc chưa chắc đã đồng dạng (đặc biệt khi đơn thức có nhiều biến).

Ngoài ra, hai số khác $0$ bất kì (ví dụ $5$ và $-3$) cũng được xem là hai đơn thức đồng dạng.

Cộng và trừ đơn thức đồng dạng

Phép cộng và trừ đơn thức chỉ thực hiện được khi các đơn thức đồng dạng với nhau. Quy tắc rất đơn giản:

Muốn cộng (hay trừ) hai đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

Ví dụ (SGK): Cho ba đơn thức đồng dạng $A = 3xy^2$, $B = -5xy^2$, $C = xy^2$. Tính $A + B$; $A – B$; $A + B + C$.

$$A + B = 3xy^2 + (-5)xy^2 = \big[3 + (-5)\big]xy^2 = -2xy^2$$

$$A – B = 3xy^2 – (-5)xy^2 = \big[3 – (-5)\big]xy^2 = 8xy^2$$

$$A + B + C = 3xy^2 + (-5)xy^2 + xy^2 = (3 – 5 + 1)xy^2 = -xy^2$$

Bản chất của phép tính này là áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: ta đặt phần biến chung làm nhân tử, rồi chỉ cộng/trừ các hệ số bên trong ngoặc.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Thu gọn đơn thức, xác định hệ số, phần biến và bậc

Phương pháp giải:

Bước 1: Nhân tất cả các hệ số (phần số) lại với nhau. Chú ý xác định đúng dấu của kết quả.

Bước 2: Nhân các biến giống nhau bằng cách cộng số mũ lại: $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$.

Bước 3: Viết đơn thức thu gọn theo thứ tự: hệ số trước, phần biến sau (biến xếp theo bảng chữ cái).

Bước 4: Đọc ra hệ số, phần biến. Tính bậc bằng cách cộng tổng các số mũ.

Ví dụ 1: Thu gọn đơn thức $4x^2 \cdot (-4xy^2)$. Chỉ ra hệ số, phần biến và bậc.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Nhân các hệ số với nhau:

$$4 \cdot (-4) = -16$$

Bước 2: Nhân các biến giống nhau (cộng số mũ):

• Biến $x$: $x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3$
• Biến $y$: chỉ có $y^2$, giữ nguyên

Bước 3: Viết đơn thức thu gọn:

$$4x^2 \cdot (-4xy^2) = -16x^3y^2$$

Bước 4: Xác định:

• Hệ số: $-16$
• Phần biến: $x^3y^2$
• Bậc: $3 + 2 = 5$

Ví dụ 2: Thu gọn đơn thức $\left(\dfrac{-3}{4}x^2y\right)\left(-xy^3\right)$. Chỉ ra hệ số, phần biến và bậc.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Nhân các hệ số:

$$\dfrac{-3}{4} \cdot (-1) = \dfrac{3}{4}$$

(Nhớ rằng $-xy^3$ có hệ số là $-1$.)

Bước 2: Nhân các biến giống nhau:

• Biến $x$: $x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3$
• Biến $y$: $y \cdot y^3 = y^{1+3} = y^4$

Bước 3: Viết đơn thức thu gọn:

$$\left(\dfrac{-3}{4}x^2y\right)\left(-xy^3\right) = \dfrac{3}{4}x^3y^4$$

Bước 4: Xác định:

• Hệ số: $\dfrac{3}{4}$
• Phần biến: $x^3y^4$
• Bậc: $3 + 4 = 7$

Ví dụ 3: Thu gọn đơn thức $5xy^2 \cdot (-3y)^2$. Chỉ ra hệ số, phần biến và bậc.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Trước tiên, ta cần khai triển phần lũy thừa:

$$(-3y)^2 = (-3)^2 \cdot y^2 = 9y^2$$

Bước 2: Bây giờ nhân hai phần lại:

$$5xy^2 \cdot 9y^2$$

Nhân hệ số: $5 \cdot 9 = 45$

Bước 3: Nhân các biến:

• Biến $x$: chỉ có $x$, giữ nguyên
• Biến $y$: $y^2 \cdot y^2 = y^{2+2} = y^4$

Bước 4: Viết đơn thức thu gọn:

$$5xy^2 \cdot (-3y)^2 = 45xy^4$$

Xác định:

• Hệ số: $45$
• Phần biến: $xy^4$
• Bậc: $1 + 4 = 5$

Dạng 2: Tính giá trị của đơn thức tại các giá trị cho trước

Phương pháp giải:

Bước 1: Thu gọn đơn thức (nếu đơn thức chưa ở dạng thu gọn).

Bước 2: Thay giá trị của từng biến vào đơn thức thu gọn. Lưu ý quan trọng: khi thay số âm, luôn đặt số âm trong ngoặc đơn để tránh nhầm dấu.

Bước 3: Thực hiện phép tính lũy thừa trước, rồi đến phép nhân, để ra kết quả cuối cùng.

Ví dụ 1: Thu gọn rồi tính giá trị của đơn thức $A = (-2)x^2y \cdot \dfrac{1}{2}xy$ tại $x = -2$, $y = \dfrac{1}{2}$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1 — Thu gọn:

Nhân hệ số: $(-2) \cdot \dfrac{1}{2} = -1$

Nhân biến $x$: $x^2 \cdot x = x^3$

Nhân biến $y$: $y \cdot y = y^2$

$$A = -x^3y^2$$

(Hệ số là $-1$, không viết số $1$.)

Bước 2 — Thay giá trị $x = -2$, $y = \dfrac{1}{2}$:

$$A = -(-2)^3 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^2$$

Bước 3 — Tính từng phần:

• $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$
• $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$

Thay vào:

$$A = -(-8) \cdot \dfrac{1}{4} = 8 \cdot \dfrac{1}{4} = 2$$

Vậy $A = 2$.

Ví dụ 2: Thu gọn rồi tính giá trị của đơn thức $B = xyz(-0{,}5)y^2z$ tại $x = 4$, $y = 0{,}5$, $z = 2$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1 — Thu gọn:

Nhân hệ số: $1 \cdot (-0{,}5) = -0{,}5$

Nhân biến $x$: chỉ có $x$, giữ nguyên

Nhân biến $y$: $y \cdot y^2 = y^3$

Nhân biến $z$: $z \cdot z = z^2$

$$B = -0{,}5xy^3z^2$$

Bước 2 — Thay giá trị $x = 4$, $y = 0{,}5$, $z = 2$:

$$B = -0{,}5 \cdot 4 \cdot (0{,}5)^3 \cdot 2^2$$

Bước 3 — Tính từng phần:

• $-0{,}5 \cdot 4 = -2$
• $(0{,}5)^3 = 0{,}125$
• $2^2 = 4$

Nhân tất cả lại:

$$B = -2 \cdot 0{,}125 \cdot 4 = -2 \cdot 0{,}5 = -1$$

Vậy $B = -1$.

Dạng 3: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng và tính giá trị

Phương pháp giải:

Bước 1: Thu gọn từng đơn thức (nếu chưa thu gọn).

Bước 2: Kiểm tra xem các đơn thức có đồng dạng không (phần biến phải giống hệt nhau).

Bước 3: Cộng hoặc trừ các hệ số, giữ nguyên phần biến chung.

Bước 4: Thay giá trị (nếu đề yêu cầu).

Ví dụ 1: Cho ba đơn thức $-x^3y$; $4x^3y$; $-2x^3y$.

a) Tính tổng $S$ của ba đơn thức đó.

b) Tính giá trị của $S$ tại $x = 2$, $y = -3$.

Lời giải chi tiết:

a) Cả ba đơn thức đều có phần biến là $x^3y$ → chúng đồng dạng.

Ta cộng các hệ số lại, giữ nguyên phần biến:

$$S = -x^3y + 4x^3y + (-2x^3y)$$

$$= (-1 + 4 – 2) \cdot x^3y$$

$$= 1 \cdot x^3y$$

$$= x^3y$$

b) Thay $x = 2$, $y = -3$ vào $S = x^3y$:

$$S = (2)^3 \cdot (-3)$$

$$= 8 \cdot (-3)$$

$$= -24$$

Vậy $S = -24$.

Ví dụ 2: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức $S = \dfrac{1}{2}x^2y^5 – \dfrac{5}{2}x^2y^5$ tại $x = -2$, $y = 1$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1 — Rút gọn:

Hai đơn thức đều có phần biến $x^2y^5$ → đồng dạng.

$$S = \left(\dfrac{1}{2} – \dfrac{5}{2}\right)x^2y^5 = \dfrac{1 – 5}{2} \cdot x^2y^5 = \dfrac{-4}{2} \cdot x^2y^5 = -2x^2y^5$$

Bước 2 — Thay $x = -2$, $y = 1$:

$$S = -2 \cdot (-2)^2 \cdot (1)^5$$

$$= -2 \cdot 4 \cdot 1$$

$$= -8$$

Vậy $S = -8$.

Dạng 4: Bài toán thực tế — Viết đơn thức biểu thị đại lượng

Phương pháp giải:

Bước 1: Đọc kỹ đề, xác định các đại lượng cần biểu diễn và đơn giá (hoặc kích thước) tương ứng.

Bước 2: Viết biểu thức cho từng phần riêng lẻ.

Bước 3: Kết hợp các biểu thức lại (cộng, trừ, nhân) để được đơn thức thu gọn biểu thị đại lượng cần tìm.

Ví dụ (Bài toán mở đầu SGK): Một nhóm thiện nguyện chuẩn bị $y$ phần quà. Mỗi phần quà gồm $x$ kg gạo (giá 12 nghìn đồng/kg) và $x$ gói mì ăn liền (giá 4,5 nghìn đồng/gói). Viết biểu thức biểu thị tổng giá trị bằng tiền (nghìn đồng) của toàn bộ số quà.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính giá trị của một phần quà:

• Tiền gạo trong 1 phần quà: $12 \cdot x = 12x$ (nghìn đồng)
• Tiền mì trong 1 phần quà: $4{,}5 \cdot x = 4{,}5x$ (nghìn đồng)
• Giá trị 1 phần quà: $12x + 4{,}5x = 16{,}5x$ (nghìn đồng)

Bước 2: Tính tổng giá trị của $y$ phần quà:

$$16{,}5x \cdot y = 16{,}5xy \text{ (nghìn đồng)}$$

Vậy biểu thức cần tìm là $16{,}5xy$ (nghìn đồng).

Kiểm tra: Ta cũng có thể tính theo cách khác — tính riêng tổng tiền gạo ($12xy$) và tổng tiền mì ($4{,}5xy$) rồi cộng lại:

$$12xy + 4{,}5xy = (12 + 4{,}5)xy = 16{,}5xy$$

Cả hai cách đều cho cùng kết quả, nghĩa là cả Tròn và Vuông đều lập luận đúng.

Ví dụ (Bài 1.7 SGK): Một mảnh đất có dạng hình chữ L như hình vẽ. Tìm đơn thức thu gọn biểu thị diện tích mảnh đất.

Lời giải chi tiết theo 2 cách:

Cách 1: Chia mảnh đất thành hai hình chữ nhật ABCD và EFGC rồi cộng diện tích:

• Diện tích hình chữ nhật ABCD: $2x \cdot 2y = 4xy$
• Diện tích hình chữ nhật EFGC: $3x \cdot y = 3xy$
• Diện tích mảnh đất: $4xy + 3xy = (4 + 3)xy = 7xy$

Cách 2: Lấy diện tích hình chữ nhật lớn HFGD trừ đi phần thừa HEBA:

• Diện tích HFGD: $3x \cdot (2y + y) = 3x \cdot 3y = 9xy$
• Diện tích HEBA: $(3x – 2x) \cdot 2y = x \cdot 2y = 2xy$
• Diện tích mảnh đất: $9xy – 2xy = (9 – 2)xy = 7xy$

Cả hai cách đều cho kết quả: diện tích mảnh đất là $7xy$ (mét vuông).

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh bài toán về đơn thức

Mẹo 1 — Nhận biết nhanh đơn thức: Nhìn vào biểu thức, nếu có dấu $+$ hoặc $-$ nằm giữa các phần chứa biến → không phải đơn thức. Nếu dấu $+$ hoặc $-$ nằm bên trong phần hệ số (như $(1 + \sqrt{2})$) thì vẫn là đơn thức.

Mẹo 2 — Đếm dấu âm để xác định dấu nhanh: Khi thu gọn, đếm xem có bao nhiêu thừa số mang dấu âm. Nếu số lượng dấu trừ là lẻ → kết quả âm; nếu chẵn → kết quả dương.

Mẹo 3 — Kiểm tra bậc nhanh: Sau khi thu gọn, cộng tất cả số mũ mà các em nhìn thấy. Biến nào không ghi số mũ thì hiểu mũ là $1$. Ví dụ: $3x^2yz^3$ có bậc $2 + 1 + 3 = 6$.

Mẹo 4 — Thay số âm luôn dùng ngoặc: Khi thay $x = -2$, luôn viết $(-2)^n$ chứ không viết $-2^n$, vì $(-2)^2 = 4$ nhưng $-2^2 = -4$, hai kết quả hoàn toàn khác nhau.

Tổng kết

Qua bài học về đơn thức, các em cần ghi nhớ những điểm cốt lõi sau:

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, một biến, hoặc tích của các số và biến — không chứa phép cộng hay phép trừ giữa các hạng tử.

Đơn thức thu gọn là dạng mà mỗi biến chỉ xuất hiện đúng một lần. Từ đơn thức thu gọn, ta xác định được hệ số (phần số), phần biến (các biến kèm số mũ) và bậc (tổng số mũ các biến, với hệ số khác 0). Riêng số khác $0$ có bậc $0$, còn số $0$ không có bậc.

Đơn thức đồng dạng là các đơn thức có hệ số khác $0$ và phần biến giống hệt nhau. Khi cộng hoặc trừ đơn thức đồng dạng, ta chỉ cần cộng/trừ hệ số rồi giữ nguyên phần biến.

Nắm vững những kiến thức này sẽ tạo nền tảng vững chắc để các em học tiếp bài Đa thức ở phần tiếp theo.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du