Bài toán mở đầu

Bác Lan gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng với kì hạn 12 tháng theo thể thức lãi kép. Sau năm thứ nhất, do chưa có nhu cầu sử dụng nên bác Lan không rút tiền ra mà tiếp tục gửi tiết kiệm kì thứ hai với lãi suất như cũ. Sau hai năm bác Lan rút tiền ra thì nhận được 118,81 triệu đồng cả vốn lẫn lãi. Hỏi lãi suất gửi tiết kiệm là bao nhiêu?

Để giải bài toán này, ta cần lập phương trình bậc hai rồi giải phương trình đó.

Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình

Các bước giải một bài toán bằng cách lập phương trình:

Bước 1. Lập phương trình:

• Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 (Bài toán hình học)

Một sân bóng đá 5 người có chiều rộng nhỏ hơn chiều dài 20 m và có diện tích bằng 1 500 m². Tính chiều dài và chiều rộng của sân bóng đó.

Giải:

Bước 1. Gọi $x$ (m) là chiều rộng sân bóng. Điều kiện: $x > 0$.

Khi đó chiều dài sân bóng là $x + 20$ (m).

Diện tích sân bóng bằng 1 500 m² nên:

$$x(x + 20) = 1\,500$$

$$x^2 + 20x – 1\,500 = 0$$

Bước 2. $\Delta’ = 10^2 + 1\,500 = 1\,600$, $\sqrt{\Delta’} = 40$.

$x_1 = -10 + 40 = 30$ (thoả mãn ĐK); $\quad x_2 = -10 – 40 = -50$ (loại vì $x > 0$).

Bước 3. Chiều rộng: $30$ m. Chiều dài: $30 + 20 = 50$ m.

Kết luận: Sân bóng có chiều dài 50 m và chiều rộng 30 m.

Ví dụ 2 (Bài toán chuyển động)

Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 35 km. Một tàu du lịch đi từ bến A đến bến B, nghỉ 30 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Thời gian kể từ lúc khởi hành đến khi về đến bến A là 6,5 giờ. Hãy tìm vận tốc thực của tàu du lịch, biết vận tốc dòng nước là 2 km/h.

Giải:

Bước 1. Gọi $x$ (km/h) là vận tốc thực của tàu. Vì vận tốc dòng nước là 2 km/h nên cần $x > 2$ để tàu chạy ngược dòng được.

• Vận tốc xuôi dòng: $x + 2$ (km/h) → thời gian đi: $\dfrac{35}{x + 2}$ (giờ).
• Vận tốc ngược dòng: $x – 2$ (km/h) → thời gian về: $\dfrac{35}{x – 2}$ (giờ).
• Thời gian nghỉ: 30 phút $= 0{,}5$ giờ.

Tổng thời gian: $\dfrac{35}{x + 2} + 0{,}5 + \dfrac{35}{x – 2} = 6{,}5$

Rút gọn: $\dfrac{35}{x + 2} + \dfrac{35}{x – 2} = 6$

Bước 2. Quy đồng mẫu vế trái:

$$\dfrac{35(x – 2) + 35(x + 2)}{(x + 2)(x – 2)} = 6$$

$$\dfrac{70x}{x^2 – 4} = 6$$

Nhân chéo: $70x = 6(x^2 – 4)$, tức $6x^2 – 70x – 24 = 0$, hay $3x^2 – 35x – 12 = 0$.

$\Delta = (-35)^2 – 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 1\,225 + 144 = 1\,369 = 37^2$.

$x_1 = \dfrac{35 + 37}{6} = 12$ ✓   $x_2 = \dfrac{35 – 37}{6} = -\dfrac{1}{3}$ (loại vì $x > 2$).

Bước 3. Vận tốc thực của tàu du lịch là 12 km/h.

Kiểm tra: $\dfrac{35}{14} + 0{,}5 + \dfrac{35}{10} = 2{,}5 + 0{,}5 + 3{,}5 = 6{,}5$ ✓

Giải bài toán mở đầu

Vận dụng (Bài toán lãi suất kép).

Lời giải chi tiết:

Gọi $x$ là lãi suất gửi tiết kiệm ($x > 0$, $x$ ở dạng số thập phân).

Sau kì gửi thứ nhất, số tiền (cả vốn lẫn lãi): $100(1 + x)$ (triệu đồng).

Sau kì gửi thứ hai, số tiền: $100(1 + x)(1 + x) = 100(1 + x)^2$ (triệu đồng).

Theo đề bài: $100(1 + x)^2 = 118{,}81$.

$(1 + x)^2 = 1{,}1881$

$1 + x = \sqrt{1{,}1881} = 1{,}09$ (vì $x > 0$ nên $1 + x > 0$).

$x = 0{,}09 = 9\%$.

Kết luận: Lãi suất gửi tiết kiệm là 9% một năm.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Bài toán hình học (kích thước, diện tích, thể tích)

Phương pháp giải:

• Gọi ẩn là một kích thước (chiều rộng, cạnh…), đặt ĐK dương.
• Biểu diễn các kích thước còn lại theo ẩn (dựa vào quan hệ đề cho).
• Lập PT từ diện tích hoặc thể tích.
• Giải PT, kiểm tra ĐK, kết luận.

Bài tập 6.28. Mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 360 m². Nếu tăng chiều rộng 3 m và giảm chiều dài 4 m thì diện tích không đổi. Tìm kích thước mảnh đất.

Lời giải chi tiết:

Gọi $x$ (m) là chiều rộng mảnh đất ($x > 0$). Chiều dài: $\dfrac{360}{x}$ (m).

Sau thay đổi: rộng $x + 3$, dài $\dfrac{360}{x} – 4$. Diện tích vẫn là 360 m²:

$$(x + 3)\left(\dfrac{360}{x} – 4\right) = 360$$

$$360 – 4x + \dfrac{1\,080}{x} – 12 = 360$$

$$-4x + \dfrac{1\,080}{x} – 12 = 0$$

Nhân cả hai vế với $x$: $-4x^2 + 1\,080 – 12x = 0$, hay $4x^2 + 12x – 1\,080 = 0$, tức:

$$x^2 + 3x – 270 = 0$$

$\Delta = 9 + 1\,080 = 1\,089 = 33^2$.

$x_1 = \dfrac{-3 + 33}{2} = 15$ ✓   $x_2 = \dfrac{-3 – 33}{2} = -18$ (loại).

Kết luận: Chiều rộng 15 m, chiều dài $\dfrac{360}{15} = $ 24 m.

Kiểm tra: $(15 + 3)(24 – 4) = 18 \times 20 = 360$ ✓

Bài tập 6.30. Thanh sô cô la dạng hộp chữ nhật: dài 12 cm, rộng 7 cm, dày 3 cm. Nhà sản xuất giảm 10% thể tích, giữ nguyên độ dày 3 cm, chiều dài và chiều rộng giảm đi cùng một số cm. Hỏi kích thước thanh sô cô la mới (làm tròn đến hàng phần trăm của cm)?

Lời giải chi tiết:

Thể tích cũ: $V = 12 \times 7 \times 3 = 252$ (cm³).

Thể tích mới: $V’ = 252 \times 0{,}9 = 226{,}8$ (cm³).

Gọi $x$ (cm) là số cm giảm đi ($0 < x < 7$).

Kích thước mới: dài $12 – x$, rộng $7 – x$, dày 3.

$$(12 – x)(7 – x) \times 3 = 226{,}8$$

$$(12 – x)(7 – x) = 75{,}6$$

$$84 – 19x + x^2 = 75{,}6$$

$$x^2 – 19x + 8{,}4 = 0$$

$\Delta = 19^2 – 4 \times 8{,}4 = 361 – 33{,}6 = 327{,}4$.

$\sqrt{\Delta} \approx 18{,}09$.

$x_1 = \dfrac{19 – 18{,}09}{2} \approx 0{,}45$ ✓   $x_2 = \dfrac{19 + 18{,}09}{2} \approx 18{,}55$ (loại vì $x < 7$).

Kết luận: Kích thước thanh sô cô la mới: dài $\approx$ 11,55 cm, rộng $\approx$ 6,55 cm, dày 3 cm.

Dạng 2: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải:

• Công thức cơ bản: Quãng đường = Vận tốc × Thời gian, tức $s = v \cdot t$.
• Gọi ẩn là vận tốc (hoặc thời gian), đặt ĐK phù hợp.
• Lưu ý: đổi phút → giờ (chia 60); vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc nước.
• Lập PT từ mối quan hệ thời gian (tổng thời gian, hiệu thời gian…).
• Giải PT, kiểm tra ĐK.

Luyện tập. Một đội xe gồm các xe tải cùng loại, cần phải chở 120 tấn hàng. Tuy nhiên khi làm việc, có hai xe phải điều chuyển đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 3 tấn hàng. Hỏi đội xe có bao nhiêu chiếc xe tải?

Lời giải chi tiết:

Gọi $x$ là số xe ban đầu ($x > 2$, $x$ nguyên dương).

Mỗi xe ban đầu chở: $\dfrac{120}{x}$ (tấn).

Sau khi bớt 2 xe, còn $x – 2$ xe, mỗi xe chở: $\dfrac{120}{x} + 3$ (tấn).

Tổng hàng vẫn là 120 tấn:

$$(x – 2)\left(\dfrac{120}{x} + 3\right) = 120$$

$$120 – \dfrac{240}{x} + 3x – 6 = 120$$

$$3x – \dfrac{240}{x} – 6 = 0$$

Nhân $x$: $3x^2 – 6x – 240 = 0$, tức $x^2 – 2x – 80 = 0$.

$(x – 10)(x + 8) = 0$

$x = 10$ ✓   hoặc $x = -8$ (loại).

Kết luận: Đội xe có 10 xe tải.

Kiểm tra: Ban đầu 10 xe, mỗi xe 12 tấn. Sau: 8 xe, mỗi xe $12 + 3 = 15$ tấn. Tổng $8 \times 15 = 120$ ✓

Bài tập 6.31. Một máy bay khởi hành từ Hà Nội vào TP Hồ Chí Minh, sau đó nghỉ 96 phút và tiếp tục bay về Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 100 km/h. Tổng thời gian cả hành trình là 6 giờ. Tính vận tốc máy bay lúc đi, biết quãng đường bay khoảng 1 200 km.

Lời giải chi tiết:

Gọi $v$ (km/h) là vận tốc lúc đi ($v > 0$).

Vận tốc lúc về: $v + 100$ (km/h).

Thời gian đi: $\dfrac{1\,200}{v}$ (giờ). Thời gian nghỉ: $\dfrac{96}{60} = \dfrac{8}{5}$ (giờ). Thời gian về: $\dfrac{1\,200}{v + 100}$ (giờ).

$$\dfrac{1\,200}{v} + \dfrac{8}{5} + \dfrac{1\,200}{v + 100} = 6$$

$$\dfrac{1\,200}{v} + \dfrac{1\,200}{v + 100} = 6 – \dfrac{8}{5} = \dfrac{22}{5}$$

Quy đồng:

$$\dfrac{1\,200(v + 100) + 1\,200v}{v(v + 100)} = \dfrac{22}{5}$$

$$\dfrac{2\,400v + 120\,000}{v^2 + 100v} = \dfrac{22}{5}$$

Nhân chéo: $5(2\,400v + 120\,000) = 22(v^2 + 100v)$

$12\,000v + 600\,000 = 22v^2 + 2\,200v$

$22v^2 – 9\,800v – 600\,000 = 0$

$11v^2 – 4\,900v – 300\,000 = 0$

$\Delta = 4\,900^2 + 4 \cdot 11 \cdot 300\,000 = 24\,010\,000 + 13\,200\,000 = 37\,210\,000$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{37\,210\,000} = 6\,100$ (vì $6\,100^2 = 37\,210\,000$).

$v = \dfrac{4\,900 + 6\,100}{22} = \dfrac{11\,000}{22} = 500$ ✓

$v = \dfrac{4\,900 – 6\,100}{22} < 0$ (loại).

Kết luận: Vận tốc máy bay lúc đi là 500 km/h.

Kiểm tra: $\dfrac{1\,200}{500} + \dfrac{8}{5} + \dfrac{1\,200}{600} = 2{,}4 + 1{,}6 + 2 = 6$ ✓

Bài tập 6.32. Một ô tô khách khởi hành từ Hà Nội đi Hải Phòng. Sau đó 30 phút, một ô tô con xuất phát từ cùng địa điểm đi về Hải Phòng trên cùng tuyến đường, với vận tốc lớn hơn vận tốc ô tô khách là 20 km/h. Hai xe đến cùng một địa điểm ở Hải Phòng tại cùng một thời điểm. Tính vận tốc mỗi ô tô, biết quãng đường khoảng 120 km.

Lời giải chi tiết:

Gọi $v$ (km/h) là vận tốc ô tô khách ($v > 0$).

Vận tốc ô tô con: $v + 20$ (km/h).

Thời gian ô tô khách: $\dfrac{120}{v}$ (giờ). Thời gian ô tô con: $\dfrac{120}{v + 20}$ (giờ).

Ô tô con đi sau 30 phút $= 0{,}5$ giờ nhưng đến cùng lúc:

$$\dfrac{120}{v} – \dfrac{120}{v + 20} = \dfrac{1}{2}$$

$$\dfrac{120(v + 20) – 120v}{v(v + 20)} = \dfrac{1}{2}$$

$$\dfrac{2\,400}{v(v + 20)} = \dfrac{1}{2}$$

$v(v + 20) = 4\,800$

$v^2 + 20v – 4\,800 = 0$

$\Delta’ = 100 + 4\,800 = 4\,900$, $\sqrt{\Delta’} = 70$.

$v = -10 + 70 = 60$ ✓   $v = -10 – 70 = -80$ (loại).

Kết luận: Ô tô khách: 60 km/h. Ô tô con: 80 km/h.

Kiểm tra: $\dfrac{120}{60} = 2$ h, $\dfrac{120}{80} = 1{,}5$ h, chênh $0{,}5$ h ✓

Dạng 3: Bài toán tăng trưởng (dân số, lãi suất)

Phương pháp giải:

• Công thức tăng trưởng kép: Sau $n$ kì, giá trị cuối $= $ giá trị đầu $\times (1 + x)^n$, với $x$ là tỉ lệ tăng mỗi kì.
• Lập PT $(1 + x)^n = k$, giải tìm $x$.
• Với $n = 2$: $(1 + x)^2 = k \implies 1 + x = \sqrt{k}$ (lấy nghiệm dương).

Bài tập 6.29. Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ 1 200 000 người lên 1 452 000 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số tăng bao nhiêu phần trăm?

Lời giải chi tiết:

Gọi $x$ là tỉ lệ tăng dân số mỗi năm ($x > 0$).

Sau 2 năm: $1\,200\,000(1 + x)^2 = 1\,452\,000$

$(1 + x)^2 = \dfrac{1\,452\,000}{1\,200\,000} = 1{,}21$

$1 + x = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1$ (vì $x > 0$).

$x = 0{,}1 = 10\%$.

Kết luận: Trung bình mỗi năm dân số tăng 10%.

Kiểm tra: $1\,200\,000 \times 1{,}1^2 = 1\,200\,000 \times 1{,}21 = 1\,452\,000$ ✓

Dạng 4: Bài toán năng suất / công việc

Phương pháp giải:

• Công thức: Tổng sản phẩm = Năng suất × Thời gian.
• Gọi ẩn là năng suất (hoặc thời gian theo kế hoạch).
• Lập PT dựa vào mối quan hệ giữa kế hoạch và thực tế.

Bài tập 6.33. Một xưởng may phải may 1 500 chiếc áo trong thời gian quy định. Để hoàn thành sớm, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn 10 chiếc áo so với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Do đó, ba ngày trước khi hết thời hạn, xưởng đã may được 1 320 áo. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng đó phải may xong bao nhiêu chiếc áo?

Lời giải chi tiết:

Gọi $x$ (chiếc/ngày) là số áo may theo kế hoạch ($x > 0$, nguyên dương).

Số ngày theo kế hoạch: $\dfrac{1\,500}{x}$ (ngày).

Thực tế mỗi ngày may $x + 10$ chiếc. Sau $\left(\dfrac{1\,500}{x} – 3\right)$ ngày (tức 3 ngày trước thời hạn), đã may 1 320 áo:

$$(x + 10)\left(\dfrac{1\,500}{x} – 3\right) = 1\,320$$

$$1\,500 – 3x + \dfrac{15\,000}{x} – 30 = 1\,320$$

$$-3x + \dfrac{15\,000}{x} + 150 = 0$$

Nhân $x$: $-3x^2 + 15\,000 + 150x = 0$, hay $3x^2 – 150x – 15\,000 = 0$, tức:

$$x^2 – 50x – 5\,000 = 0$$

$\Delta’ = 25^2 + 5\,000 = 625 + 5\,000 = 5\,625$, $\sqrt{\Delta’} = 75$.

$x = 25 + 75 = 100$ ✓   $x = 25 – 75 = -50$ (loại).

Kết luận: Theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may 100 chiếc áo.

Kiểm tra: KH: $1\,500/100 = 15$ ngày. Thực tế: 110 áo/ngày. Sau 12 ngày (3 ngày trước hạn): $110 \times 12 = 1\,320$ ✓

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Lập bảng tóm tắt: Với bài toán chuyển động, lập bảng 3 cột (vận tốc, thời gian, quãng đường) giúp thấy rõ mối quan hệ và dễ lập PT.

Mẹo 2 — Quy đồng rồi nhân chéo: Khi PT có dạng $\dfrac{A}{f(x)} + \dfrac{B}{g(x)} = C$, quy đồng mẫu rồi nhân chéo để khử mẫu → được PT bậc hai.

Mẹo 3 — Kiểm tra nhanh bằng thử lại: Sau khi tìm nghiệm, thế ngược lại vào bài toán ban đầu (không phải PT) để xác nhận kết quả đúng.

Mẹo 4 — Nhận dạng bài tăng trưởng: Thấy “sau $n$ năm”, “tỉ lệ tăng đều” → nghĩ ngay đến $(1 + x)^n$. Với $n = 2$, chỉ cần khai căn.

Mẹo 5 — Đơn giản hoá PT: Nếu hệ số lớn, chia cả hai vế cho ước chung (ví dụ: $22v^2 – 9\,800v – 600\,000 = 0$ chia 2 được $11v^2 – 4\,900v – 300\,000 = 0$).

Tổng kết

3 bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du