Bài 26 là phần vận dụng trực tiếp của phương trình bậc nhất một ẩn vào giải quyết các bài toán thực tế. Thay vì chỉ giải phương trình cho sẵn, các em sẽ học cách tự lập phương trình từ đề bài bằng lời, rồi giải phương trình đó để tìm đáp án. Đây là kỹ năng cực kỳ quan trọng, xuất hiện xuyên suốt từ Toán 8 đến Toán 12, với nhiều dạng bài phong phú: bài toán về tiền tệ, chuyển động, năng suất, pha trộn, v.v.

Giải toán bằng cách lập phương trình

Các bước giải

Để giải một bài toán bằng cách lập phương trình, ta thực hiện theo ba bước:

Bước 1. Lập phương trình:

• Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm của phương trình có thỏa mãn điều kiện của ẩn không, rồi kết luận.

Lưu ý quan trọng: Bước 3 (kiểm tra điều kiện) không được bỏ qua. Ví dụ, nếu ẩn là tuổi thì nghiệm phải là số dương; nếu ẩn là số tiền thì nghiệm không được âm, v.v.

Ví dụ: Bác Minh gửi tiết kiệm 200 triệu đồng với kì hạn 12 tháng. Đến cuối kì, bác Minh thu được số tiền cả vốn lẫn lãi là 212 triệu đồng. Tính lãi suất gửi tiết kiệm.

Bước 1: Gọi $x$ (viết dưới dạng số thập phân) là lãi suất gửi tiết kiệm theo năm ($x > 0$).

Tiền lãi sau 1 năm: $200x$ (triệu đồng).

Tổng tiền thu được: $200 + 200x$ (triệu đồng).

Theo đề bài: $200 + 200x = 212$.

Bước 2: Giải phương trình:

$$200x = 212 – 200 = 12$$

$$x = \dfrac{12}{200} = 0{,}06$$

Bước 3: $x = 0{,}06 > 0$ (thỏa mãn điều kiện).

Lãi suất gửi tiết kiệm là $0{,}06 = 6\%$ một năm.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Bài toán về tiền tệ (lãi suất, đầu tư, giảm giá, lương)

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi ẩn $x$ là đại lượng cần tìm (số tiền đầu tư, giá ban đầu, lương tháng…), ghi rõ đơn vị và điều kiện.

Bước 2: Biểu thị các đại lượng liên quan theo ẩn. Các công thức hay dùng:

• Tiền lãi $=$ tiền gốc $\times$ lãi suất.
• Giá sau giảm $=$ giá gốc $\times (1 – \text{tỉ lệ giảm})$.
• Tổng $=$ thành phần 1 $+$ thành phần 2.

Bước 3: Lập phương trình dựa trên mối quan hệ đề bài cho (tổng tiền lãi, tổng tiền trả, tổng thu nhập…).

Ví dụ mẫu 1 (BT 7.7): Chị Linh làm việc trong một ngân hàng và được thưởng Tết bằng 2,5 tháng lương. Tổng thu nhập một năm của chị Linh bao gồm lương 12 tháng và thưởng Tết là 290 triệu đồng. Hỏi lương hằng tháng của chị Linh là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết:

Gọi $x$ (triệu đồng) là lương hằng tháng của chị Linh ($x > 0$).

Thưởng Tết: $2{,}5x$ (triệu đồng).

Tổng thu nhập một năm: lương 12 tháng + thưởng Tết $= 12x + 2{,}5x$.

Theo đề bài:

$$12x + 2{,}5x = 290$$

$$14{,}5x = 290$$

$$x = \dfrac{290}{14{,}5} = 20$$

Giá trị $x = 20 > 0$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy lương hằng tháng của chị Linh là 20 triệu đồng.

Ví dụ mẫu 2 (BT 7.8): Bác Hưng đầu tư 300 triệu đồng vào hai khoản: mua trái phiếu doanh nghiệp với lãi suất 8% một năm và gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 6% một năm. Cuối năm bác Hưng nhận được 22 triệu đồng tiền lãi. Hỏi bác Hưng đã đầu tư vào mỗi khoản bao nhiêu tiền?

Lời giải chi tiết:

Gọi $x$ (triệu đồng) là số tiền mua trái phiếu doanh nghiệp.

Điều kiện: $0 \leq x \leq 300$.

Khi đó số tiền gửi tiết kiệm là $300 – x$ (triệu đồng).

Tiền lãi từ trái phiếu doanh nghiệp: $0{,}08x$ (triệu đồng).

Tiền lãi từ tiết kiệm: $0{,}06(300 – x)$ (triệu đồng).

Theo đề bài, tổng tiền lãi là 22 triệu:

$$0{,}08x + 0{,}06(300 – x) = 22$$

Giải phương trình:

$$0{,}08x + 18 – 0{,}06x = 22$$

$$0{,}02x = 22 – 18$$

$$0{,}02x = 4$$

$$x = 200$$

Giá trị $x = 200$ thỏa mãn điều kiện ($0 \leq 200 \leq 300$).

Vậy bác Hưng đã dùng 200 triệu đồng mua trái phiếu doanh nghiệp và 100 triệu đồng gửi tiết kiệm.

Kiểm tra: $0{,}08 \times 200 + 0{,}06 \times 100 = 16 + 6 = 22$ ✓.

Ví dụ mẫu 3 (BT 7.9): Nhân dịp khai trương, một siêu thị điện máy giảm giá nhiều mặt hàng. Tổng giá niêm yết của một chiếc ti vi loại A và một chiếc tủ lạnh loại B là 36,8 triệu đồng. Ti vi loại A được giảm giá 30% và tủ lạnh loại B được giảm giá 25% nên bác Cường đã mua cả hai với tổng số tiền là 26,805 triệu đồng. Hỏi giá niêm yết của mỗi mặt hàng?

Lời giải chi tiết:

Gọi $x$ (triệu đồng) là giá niêm yết của ti vi loại A.

Điều kiện: $0 < x < 36{,}8$.

Giá niêm yết tủ lạnh loại B: $36{,}8 – x$ (triệu đồng).

Giá sau giảm:

• Ti vi A (giảm 30%): $0{,}7x$ (triệu đồng).
• Tủ lạnh B (giảm 25%): $0{,}75(36{,}8 – x)$ (triệu đồng).

Theo đề bài:

$$0{,}7x + 0{,}75(36{,}8 – x) = 26{,}805$$

Giải phương trình:

$$0{,}7x + 27{,}6 – 0{,}75x = 26{,}805$$

$$-0{,}05x = 26{,}805 – 27{,}6$$

$$-0{,}05x = -0{,}795$$

$$x = \dfrac{-0{,}795}{-0{,}05} = 15{,}9$$

Giá trị $x = 15{,}9$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy giá niêm yết ti vi loại A là 15,9 triệu đồng, tủ lạnh loại B là $36{,}8 – 15{,}9 =$ 20,9 triệu đồng.

Kiểm tra: $0{,}7 \times 15{,}9 + 0{,}75 \times 20{,}9 = 11{,}13 + 15{,}675 = 26{,}805$ ✓.

Ví dụ mẫu 4 (BT 7.11): Hai công ty viễn thông đưa ra hai gói cước cho điện thoại cố định:

a) Biểu thị theo $x$ số tiền phải trả trong tháng khi sử dụng mỗi gói cước.

b) Với bao nhiêu phút gọi thì số tiền phải trả là như nhau?

Lời giải chi tiết:

a) Gọi $x$ (phút) là số phút gọi trong tháng ($x \geq 0$).

Số tiền trả khi dùng công ty A: $32 + 0{,}9x$ (nghìn đồng).

Số tiền trả khi dùng công ty B: $38 + 0{,}7x$ (nghìn đồng).

b) Khi số tiền phải trả bằng nhau:

$$32 + 0{,}9x = 38 + 0{,}7x$$

$$0{,}9x – 0{,}7x = 38 – 32$$

$$0{,}2x = 6$$

$$x = 30$$

Vậy khi gọi 30 phút thì số tiền phải trả của hai gói cước là như nhau.

Kiểm tra: Công ty A: $32 + 0{,}9 \times 30 = 59$ nghìn đồng. Công ty B: $38 + 0{,}7 \times 30 = 59$ nghìn đồng ✓.

Dạng 2: Bài toán pha trộn dung dịch

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi ẩn $x$ là khối lượng (hoặc thể tích) của một trong hai dung dịch cần pha.

Bước 2: Biểu thị khối lượng dung dịch còn lại theo ẩn. Tính lượng chất nguyên chất trong mỗi dung dịch:

$$\text{Lượng chất nguyên chất} = \text{nồng độ} \times \text{khối lượng dung dịch}$$

Bước 3: Lập phương trình dựa trên nguyên tắc: tổng chất nguyên chất trước pha = chất nguyên chất sau pha.

Ví dụ mẫu (Ví dụ 2 SGK): Cần phải trộn bao nhiêu gam dung dịch acid nồng độ 60% với bao nhiêu gam dung dịch acid cùng loại có nồng độ 30% để được 300 g dung dịch acid nồng độ 50%?

Lời giải chi tiết:

Gọi $x$ (g) là khối lượng dung dịch acid nồng độ 60% cần lấy.

Điều kiện: $0 < x < 300$.

Khối lượng dung dịch acid nồng độ 30%: $300 – x$ (g).

Lượng acid nguyên chất:

• Trong dung dịch 60%: $0{,}6x$ (g).
• Trong dung dịch 30%: $0{,}3(300 – x)$ (g).
• Trong 300 g dung dịch 50%: $0{,}5 \times 300 = 150$ (g).

Phương trình (tổng acid nguyên chất trước pha = acid nguyên chất sau pha):

$$0{,}6x + 0{,}3(300 – x) = 150$$

Giải phương trình:

$$0{,}6x + 90 – 0{,}3x = 150$$

$$0{,}3x = 150 – 90$$

$$0{,}3x = 60$$

$$x = 200$$

Giá trị $x = 200$ thỏa mãn điều kiện ($0 < 200 < 300$).

Vậy cần lấy 200 g dung dịch acid 60% pha với 100 g dung dịch acid 30%.

Kiểm tra: $0{,}6 \times 200 + 0{,}3 \times 100 = 120 + 30 = 150 = 0{,}5 \times 300$ ✓.

Dạng 3: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi ẩn $x$ là thời gian (hoặc vận tốc, quãng đường) cần tìm, ghi rõ đơn vị và điều kiện.

Bước 2: Lập bảng tóm tắt các đại lượng: vận tốc ($v$), thời gian ($t$), quãng đường ($s$), biểu thị theo ẩn. Công thức cơ bản:

$$s = v \times t; \quad t = \dfrac{s}{v}; \quad v = \dfrac{s}{t}$$

Bước 3: Lập phương trình dựa trên mối quan hệ đề bài cho. Các mối quan hệ phổ biến:

• Đuổi kịp: quãng đường hai xe bằng nhau ($s_1 = s_2$).
• Gặp nhau (ngược chiều): tổng quãng đường bằng tổng quãng đường giữa hai điểm ($s_1 + s_2 = d$).
• Đi và về: cùng quãng đường, tổng thời gian đã biết.

Lưu ý: Đơn vị phải thống nhất. Nếu vận tốc tính bằng km/h thì thời gian phải tính bằng giờ (đổi phút sang giờ: $10$ phút $= \dfrac{1}{6}$ giờ, $20$ phút $= \dfrac{1}{3}$ giờ, $30$ phút $= \dfrac{1}{2}$ giờ).

Ví dụ mẫu 1 (BT 7.10): Bạn Nam đi xe đạp rời nhà lúc 14 giờ với vận tốc 12 km/h. Khi Hùng đến nhà Nam vào lúc 14 giờ 10 phút thì mẹ Nam chỉ hướng đường đi của Nam cho Hùng và Hùng đi xe đạp đuổi theo với vận tốc 18 km/h. Hỏi đến lúc mấy giờ thì Hùng đuổi kịp Nam?

Lời giải chi tiết:

Gọi $x$ (giờ) là thời gian Hùng đi xe đạp ($x > 0$).

Hùng xuất phát lúc 14h10, tức muộn hơn Nam là 10 phút $= \dfrac{1}{6}$ giờ.

Khi Hùng đuổi kịp Nam, quãng đường hai bạn đi bằng nhau:

$$18x = 12\left(x + \dfrac{1}{6}\right)$$

Giải phương trình:

$$18x = 12x + 12 \times \dfrac{1}{6}$$

$$18x = 12x + 2$$

$$6x = 2$$

$$x = \dfrac{1}{3} \text{ (giờ)} = 20 \text{ phút}$$

Giá trị $x = \dfrac{1}{3} > 0$ thỏa mãn điều kiện.

Hùng xuất phát lúc 14h10, đi 20 phút → đuổi kịp Nam lúc 14 giờ 30 phút.

Kiểm tra: Hùng đi $18 \times \dfrac{1}{3} = 6$ km. Nam đi $12 \times \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}\right) = 12 \times \dfrac{1}{2} = 6$ km ✓.

Ví dụ mẫu 2 (Bài 1 giáo án — Chuyển động): Một người đi xe máy từ $A$ đến $B$ với vận tốc 30 km/h. Khi đến $B$, người đó nghỉ 10 phút rồi quay trở về $A$ với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính quãng đường $AB$ biết thời gian cả đi lẫn về và nghỉ là 6 giờ 40 phút.

Lời giải chi tiết:

Gọi $x$ (km) là quãng đường $AB$ ($x > 0$).

Vận tốc lúc đi: 30 km/h. Vận tốc lúc về: $30 + 5 = 35$ km/h.

Thời gian đi: $\dfrac{x}{30}$ (giờ). Thời gian về: $\dfrac{x}{35}$ (giờ). Thời gian nghỉ: 10 phút $= \dfrac{1}{6}$ giờ.

Tổng thời gian: 6 giờ 40 phút $= 6 + \dfrac{40}{60} = \dfrac{20}{3}$ (giờ).

Phương trình:

$$\dfrac{x}{30} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{x}{35} = \dfrac{20}{3}$$

Chuyển vế:

$$\dfrac{x}{30} + \dfrac{x}{35} = \dfrac{20}{3} – \dfrac{1}{6} = \dfrac{40}{6} – \dfrac{1}{6} = \dfrac{39}{6} = \dfrac{13}{2}$$

Quy đồng mẫu vế trái (mẫu chung $210$):

$$\dfrac{7x}{210} + \dfrac{6x}{210} = \dfrac{13}{2}$$

$$\dfrac{13x}{210} = \dfrac{13}{2}$$

$$x = \dfrac{13}{2} \times \dfrac{210}{13} = \dfrac{210}{2} = 105$$

Giá trị $x = 105 > 0$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy quãng đường $AB$ dài 105 km.

Kiểm tra: Thời gian đi $= \dfrac{105}{30} = 3{,}5$ giờ. Thời gian về $= \dfrac{105}{35} = 3$ giờ. Tổng $= 3{,}5 + \dfrac{1}{6} + 3 \approx 6{,}667 = \dfrac{20}{3}$ giờ ✓.

Dạng 4: Bài toán năng suất làm việc

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi ẩn $x$ là tổng số sản phẩm (hoặc số ngày) theo kế hoạch, ghi rõ đơn vị và điều kiện.

Bước 2: Biểu thị số ngày dự định và số ngày thực hiện theo ẩn. Công thức cơ bản:

$$\text{Số ngày} = \dfrac{\text{Tổng sản phẩm}}{\text{Năng suất mỗi ngày}}$$

Bước 3: Lập phương trình dựa trên mối quan hệ: hoàn thành sớm bao nhiêu ngày, vượt mức bao nhiêu sản phẩm.

$$\text{Số SP thực tế} = \text{năng suất thực tế} \times \text{số ngày thực tế}$$

Thông thường: số ngày thực tế $=$ số ngày dự định $-$ số ngày xong sớm. Và tổng SP thực tế $=$ tổng SP dự định $+$ số SP vượt mức.

Ví dụ mẫu (Bài 1 giáo án — Năng suất): Một tổ sản xuất dự định làm một số sản phẩm. Tổ dự định mỗi ngày làm 120 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ làm được 150 sản phẩm. Vì vậy tổ đã làm xong trước thời gian dự định là 4 ngày và còn làm thêm được 10 sản phẩm. Tính số sản phẩm mà tổ đã dự định làm.

Lời giải chi tiết:

Gọi $x$ (sản phẩm) là số sản phẩm tổ dự định làm ($x > 0$).

Số ngày dự định: $\dfrac{x}{120}$ (ngày).

Số ngày thực tế (xong sớm 4 ngày): $\dfrac{x}{120} – 4$ (ngày).

Số sản phẩm thực tế làm được $=$ năng suất thực tế $\times$ số ngày thực tế:

$$150 \times \left(\dfrac{x}{120} – 4\right)$$

Mà số sản phẩm thực tế $=$ số dự định $+$ 10 sản phẩm vượt mức $= x + 10$.

Phương trình:

$$150 \times \left(\dfrac{x}{120} – 4\right) = x + 10$$

Giải phương trình:

$$\dfrac{150x}{120} – 600 = x + 10$$

$$\dfrac{5x}{4} – 600 = x + 10$$

Nhân hai vế với 4:

$$5x – 2400 = 4x + 40$$

$$5x – 4x = 40 + 2400$$

$$x = 2440$$

Giá trị $x = 2440 > 0$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy số sản phẩm tổ dự định làm là 2440 sản phẩm.

Kiểm tra: Số ngày dự định $= \dfrac{2440}{120} \approx 20{,}33$ ngày. Số ngày thực tế $= 20{,}33 – 4 = 16{,}33$ ngày. SP thực tế $= 150 \times 16{,}33 = 2450 = 2440 + 10$ ✓.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Lập bảng tóm tắt trước khi viết phương trình: Với bài toán chuyển động, luôn lập bảng 3 cột (vận tốc, thời gian, quãng đường). Với bài toán năng suất, lập bảng (năng suất/ngày, số ngày, tổng SP). Bảng giúp nhìn rõ mối quan hệ, tránh nhầm lẫn.

Mẹo 2 — Chọn ẩn “khôn ngoan”: Thường gọi ẩn là đại lượng mà đề bài hỏi trực tiếp. Tuy nhiên, đôi khi gọi ẩn là đại lượng khác sẽ cho phương trình đơn giản hơn. Ví dụ: bài toán chuyển động có thể gọi ẩn là thời gian hoặc quãng đường — chọn cái nào thuận lợi hơn.

Mẹo 3 — Đổi phần trăm sang số thập phân ngay: Khi gặp lãi suất, nồng độ, tỉ lệ giảm giá, hãy đổi ngay: $8\% = 0{,}08$; $30\% = 0{,}3$; $60\% = 0{,}6$. Điều này tránh nhầm lẫn khi tính toán.

Mẹo 4 — Luôn kiểm tra kết quả: Thay nghiệm vào bài toán ban đầu (không phải phương trình) để xác nhận đáp án đúng. Thao tác này mất ít thời gian nhưng giúp phát hiện sai sót trước khi nộp bài.

Tổng kết

Qua Bài 26, các em cần nắm vững:

Phương pháp 3 bước: Lập phương trình (gọi ẩn → biểu thị → lập PT) → Giải phương trình → Trả lời (kiểm tra điều kiện rồi kết luận). Ba bước này áp dụng cho mọi dạng bài.

Bốn dạng bài tập cốt lõi: bài toán về tiền tệ (lãi suất, đầu tư, giảm giá, lương, gói cước), bài toán pha trộn dung dịch, bài toán chuyển động (đuổi kịp, đi và về, gặp nhau), và bài toán năng suất làm việc (dự định – thực hiện). Mỗi dạng có công thức và cách lập phương trình đặc trưng riêng.

Kỹ năng quan trọng nhất là biết chuyển từ lời văn sang phương trình — đọc kỹ đề, xác định mối quan hệ giữa các đại lượng, rồi biểu diễn bằng phương trình toán học. Kỹ năng này sẽ được dùng liên tục trong các chương tiếp theo và ở các lớp trên.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du