Bài toán mở đầu

Một cây cầu treo có trụ tháp đôi cao 75 m so với mặt cầu và cách nhau 400 m. Các dây cáp có dạng đồ thị của hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$) và được treo trên các đỉnh tháp. Tìm chiều cao $CH$ của dây cáp, biết điểm $H$ cách tâm $O$ của cây cầu 100 m (giả sử mặt cầu bằng phẳng).

Để giải bài toán trên, ta cần hiểu về hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$) — một dạng hàm số xuất hiện rất nhiều trong thực tế, từ quỹ đạo rơi tự do, diện tích hình tròn cho đến hình dạng dây cáp cầu treo. Bài học hôm nay sẽ giúp ta nắm vững khái niệm, cách vẽ đồ thị và các tính chất quan trọng của loại hàm số này.

1. Hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$)

Nhận biết hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$)

Trong thực tế, nhiều đại lượng có mối liên hệ theo dạng bình phương:

Ví dụ về rơi tự do: Khi thả một vật rơi tự do (bỏ qua sức cản không khí), quãng đường $s$ (mét) phụ thuộc vào thời gian $t$ (giây) theo công thức:

$$s = 4{,}9t^2$$

Nếu vật rơi từ độ cao 19,6 m thì thời gian chạm đất: $4{,}9t^2 = 19{,}6 \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow t = 2$ (giây) (loại $t = -2$ vì thời gian dương).

Ví dụ về diện tích hình tròn: Diện tích $S$ (cm²) của hình tròn bán kính $r$ (cm):

$$S = \pi r^2 \approx 3{,}14r^2$$

Các công thức $s = 4{,}9t^2$ và $S = 3{,}14r^2$ đều có cùng một dạng: biến phụ thuộc bằng hằng số nhân bình phương biến độc lập. Đó chính là dạng hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$).

Nhận xét. Hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$) xác định với mọi giá trị $x \in \mathbb{R}$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Cho hàm số $y = \dfrac{5}{2}x^2$. Hoàn thành bảng giá trị sau:

Giải:

Cách tính: Thay lần lượt các giá trị $x$ vào công thức. Chẳng hạn:

• $x = -3$: $y = \dfrac{5}{2} \cdot (-3)^2 = \dfrac{5}{2} \cdot 9 = \dfrac{45}{2}$
• $x = 2$: $y = \dfrac{5}{2} \cdot 2^2 = \dfrac{5}{2} \cdot 4 = 10$

Nhận xét: Với hai giá trị $x$ đối nhau (ví dụ $x = -3$ và $x = 3$), giá trị $y$ bằng nhau. Điều này do $(-x)^2 = x^2$.

2. Đồ thị của hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$)

Cách vẽ đồ thị

Để vẽ đồ thị hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$), ta thực hiện hai bước:

Bước 1. Lập bảng ghi một số cặp giá trị tương ứng của $x$ và $y$.

Bước 2. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, biểu diễn các điểm $(x; y)$ trong bảng giá trị và nối chúng lại bằng một đường cong trơn.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 2. Vẽ đồ thị của hàm số $y = -\dfrac{1}{2}x^2$.

Giải:

Bước 1: Lập bảng giá trị:

Bước 2: Biểu diễn các điểm $(-4; -8)$, $(-2; -2)$, $\left(-1; -\dfrac{1}{2}\right)$, $(0; 0)$, $\left(1; -\dfrac{1}{2}\right)$, $(2; -2)$, $(4; -8)$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ và nối chúng lại, ta được đồ thị là một đường cong nằm phía dưới trục hoành (do $a = -\dfrac{1}{2} < 0$).

Tính đối xứng của đồ thị

Quan sát đồ thị vừa vẽ, ta thấy các cặp điểm $(x; y)$ và $(-x; y)$ luôn đối xứng nhau qua trục tung $Oy$. Đây là tính chất quan trọng của đồ thị hàm số $y = ax^2$.

Đồ thị của hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$) là một đường cong gọi là đường parabol, có các tính chất:

• Có đỉnh là gốc toạ độ $O$.
• Có trục đối xứng là trục tung $Oy$.
• Nằm phía trên trục hoành nếu $a > 0$; nằm phía dưới trục hoành nếu $a < 0$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 3. a) Vẽ đồ thị của hàm số $y = -3x^2$.

b) Tìm toạ độ các điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng $-3$ và nhận xét về tính đối xứng giữa các điểm đó.

Giải:

a) Lập bảng giá trị:

Biểu diễn các điểm $(-2; -12)$, $(-1; -3)$, $(0; 0)$, $(1; -3)$, $(2; -12)$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ và nối chúng lại ta được đồ thị hàm số $y = -3x^2$ — một parabol quay bề lõm xuống dưới.

b) Thay $y = -3$ vào $y = -3x^2$:

$$-3x^2 = -3 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -1$$

Vậy hai điểm cần tìm là $(1; -3)$ và $(-1; -3)$. Hai điểm này đối xứng nhau qua trục tung $Oy$ (cùng tung độ, hoành độ đối nhau).

Nhận xét khi vẽ đồ thị:

• Cần xác định tối thiểu 5 điểm: gốc toạ độ $O$ và hai cặp điểm đối xứng qua $Oy$.
• Có thể chỉ cần lập bảng giá trị với $x \geq 0$, vẽ nửa phải đồ thị, rồi lấy đối xứng qua trục tung để được đồ thị hoàn chỉnh.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Lập bảng giá trị của hàm số $y = ax^2$

Phương pháp giải:

• Thay lần lượt từng giá trị $x$ vào công thức $y = ax^2$ để tính $y$ tương ứng.
• Lưu ý: $(-x)^2 = x^2$ nên hai giá trị $x$ đối nhau luôn cho cùng giá trị $y$. Dựa vào tính chất này để kiểm tra nhanh kết quả.

Bài tập 6.1. Cho hàm số $y = 0{,}25x^2$. Hoàn thành bảng giá trị sau:

Lời giải chi tiết:

Ta thay lần lượt từng giá trị $x$ vào $y = 0{,}25x^2$:

• $x = -3$: $y = 0{,}25 \cdot (-3)^2 = 0{,}25 \cdot 9 = 2{,}25$
• $x = -2$: $y = 0{,}25 \cdot (-2)^2 = 0{,}25 \cdot 4 = 1$
• $x = -1$: $y = 0{,}25 \cdot (-1)^2 = 0{,}25 \cdot 1 = 0{,}25$
• $x = 0$: $y = 0{,}25 \cdot 0^2 = 0$
• $x = 1$: $y = 0{,}25$ (bằng giá trị tại $x = -1$)
• $x = 2$: $y = 1$ (bằng giá trị tại $x = -2$)
• $x = 3$: $y = 2{,}25$ (bằng giá trị tại $x = -3$)

Bảng giá trị:

Luyện tập 1. Cho hàm số $y = -\dfrac{3}{2}x^2$. Hoàn thành bảng giá trị:

Lời giải chi tiết:

• $x = -3$: $y = -\dfrac{3}{2} \cdot 9 = -\dfrac{27}{2}$
• $x = -2$: $y = -\dfrac{3}{2} \cdot 4 = -6$
• $x = -1$: $y = -\dfrac{3}{2} \cdot 1 = -\dfrac{3}{2}$
• $x = 0$: $y = 0$

Do tính đối xứng, các giá trị $x = 1, 2, 3$ cho cùng kết quả với $x = -1, -2, -3$.

Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số $y = ax^2$

Phương pháp giải:

• Bước 1: Lập bảng giá trị với ít nhất 5 giá trị $x$ (bao gồm $x = 0$, hai giá trị dương và hai giá trị âm tương ứng).
• Bước 2: Biểu diễn các điểm trên mặt phẳng $Oxy$, nối lại bằng đường cong trơn.
• Mẹo: Vẽ nửa phải ($x \geq 0$) trước, rồi lấy đối xứng qua $Oy$.
• Nếu đề yêu cầu tìm điểm có tung độ cho trước: giải phương trình $ax^2 = y_0$ để tìm $x$.

Bài tập 6.4. Vẽ đồ thị của các hàm số:

a) $y = 3x^2$   b) $y = -\dfrac{1}{3}x^2$

Lời giải chi tiết:

a) Hàm số $y = 3x^2$ (với $a = 3 > 0$, parabol quay bề lõm lên trên).

Bảng giá trị:

Biểu diễn các điểm $(-2; 12)$, $(-1; 3)$, $(0; 0)$, $(1; 3)$, $(2; 12)$ trên mặt phẳng $Oxy$ và nối lại bằng đường cong trơn.

b) Hàm số $y = -\dfrac{1}{3}x^2$ (với $a = -\dfrac{1}{3} < 0$, parabol quay bề lõm xuống dưới).

Bảng giá trị:

Biểu diễn các điểm $(-3; -3)$, $\left(-1; -\dfrac{1}{3}\right)$, $(0; 0)$, $\left(1; -\dfrac{1}{3}\right)$, $(3; -3)$ và nối lại.

Luyện tập 2. Vẽ đồ thị của hàm số $y = \dfrac{1}{2}x^2$. Tìm các điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng 2 và nhận xét về tính đối xứng giữa các điểm đó.

Lời giải chi tiết:

Bảng giá trị:

Biểu diễn các điểm $(-4; 8)$, $(-2; 2)$, $\left(-1; \dfrac{1}{2}\right)$, $(0; 0)$, $\left(1; \dfrac{1}{2}\right)$, $(2; 2)$, $(4; 8)$ và nối lại ta được parabol quay bề lõm lên trên.

Tìm điểm có tung độ $y = 2$:

$$\dfrac{1}{2}x^2 = 2 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \text{ hoặc } x = -2$$

Hai điểm cần tìm là $(-2; 2)$ và $(2; 2)$. Hai điểm này đối xứng nhau qua trục tung $Oy$ (cùng tung độ, hoành độ đối nhau).

Dạng 3: Xác định hệ số $a$ và tìm toạ độ điểm thuộc parabol

Phương pháp giải:

• Tìm hệ số $a$: Nếu biết một điểm $(x_0; y_0)$ thuộc parabol (với $x_0 \neq 0$), thế vào $y_0 = ax_0^2$ để tính $a$.
• Tìm tung độ khi biết hoành độ: Thế $x$ vào $y = ax^2$.
• Tìm hoành độ khi biết tung độ: Giải $ax^2 = y_0$, suy ra $x = \pm\sqrt{\dfrac{y_0}{a}}$ (điều kiện $\dfrac{y_0}{a} \geq 0$).
• Nhận dạng đồ thị: $a > 0 \Rightarrow$ parabol quay lên; $a < 0 \Rightarrow$ parabol quay xuống.

Bài tập 6.5. Biết rằng đường cong trong Hình 6.6 là một parabol $y = ax^2$.

a) Tìm hệ số $a$.

b) Tìm tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ $x = -2$.

c) Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ $y = 8$.

Lời giải chi tiết:

a) Quan sát đồ thị, parabol đi qua điểm $(1; 0{,}5)$. Thế vào $y = ax^2$:

$$0{,}5 = a \cdot 1^2 \implies a = \dfrac{1}{2}$$

b) Với $a = \dfrac{1}{2}$ và $x = -2$:

$$y = \dfrac{1}{2} \cdot (-2)^2 = \dfrac{1}{2} \cdot 4 = 2$$

c) Thay $y = 8$ vào $y = \dfrac{1}{2}x^2$:

$$\dfrac{1}{2}x^2 = 8 \implies x^2 = 16 \implies x = 4 \text{ hoặc } x = -4$$

Hai điểm cần tìm là $(4; 8)$ và $(-4; 8)$.

Bài tập 6.6. Trong Hình 6.7 có hai đường cong là đồ thị của hai hàm số $y = -3x^2$ và $y = x^2$. Hãy cho biết đường nào là đồ thị của hàm số $y = -3x^2$.

Lời giải chi tiết:

Hàm số $y = -3x^2$ có hệ số $a = -3 < 0$ nên đồ thị nằm phía dưới trục hoành (parabol quay bề lõm xuống dưới).

Hàm số $y = x^2$ có hệ số $a = 1 > 0$ nên đồ thị nằm phía trên trục hoành.

Vậy đường cong nằm phía dưới trục hoành (đường màu xanh lá cây trong hình) chính là đồ thị của $y = -3x^2$.

Dạng 4: Bài toán thực tế gắn với hàm số $y = ax^2$

Phương pháp giải:

• Nhận dạng dữ kiện bài toán liên quan đến hàm số $y = ax^2$ (thể tích, diện tích, khoảng cách…).
• Viết công thức dạng $y = ax^2$, xác định $a$ từ dữ kiện.
• Trả lời câu hỏi bằng cách thế giá trị vào công thức hoặc so sánh giá trị.
• Quy luật quan trọng: Nếu biến $x$ tăng $k$ lần thì $y = ax^2$ tăng $k^2$ lần (vì $a(kx)^2 = k^2 \cdot ax^2$).

Vận dụng 1. Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh $a$ (cm) và chiều cao 15 cm.

a) Viết công thức tính thể tích $V$ của hình chóp theo $a$ và tính giá trị của $V$ khi $a = 5$ cm.

b) Nếu độ dài cạnh đáy tăng lên hai lần thì thể tích hình chóp thay đổi thế nào?

Lời giải chi tiết:

a) Diện tích đáy (hình vuông cạnh $a$): $S = a^2$ (cm²).

Thể tích hình chóp: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot 15 = 5a^2$ (cm³).

Đây là hàm số dạng $V = 5a^2$ (dạng $y = ax^2$ với hệ số bằng 5).

Khi $a = 5$: $V = 5 \cdot 5^2 = 5 \cdot 25 = 125$ (cm³).

b) Nếu cạnh đáy tăng lên hai lần, cạnh mới là $2a$:

$$V’ = 5 \cdot (2a)^2 = 5 \cdot 4a^2 = 20a^2 = 4V$$

Vậy thể tích hình chóp tăng lên 4 lần.

Bài tập 6.2. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh $a$ (cm) và chiều cao 10 cm.

a) Viết công thức tính thể tích $V$ theo $a$ và tính giá trị của $V$ khi $a = 2$ cm.

b) Nếu độ dài cạnh đáy tăng lên hai lần thì thể tích hình lăng trụ thay đổi thế nào?

Lời giải chi tiết:

a) Diện tích đáy: $S = a^2$ (cm²). Thể tích lăng trụ đứng:

$$V = S \cdot h = a^2 \cdot 10 = 10a^2 \text{ (cm³)}$$

Khi $a = 2$: $V = 10 \cdot 2^2 = 10 \cdot 4 = 40$ (cm³).

b) Cạnh đáy tăng lên hai lần (thành $2a$):

$$V’ = 10 \cdot (2a)^2 = 10 \cdot 4a^2 = 40a^2 = 4V$$

Vậy thể tích hình lăng trụ tăng lên 4 lần so với ban đầu.

Bài tập 6.3. Diện tích toàn phần $S$ (cm²) của hình lập phương (tổng diện tích xung quanh và hai mặt đáy) là hàm số của độ dài cạnh $a$ (cm).

a) Viết công thức của hàm số này.

b) Tính độ dài cạnh của hình lập phương có diện tích toàn phần là 54 cm².

Lời giải chi tiết:

a) Hình lập phương có 6 mặt, mỗi mặt là hình vuông cạnh $a$. Diện tích toàn phần:

$$S = 6a^2 \text{ (cm²)}$$

Đây là hàm số dạng $y = ax^2$ với hệ số $a = 6$.

b) Cho $S = 54$:

$$6a^2 = 54 \implies a^2 = 9 \implies a = 3 \text{ (cm)}$$

(loại $a = -3$ vì độ dài cạnh phải dương).

Vậy cạnh của hình lập phương là 3 cm.

Vận dụng 2 (Giải bài toán mở đầu). Tìm chiều cao $CH$ của dây cáp cầu treo.

Lời giải chi tiết:

Đặt hệ trục toạ độ $Oxy$ với gốc $O$ là điểm thấp nhất của dây cáp (tâm cầu), trục $Ox$ nằm dọc mặt cầu. Khi đó dây cáp có dạng $y = ax^2$.

Hai trụ tháp cách nhau 400 m nên mỗi trụ cách tâm $O$ là 200 m. Đỉnh trụ ở độ cao 75 m, tức điểm $(200; 75)$ thuộc đồ thị:

$$75 = a \cdot 200^2 \implies a = \dfrac{75}{40\,000} = \dfrac{3}{1\,600}$$

Điểm $H$ cách tâm $O$ là 100 m, tức $x = 100$:

$$y = \dfrac{3}{1\,600} \cdot 100^2 = \dfrac{3 \cdot 10\,000}{1\,600} = \dfrac{30\,000}{1\,600} = 18{,}75 \text{ (m)}$$

Vậy chiều cao $CH$ của dây cáp tại điểm cách tâm cầu 100 m là 18,75 m.

Bài tập 6.7. Một cổng vòm được thiết kế dạng parabol $y = ax^2$. Biết chiều rộng chân cổng là $AB = 6$ m và chiều cao cổng là $OI = 4{,}5$ m.

a) Tìm hệ số $a$. Từ đó, tính độ dài đoạn $HK$ biết $H$ cách điểm chính giữa cổng $I$ là 2 m.

b) Xe tải có chiều rộng 2 m, chiều cao 3 m. Hỏi xe tải có thể đi qua cổng vòm hay không?

Lời giải chi tiết:

a) Đặt hệ trục toạ độ với đỉnh parabol tại gốc $O$, parabol quay xuống dưới. Điểm chính giữa cổng $I$ nằm ở $(0; -4{,}5)$ (mặt đất). Chiều rộng chân cổng $AB = 6$ m nên $B(3; -4{,}5)$ thuộc parabol:

$$a \cdot 3^2 = -4{,}5 \implies 9a = -4{,}5 \implies a = -\dfrac{1}{2}$$

Tính $HK$: Điểm $H$ cách $I$ là 2 m, tức $H$ ứng với $x = 2$ trên mặt đất. Điểm $K$ nằm trên parabol tại $x = 2$:

$$y_K = -\dfrac{1}{2} \cdot 2^2 = -2$$

Chiều cao $HK$ = khoảng cách từ mặt đất đến điểm $K$ trên vòm:

$$HK = |y_K| – |y_I| + |y_I| – |y_K| \text{ … }$$

Cách tính đơn giản hơn: $HK = OI – |y_K| = 4{,}5 – |-2| = 4{,}5 – 2 = 2{,}5$ (m).

Vậy $HK = 2{,}5$ m.

b) Xe tải rộng 2 m nên nửa chiều rộng là 1 m. Ta kiểm tra chiều cao cổng tại vị trí cách tâm $I$ là 1 m (tức $x = 1$):

Tung độ trên parabol tại $x = 1$: $y = -\dfrac{1}{2} \cdot 1^2 = -\dfrac{1}{2}$

Chiều cao cổng tại đó: $4{,}5 – \left|-\dfrac{1}{2}\right| = 4{,}5 – 0{,}5 = 4$ (m).

Vì chiều cao cổng tại mép xe là $4$ m $> 3$ m (chiều cao xe), nên xe tải có thể đi qua cổng vòm.

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$) xác định với:

A. Mọi giá trị $x \in \mathbb{R}$   B. Mọi giá trị $x \in \mathbb{Z}$   C. Mọi giá trị $x \in \mathbb{N}$   D. Mọi giá trị $x \in \mathbb{N}^*$

Câu 2. Cho đồ thị một hàm số bậc hai có dạng parabol quay bề lõm lên trên và đi qua gốc toạ độ. Hệ số $a$ của hàm số bậc hai này:

A. $a = -1$   B. $a = 1$   C. $a < 0$   D. $a > 0$

Câu 3. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số $y = x^2$?

A. $(-1; 2)$   B. $(1; 2)$   C. $(1; 1)$   D. $(-2; 2)$

Câu 4. Điểm đối xứng với điểm $(x; y)$ qua trục $Oy$ là:

A. $(0; 0)$   B. $(x; -y)$   C. $(x; y)$   D. $(-x; y)$

Câu 5. Cho hàm số $y = 4x^2$. Giá trị của $y$ khi $x = -2$ là:

A. $y = 16$   B. $y = -16$   C. $y = 4$   D. $y = -4$

Đáp án:

Giải thích nhanh:

• Câu 1: Hàm số $y = ax^2$ luôn tính được với mọi $x \in \mathbb{R}$ → chọn A.
• Câu 2: Parabol quay lên trên → $a > 0$, và đồ thị cho thấy $a = 1$ → chọn B.
• Câu 3: Kiểm tra: $1^2 = 1$ ✓ → $(1; 1)$ thuộc đồ thị → chọn C. Các điểm khác: $(-1)^2 = 1 \neq 2$; $1^2 = 1 \neq 2$; $(-2)^2 = 4 \neq 2$.
• Câu 4: Đối xứng qua $Oy$ thì hoành độ đổi dấu, tung độ giữ nguyên → $(-x; y)$ → chọn D.
• Câu 5: $y = 4 \cdot (-2)^2 = 4 \cdot 4 = 16$ → chọn A.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Tận dụng tính đối xứng khi lập bảng: Vì $y = ax^2$ cho cùng giá trị tại $x$ và $-x$, ta chỉ cần tính $y$ với $x \geq 0$ rồi suy ra ngay giá trị tại $x < 0$.

Mẹo 2 — Nhận nhanh dấu của $a$ từ đồ thị: Parabol “ngửa lên” (dạng chữ U) → $a > 0$. Parabol “úp xuống” (dạng chữ $\cap$) → $a < 0$.

Mẹo 3 — Quy luật $k^2$ lần: Khi đề bài hỏi “nếu tăng $k$ lần thì thay đổi thế nào”, câu trả lời luôn là tăng $k^2$ lần. Ví dụ: tăng 3 lần → $y$ tăng $3^2 = 9$ lần.

Mẹo 4 — Tìm $a$ nhanh: Nếu biết parabol đi qua $(x_0; y_0)$ thì $a = \dfrac{y_0}{x_0^2}$. Không cần giải phương trình, chỉ cần chia.

Mẹo 5 — Kiểm tra điểm có thuộc đồ thị: Thế toạ độ điểm vào $y = ax^2$. Nếu vế trái $=$ vế phải thì điểm thuộc đồ thị.

Tổng kết

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du