Hình thang cân là một trong những tứ giác đặc biệt xuất hiện rất nhiều trong thực tế — từ mặt cắt của cầu, cửa sổ cho đến hình dáng con diều. Bài học này sẽ giúp các em nắm vững định nghĩa, ba định lí quan trọng và cách vận dụng chúng vào giải toán.

1. Hình thang. Hình thang cân

Khái niệm hình thang và hình thang cân

Ở bài trước, các em đã học về tứ giác. Trong bài này, ta xét một loại tứ giác đặc biệt — tứ giác có hai cạnh đối song song.

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

Trong hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$):

• Hai cạnh song song $AB$ và $CD$ gọi là hai đáy (đáy nhỏ và đáy lớn).
• Hai cạnh còn lại $AD$ và $BC$ gọi là hai cạnh bên.
• Đường vuông góc kẻ từ một điểm trên đáy này đến đáy kia gọi là đường cao của hình thang.

Trong số các hình thang, có một loại đặc biệt hơn:

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Trong hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$):

• Hai góc kề đáy nhỏ $AB$: $\widehat{A} = \widehat{B}$
• Hai góc kề đáy lớn $CD$: $\widehat{C} = \widehat{D}$

Nhận xét quan trọng: Trong hình thang, nếu hai góc kề một đáy bằng nhau thì hai góc kề đáy kia cũng bằng nhau.

Tính chất góc kề một cạnh bên

Một tính chất cơ bản của hình thang mà các em cần ghi nhớ:

Hai góc kề một cạnh bên của hình thang bù nhau (tổng bằng $180°$).

Giải thích: Vì $AB \parallel CD$ nên $\widehat{D}$ và $\widehat{DAB}$ là hai góc trong cùng phía, do đó $\widehat{D} + \widehat{DAB} = 180°$. Tương tự, $\widehat{C} + \widehat{ABC} = 180°$.

Ví dụ: Tính các góc của hình thang cân $MNPQ$ ($MN \parallel QP$), biết $\widehat{P} = 55°$.

Vì $MNPQ$ là hình thang cân nên: $\widehat{Q} = \widehat{P} = 55°$ (hai góc kề đáy lớn $QP$).

Hai góc kề cạnh bên bù nhau: $\widehat{M} + \widehat{Q} = 180°$, suy ra $\widehat{M} = 180° – 55° = 125°$.

Vì hình thang cân: $\widehat{N} = \widehat{M} = 125°$.

Vậy $\widehat{M} = \widehat{N} = 125°$, $\widehat{P} = \widehat{Q} = 55°$.

2. Tính chất của hình thang cân

Tính chất về cạnh bên

Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

Cụ thể, hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$) có hai cạnh bên $AD$ và $BC$ thì $AD = BC$.

Cách chứng minh (tóm tắt): Từ $A$ và $B$ kẻ đường vuông góc xuống $CD$ tại $H$ và $I$. Chứng minh $\triangle AHD = \triangle BIC$ (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra $AD = BC$.

Tính chất về đường chéo

Định lí 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

Cụ thể, hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$) có $AC = BD$.

Cách chứng minh (tóm tắt): Chứng minh $\triangle ACD = \triangle BDC$ (c.g.c), suy ra $AC = BD$.

3. Dấu hiệu nhận biết

Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

Ngoài cách nhận biết bằng định nghĩa (hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau), ta còn có thể nhận biết hình thang cân qua đường chéo:

Định lí 3: Nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.

Định lí 3 là định lí đảo của Định lí 2. Giả thiết của định lí này là kết luận của định lí kia, và ngược lại.

Tóm lại, có hai cách nhận biết hình thang cân:

1. Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau → hình thang cân (định nghĩa).
2. Hình thang có hai đường chéo bằng nhau → hình thang cân (Định lí 3).

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết hình thang, hình thang cân và tính góc

Phương pháp giải:

Bước 1: Kiểm tra xem tứ giác có hai cạnh đối song song không → nếu có thì là hình thang.

Bước 2: Kiểm tra thêm: hai góc kề một đáy bằng nhau → hình thang cân.

Bước 3: Sử dụng các tính chất để tính góc: hai góc kề một cạnh bên bù nhau ($180°$), hai góc kề một đáy bằng nhau (nếu hình thang cân).

Ví dụ mẫu 1 (Bài 1 tự luyện): Cho hình 5 với $\widehat{B} = \widehat{C} = 75°$ và $\widehat{D} = x$.

a) Chứng minh $ABCD$ là hình thang.

b) Số đo $x$ bằng bao nhiêu thì $ABCD$ là hình thang cân?

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $\widehat{B} = \widehat{C} = 75°$ mà $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ là hai góc so le trong đối với cạnh $BC$.

Vì hai góc so le trong bằng nhau nên $AB \parallel CD$.

Suy ra $ABCD$ là hình thang.

b) Để $ABCD$ là hình thang cân, cần hai góc kề đáy $CD$ bằng nhau:

$$\widehat{D} = \widehat{C} = 75°$$

Vậy $x = 75°$.

Ví dụ mẫu 2 (Bài 2 tự luyện): Hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$) có $\widehat{C} = \widehat{D} = 65°$.

a) Hình thang $ABCD$ là hình thang gì?

b) Tính $\widehat{A}$, $\widehat{B}$.

Lời giải chi tiết:

a) Hình thang $ABCD$ có hai góc kề đáy $CD$ bằng nhau ($\widehat{C} = \widehat{D} = 65°$), nên $ABCD$ là hình thang cân.

b) Vì $AB \parallel CD$ nên hai góc kề cạnh bên bù nhau:

$$\widehat{A} + \widehat{D} = 180°$$

$$\widehat{A} = 180° – 65° = 115°$$

Vì hình thang cân: $\widehat{B} = \widehat{A} = 115°$.

Vậy $\widehat{A} = \widehat{B} = 115°$.

Ví dụ mẫu 3 (BT 3.4): Hình thang trong Hình 3.23 có $\widehat{A} = 120°$, $\widehat{C} = 80°$. Hỏi hình thang này có phải hình thang cân không?

Lời giải chi tiết:

Vì $AB \parallel CD$ nên hai góc kề cạnh bên $AD$ bù nhau:

$$\widehat{A} + \widehat{D} = 180°$$

$$\widehat{D} = 180° – 120° = 60°$$

So sánh: $\widehat{C} = 80°$ và $\widehat{D} = 60°$ → $\widehat{C} \ne \widehat{D}$.

Hai góc kề đáy $CD$ không bằng nhau, nên hình thang này không phải hình thang cân.

Dạng 2: Chứng minh tính chất hình thang cân (cạnh bên, đường chéo bằng nhau)

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí đã học:

• Định lí 1: Hình thang cân → hai cạnh bên bằng nhau ($AD = BC$).
• Định lí 2: Hình thang cân → hai đường chéo bằng nhau ($AC = BD$).

Thường kết hợp chứng minh các tam giác bằng nhau (c.c.c, c.g.c, g.c.g…) để suy ra các cạnh hoặc góc bằng nhau.

Ví dụ mẫu (Bài 3 tự luyện): Cho hình thang $ABCD$ có $AC = BD$.

a) Hình thang $ABCD$ là hình thang gì?

b) Chứng minh $\widehat{ADB} = \widehat{BAC}$.

Lời giải chi tiết:

a) Hình thang $ABCD$ có hai đường chéo $AC = BD$ (giả thiết).

Theo Định lí 3, hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Vậy $ABCD$ là hình thang cân.

b) Vì $ABCD$ là hình thang cân nên $AB = CD$ (Định lí 1 — hai cạnh bên bằng nhau).

Lưu ý: Ở đây cần xem hình cụ thể. Theo hình 7, đáy là $AD$ và $BC$, cạnh bên là $AB$ và $CD$.

Xét $\triangle BAD$ và $\triangle CDA$:

• $AD$ là cạnh chung
• $AB = CD$ (hình thang cân, chứng minh trên)
• $BD = AC$ (giả thiết)

Suy ra $\triangle BAD = \triangle CDA$ (c.c.c).

Do đó $\widehat{ADB} = \widehat{BAC}$ (hai góc tương ứng).

Dạng 3: Chứng minh hình thang là hình thang cân

Phương pháp giải:

Để chứng minh một hình thang là hình thang cân, ta dùng một trong hai cách:

Cách 1 (theo định nghĩa): Chứng minh hai góc kề một đáy bằng nhau.

Cách 2 (theo Định lí 3): Chứng minh hai đường chéo bằng nhau.

Ví dụ mẫu (BT 3.5): Cho hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$). Kẻ đường thẳng vuông góc với $AC$ tại $C$ và đường thẳng vuông góc với $BD$ tại $D$, hai đường thẳng này cắt nhau tại $E$. Chứng minh rằng nếu $EC = ED$ thì hình thang $ABCD$ là hình thang cân.

Lời giải chi tiết:

Ta cần chứng minh $AC = BD$ để suy ra hình thang cân (Định lí 3).

Xét $\triangle ECA$ và $\triangle EDB$:

• $\widehat{ECA} = \widehat{EDB} = 90°$ (giả thiết: đường thẳng vuông góc)
• $EC = ED$ (giả thiết)

Vì $AB \parallel CD$ nên $\widehat{ACD} = \widehat{BDC}$ (hai góc so le trong).

Mà $\widehat{ECA} = 90°$ nên $\widehat{ACB} = 90° – \widehat{BCD} + \widehat{ECA}$…

Cách tiếp cận khác: Xét tam giác $ECD$ cân tại $E$ (vì $EC = ED$). Suy ra $\widehat{ECD} = \widehat{EDC}$.

Vì $EC \perp AC$ nên $\widehat{ACE} = 90°$, suy ra $\widehat{ACD} = 90° – \widehat{ECD}$.

Vì $ED \perp BD$ nên $\widehat{BDE} = 90°$, suy ra $\widehat{BDC} = 90° – \widehat{EDC}$.

Mà $\widehat{ECD} = \widehat{EDC}$ nên $\widehat{ACD} = \widehat{BDC}$.

Xét $\triangle ACD$ và $\triangle BDC$:

• $\widehat{ACD} = \widehat{BDC}$ (chứng minh trên)
• $CD$ là cạnh chung
• $\widehat{ADC} = \widehat{BCD}$ (vì $ABCD$ là hình thang cân — chưa chứng minh được)

Cách chính xác: Từ $\widehat{ACD} = \widehat{BDC}$, kết hợp $AB \parallel CD$:

$$\widehat{BAC} = \widehat{ACD} = \widehat{BDC} = \widehat{ABD}$$ (so le trong)

Suy ra $\triangle ICD$ cân tại $I$ và $\triangle IAB$ cân tại $I$ (với $I$ là giao điểm hai đường chéo).

Do đó $IC = ID$ và $IA = IB$, suy ra $AC = IA + IC = IB + ID = BD$.

Theo Định lí 3, hình thang $ABCD$ là hình thang cân.

Dạng 4: Bài toán tổng hợp liên quan đến hình thang

Phương pháp giải:

Kết hợp nhiều kiến thức: định nghĩa hình thang, tính chất hình thang cân, chứng minh tam giác bằng nhau, tính chất tia phân giác, đường song song…

Ví dụ mẫu (Bài 4 tự luyện): Cho $\triangle ABC$, hai đường phân giác góc $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ cắt nhau tại $O$. Qua $O$ kẻ đường thẳng song song với $BC$, đường thẳng này cắt $AB$ tại $M$ và $AC$ tại $N$.

a) Tứ giác $BCOM$ và $BCNO$ là các hình gì?

b) Chứng minh $MN = MB + NC$.

Lời giải chi tiết:

a) Tứ giác $BCOM$ có $OM \parallel BC$ (vì đường thẳng qua $O$ song song với $BC$) nên là hình thang.

Tứ giác $BCNO$ có $ON \parallel BC$ nên cũng là hình thang.

b) Vì $MO \parallel BC$ nên $\widehat{MOB} = \widehat{OBC}$ (hai góc so le trong).

Mà $BO$ là tia phân giác $\widehat{B}$ nên $\widehat{OBC} = \widehat{OBM}$.

Suy ra $\widehat{MOB} = \widehat{OBM}$, nên $\triangle MOB$ cân tại $M$.

Do đó $MO = MB$.

Chứng minh tương tự: Vì $NO \parallel BC$ nên $\widehat{NOC} = \widehat{OCB}$ (so le trong).

Mà $CO$ là tia phân giác $\widehat{C}$ nên $\widehat{OCB} = \widehat{OCN}$.

Suy ra $\widehat{NOC} = \widehat{OCN}$, nên $\triangle NOC$ cân tại $N$.

Do đó $NO = NC$.

Khi đó: $MN = MO + NO = MB + NC$.

Vậy $MN = MB + NC$ (đpcm).

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh bài toán về hình thang cân

Mẹo 1 — Tính góc nhanh: Trong hình thang cân, chỉ cần biết 1 góc là tính được cả 4 góc. Nếu biết góc đáy lớn $= \alpha$ thì góc đáy nhỏ $= 180° – \alpha$. Cặp đáy lớn bằng nhau, cặp đáy nhỏ bằng nhau.

Mẹo 2 — Kẻ đường cao: Khi cần chứng minh cạnh bên bằng nhau, hãy kẻ hai đường cao từ hai đỉnh đáy nhỏ xuống đáy lớn → tạo ra hai tam giác vuông bằng nhau.

Mẹo 3 — Nhận biết nhanh: Thấy hình thang + hai đường chéo bằng nhau → hình thang cân ngay (Định lí 3). Thấy hình thang + hai góc kề một đáy bằng nhau → hình thang cân (định nghĩa).

Mẹo 4 — Tổng hợp tính chất hình thang cân:

$$\text{Hình thang cân} \Rightarrow \begin{cases} \widehat{A} = \widehat{B}, \quad \widehat{C} = \widehat{D} \ AD = BC \ AC = BD \end{cases}$$

Tổng kết

Qua Bài 11 – Hình thang cân, các em cần nắm vững:

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. Hai góc kề một cạnh bên của hình thang luôn bù nhau (tổng $180°$).

Ba định lí quan trọng:

• Định lí 1: Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau.
• Định lí 2: Hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau.
• Định lí 3 (dấu hiệu nhận biết): Hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì là hình thang cân.

Nắm vững ba định lí này cùng cách chứng minh tam giác bằng nhau sẽ giúp các em giải quyết tốt các bài toán về hình thang cân trong chương trình Toán 8.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du