Ở bài trước, các em đã học ba hằng đẳng thức đầu tiên (hiệu hai bình phương, bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu). Bài này tiếp tục giới thiệu hai hằng đẳng thức tiếp theo liên quan đến lũy thừa bậc ba: lập phương của một tổng và lập phương của một hiệu.

1. Lập phương của một tổng

Với $A$, $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:

$$\boxed{(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3}$$

Hằng đẳng thức này được suy ra từ phép nhân $(A + B)(A + B)^2 = (A + B)(A^2 + 2AB + B^2)$.

Ví dụ: Khai triển các biểu thức sau.

a) $(x + 3)^3$:

$$(x + 3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$$

b) $(3x + y)^3$:

$$(3x + y)^3 = (3x)^3 + 3(3x)^2 \cdot y + 3 \cdot 3x \cdot y^2 + y^3 = 27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3$$

Ví dụ: Viết biểu thức $8 + 12x + 6x^2 + x^3$ dưới dạng lập phương của một tổng.

$$8 + 12x + 6x^2 + x^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot x^2 + x^3 = (2 + x)^3$$

2. Lập phương của một hiệu

Với $A$, $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:

$$\boxed{(A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3}$$

Công thức này được suy ra bằng cách viết $A – B = A + (-B)$ rồi áp dụng lập phương của một tổng, hoặc thực hiện phép nhân $(A – B)(A – B)^2$.

Lưu ý quan trọng về dấu: Trong khai triển $(A – B)^3$, các hạng tử xen kẽ dấu: $+$, $-$, $+$, $-$.

Ví dụ: Khai triển các biểu thức sau.

a) $(x – 2)^3$:

$$(x – 2)^3 = x^3 – 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 – 2^3 = x^3 – 6x^2 + 12x – 8$$

b) $(x – 3y)^3$:

$$(x – 3y)^3 = x^3 – 3 \cdot x^2 \cdot 3y + 3 \cdot x \cdot (3y)^2 – (3y)^3 = x^3 – 9x^2y + 27xy^2 – 27y^3$$

Ví dụ: Viết biểu thức $8 – 12x + 6x^2 – x^3$ dưới dạng lập phương của một hiệu.

$$8 – 12x + 6x^2 – x^3 = 2^3 – 3 \cdot 2^2 \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot x^2 – x^3 = (2 – x)^3$$

Tính chất quan trọng: $(a – b)^3 = -(b – a)^3$. Nghĩa là đổi thứ tự trong phép trừ thì lập phương đổi dấu.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Khai triển biểu thức theo hằng đẳng thức lập phương

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định biểu thức thuộc dạng $(A + B)^3$ hay $(A – B)^3$.

Bước 2: Xác định $A$ và $B$.

Bước 3: Áp dụng công thức, chú ý tính đúng $A^3$, $3A^2B$, $3AB^2$, $B^3$.

Ví dụ mẫu: Khai triển.

a) $(x^2 + 2y)^3$

Đây là $(A + B)^3$ với $A = x^2$, $B = 2y$:

$$(x^2 + 2y)^3 = (x^2)^3 + 3(x^2)^2 \cdot 2y + 3 \cdot x^2 \cdot (2y)^2 + (2y)^3$$

$$= x^6 + 6x^4y + 12x^2y^2 + 8y^3$$

b) $\left(\dfrac{1}{2}x – 1\right)^3$

Đây là $(A – B)^3$ với $A = \dfrac{1}{2}x$, $B = 1$:

$$= \left(\dfrac{1}{2}x\right)^3 – 3\left(\dfrac{1}{2}x\right)^2 \cdot 1 + 3 \cdot \dfrac{1}{2}x \cdot 1^2 – 1^3$$

$$= \dfrac{1}{8}x^3 – \dfrac{3}{4}x^2 + \dfrac{3}{2}x – 1$$

Dạng 2: Viết biểu thức dưới dạng lập phương của một tổng hoặc hiệu

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định hạng tử đầu và hạng tử cuối, lấy căn bậc ba để tìm $A$ và $B$.

Bước 2: Kiểm tra hai hạng tử giữa có đúng bằng $3A^2B$ và $3AB^2$ (hoặc $-3A^2B$ và $+3AB^2$) không.

Bước 3: Nếu khớp, viết kết quả là $(A + B)^3$ hoặc $(A – B)^3$.

Ví dụ mẫu: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương.

a) $27 + 54x + 36x^2 + 8x^3$

Nhận dạng: $27 = 3^3$, $8x^3 = (2x)^3$ → thử $(3 + 2x)^3$.

Kiểm tra: $3 \cdot 3^2 \cdot 2x = 54x$ ✓; $3 \cdot 3 \cdot (2x)^2 = 36x^2$ ✓.

$$= (3 + 2x)^3$$

b) $64x^3 – 144x^2y + 108xy^2 – 27y^3$

Nhận dạng: $64x^3 = (4x)^3$, $27y^3 = (3y)^3$, dấu xen kẽ → thử $(4x – 3y)^3$.

Kiểm tra: $3 \cdot (4x)^2 \cdot 3y = 144x^2y$ ✓; $3 \cdot 4x \cdot (3y)^2 = 108xy^2$ ✓.

$$= (4x – 3y)^3$$

Dạng 3: Rút gọn biểu thức

Phương pháp giải:

Bước 1: Khai triển từng phần theo hằng đẳng thức lập phương.

Bước 2: Bỏ ngoặc (chú ý dấu) và thu gọn hạng tử đồng dạng.

Ví dụ mẫu 1: Rút gọn $(x – 2y)^3 + (x + 2y)^3$.

Lời giải chi tiết:

Khai triển:

$$(x – 2y)^3 = x^3 – 6x^2y + 12xy^2 – 8y^3$$

$$(x + 2y)^3 = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$$

Cộng lại:

$$= x^3 – 6x^2y + 12xy^2 – 8y^3 + x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$$

$$= 2x^3 + 24xy^2$$

Ví dụ mẫu 2: Rút gọn $(3x + 2y)^3 + (3x – 2y)^3$.

Lời giải chi tiết:

$$(3x + 2y)^3 = 27x^3 + 54x^2y + 36xy^2 + 8y^3$$

$$(3x – 2y)^3 = 27x^3 – 54x^2y + 36xy^2 – 8y^3$$

Cộng lại:

$$= 54x^3 + 72xy^2$$

Nhận xét hữu ích: Khi cộng $(A + B)^3 + (A – B)^3$, các hạng tử chứa $B$ mũ lẻ ($3A^2B$ và $B^3$) sẽ triệt tiêu nhau, chỉ còn: $2A^3 + 6AB^2$.

Khi trừ $(A + B)^3 – (A – B)^3$, các hạng tử chứa $B$ mũ chẵn triệt tiêu, chỉ còn: $6A^2B + 2B^3$.

Dạng 4: Tính nhanh giá trị biểu thức

Phương pháp giải:

Bước 1: Nhận dạng biểu thức có dạng khai triển của $(A \pm B)^3$.

Bước 2: Viết gọn biểu thức thành $(A \pm B)^3$.

Bước 3: Thay giá trị đã cho vào dạng gọn để tính nhanh.

Ví dụ mẫu: Tính nhanh giá trị biểu thức.

a) $x^3 + 9x^2 + 27x + 27$ tại $x = 7$

Nhận dạng: $= x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = (x + 3)^3$

Thay $x = 7$: $(7 + 3)^3 = 10^3 = 1000$

b) $27 – 54x + 36x^2 – 8x^3$ tại $x = 6{,}5$

Nhận dạng: $= 3^3 – 3 \cdot 3^2 \cdot 2x + 3 \cdot 3 \cdot (2x)^2 – (2x)^3 = (3 – 2x)^3$

Thay $x = 6{,}5$: $(3 – 2 \cdot 6{,}5)^3 = (3 – 13)^3 = (-10)^3 = -1000$

Dạng 5: Tìm $x$ bằng hằng đẳng thức lập phương

Phương pháp giải:

Bước 1: Nhận dạng và viết gọn các biểu thức về dạng $(A \pm B)^3$.

Bước 2: Đưa phương trình về dạng $(…)^3 = k$, suy ra $… = \sqrt[3]{k}$.

Hoặc khai triển, rút gọn rồi giải phương trình bậc nhất.

Ví dụ mẫu 1: Tìm $x$ biết $8x^3 – 12x^2 + 6x – 1 = 0$.

Lời giải chi tiết:

Nhận dạng: $8x^3 – 12x^2 + 6x – 1 = (2x)^3 – 3(2x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2x \cdot 1^2 – 1^3 = (2x – 1)^3$

Phương trình trở thành:

$$(2x – 1)^3 = 0 \Leftrightarrow 2x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$$

Ví dụ mẫu 2: Tìm $x$ biết $x^3 – 6x^2 + 12x – 8 = 27$.

Lời giải chi tiết:

Nhận dạng vế trái: $x^3 – 6x^2 + 12x – 8 = (x – 2)^3$

Phương trình trở thành:

$$(x – 2)^3 = 27 = 3^3 \Leftrightarrow x – 2 = 3 \Leftrightarrow x = 5$$

Dạng 6: Chứng minh đẳng thức

Phương pháp giải:

Khai triển một hoặc cả hai vế bằng hằng đẳng thức, rồi so sánh kết quả.

Ví dụ mẫu: Chứng minh $(a – b)^3 = -(b – a)^3$.

Lời giải chi tiết:

Khai triển vế trái:

$$(a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3$$

Khai triển vế phải:

$$-(b – a)^3 = -(b^3 – 3b^2a + 3ba^2 – a^3)$$

$$= -b^3 + 3ab^2 – 3a^2b + a^3$$

$$= a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3$$

Ta thấy $VT = VP$. Vậy đẳng thức được chứng minh.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Ghi nhớ hệ số: Hệ số trong khai triển lập phương là $1, 3, 3, 1$ (giống hàng thứ 3 của tam giác Pascal). So sánh: bình phương có hệ số $1, 2, 1$.

Mẹo 2 — Quy tắc dấu:

• $(A + B)^3$: tất cả dấu $+$ → $+, +, +, +$
• $(A – B)^3$: dấu xen kẽ → $+, -, +, -$

Mẹo 3 — Rút gọn nhanh tổng/hiệu lập phương:

• $(A+B)^3 + (A-B)^3 = 2A^3 + 6AB^2$ (giữ lại hạng tử $A$ mũ lẻ)
• $(A+B)^3 – (A-B)^3 = 6A^2B + 2B^3$ (giữ lại hạng tử $B$ mũ lẻ)

Mẹo 4 — Tính nhanh giá trị: Nếu biểu thức có 4 hạng tử dạng $a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$, hãy viết gọn về $(a \pm b)^3$ trước rồi mới thay số.

Tổng kết

Bài 7 giới thiệu hai hằng đẳng thức đáng nhớ tiếp theo:

$$(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$$

$$(A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3$$

Hai công thức này có cấu trúc tương tự nhau, chỉ khác ở dấu xen kẽ trong lập phương của một hiệu. Các em cần nhớ hệ số $1, 3, 3, 1$ và quy tắc dấu để áp dụng chính xác.

Kết hợp với ba hằng đẳng thức đã học ở Bài 6, đến đây các em đã nắm được 5 trong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. Hai hằng đẳng thức cuối cùng (tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương) sẽ được học ở bài tiếp theo.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du