Bài toán mở đầu

Để đo chiều cao của một toà lâu đài, người ta đặt giác kế thẳng đứng tại điểm $M$. Quay ống ngắm sao cho nhìn thấy đỉnh $P’$ của toà lâu đài dưới góc nhọn $\alpha$. Sau đó, đặt giác kế thẳng đứng tại điểm $N$, $NM = 20$ m, thì nhìn thấy đỉnh $P’$ dưới góc nhọn $\beta$ ($\beta < \alpha$). Biết chiều cao giác kế là 1,6 m, hãy tính chiều cao của toà lâu đài.

Bài toán yêu cầu tính chiều cao mà ta không thể đo trực tiếp, chỉ biết các góc nhìn và khoảng cách. Để giải quyết, ta cần các hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông — nội dung chính của bài học hôm nay.

1. Hệ thức giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, cạnh huyền $BC = a$, hai cạnh góc vuông $AC = b$, $AB = c$.

Từ định nghĩa tỉ số lượng giác:

$$\sin B = \dfrac{b}{a} \implies b = a \sin B$$

$$\cos C = \dfrac{b}{a} \implies b = a \cos C$$

Tương tự: $c = a \sin C = a \cos B$.

Định lí 1. Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

Công thức ghi nhớ (tam giác $ABC$ vuông tại $A$):

$$b = a \sin B = a \cos C$$

$$c = a \sin C = a \cos B$$

Ví dụ minh hoạ

Một trực thăng bay lên với vận tốc 600 km/h. Đường bay tạo với phương nằm ngang một góc $30°$. Hỏi sau 2 phút, trực thăng lên cao được bao nhiêu kilômét theo phương thẳng đứng?

Giải:

Đổi: 2 phút $= \dfrac{2}{60} = \dfrac{1}{30}$ (giờ).

Quãng đường trực thăng bay lên: $AB = 600 \times \dfrac{1}{30} = 20$ (km).

Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $B$ xuống phương ngang. Tam giác $ABH$ vuông tại $H$, $\widehat{A} = 30°$.

Theo Định lí 1:

$$BH = AB \cdot \sin A = 20 \cdot \sin 30° = 20 \cdot \dfrac{1}{2} = 10 \text{ (km)}$$

Kết luận: Sau 2 phút, trực thăng lên cao được 10 km.

2. Hệ thức giữa hai cạnh góc vuông

Vẫn xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ như trên. Từ định nghĩa tỉ số lượng giác:

$$\tan B = \dfrac{b}{c} \implies b = c \cdot \tan B$$

$$\cot C = \dfrac{b}{c} \implies b = c \cdot \cot C$$

Tương tự: $c = b \cdot \tan C = b \cdot \cot B$.

Định lí 2. Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.

Công thức ghi nhớ (tam giác $ABC$ vuông tại $A$):

$$b = c \cdot \tan B = c \cdot \cot C$$

$$c = b \cdot \tan C = b \cdot \cot B$$

Ví dụ minh hoạ

Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ $40°$, bóng của một cột đèn trên mặt đất dài 12 m. Tính chiều cao của cột đèn đó (làm tròn đến mét).

Giải:

Chiều cao $h$ của cột đèn đối diện với góc $40°$ (góc tạo bởi tia nắng và bóng trên mặt đất).

Theo Định lí 2:

$$h = 12 \cdot \tan 40° \approx 12 \times 0{,}839 \approx 10 \text{ (m)}$$

Kết luận: Chiều cao của cột đèn khoảng 10 m.

3. Giải tam giác vuông

Trong một tam giác vuông, nếu cho biết trước hai cạnh (hoặc một góc nhọn và một cạnh) thì ta sẽ tìm được tất cả các cạnh và các góc còn lại. Bài toán này gọi là giải tam giác vuông.

Ví dụ minh hoạ 1 — Biết hai cạnh góc vuông

Cho tam giác vuông $ABC$ có $AB = 6$, $AC = 10$. Tính cạnh $BC$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) và các góc $B$, $C$ (làm tròn đến độ).

Giải:

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$.

Theo định lí Pythagore: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 10^2} = \sqrt{136} \approx 11{,}7$.

Ta có: $\tan C = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$. Từ đó $\widehat{C} \approx 31°$.

Suy ra: $\widehat{B} = 90° – 31° = 59°$.

Ví dụ minh hoạ 2 — Biết một cạnh và một góc nhọn

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 5$, $\widehat{B} = 50°$. Tính góc $C$ và các cạnh $AC$, $BC$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Giải:

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$.

$\widehat{C} = 90° – \widehat{B} = 90° – 50° = 40°$.

Theo Định lí 2: $AC = AB \cdot \tan B = 5 \cdot \tan 50° \approx 5{,}959$.

Theo Định lí 1: $\cos B = \dfrac{AB}{BC}$, suy ra $BC = \dfrac{AB}{\cos B} = \dfrac{5}{\cos 50°} \approx 7{,}779$.

Tóm tắt cách giải tam giác vuông

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Áp dụng hệ thức cạnh huyền – cạnh góc vuông (Định lí 1)

Đặc điểm nhận dạng: Bài toán cho biết cạnh huyền (hoặc có thể tính được) cùng với một góc nhọn, yêu cầu tìm cạnh góc vuông. Hoặc ngược lại, cho cạnh góc vuông và cạnh huyền để tìm góc.

Phương pháp giải:

• Xác định tam giác vuông trong hình, chỉ rõ cạnh huyền và các cạnh góc vuông.
• Áp dụng: cạnh góc vuông = cạnh huyền × sin góc đối hoặc cạnh huyền × cos góc kề.
• Nếu bài cho cạnh góc vuông và cạnh huyền, lập tỉ số $\sin$ hoặc $\cos$ rồi dùng MTCT tìm góc.

Ví dụ 1. Một chiếc thang dài 3 m. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” $65°$?

Lời giải chi tiết:

Gọi $B$ là chân thang, $C$ là đỉnh thang tựa vào tường, $A$ là chân tường. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $BC = 3$ m, $\widehat{B} = 65°$.

Khoảng cách từ chân thang đến chân tường là $AB$. Theo Định lí 1:

$$AB = BC \cdot \cos B = 3 \cdot \cos 65° \approx 3 \times 0{,}4226 \approx 1{,}27 \text{ (m)}$$

Kết luận: Cần đặt chân thang cách chân tường khoảng 1,27 m.

Ví dụ 2. Một khúc sông rộng khoảng 250 m. Một con đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320 m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy con đò đi lệch một góc $\alpha$ bằng bao nhiêu độ (làm tròn đến phút)?

Lời giải chi tiết:

Gọi $A$ là điểm xuất phát, $C$ là điểm đến dự kiến (đối diện thẳng), $B$ là điểm đến thực tế. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ (với $AC = 250$ m là chiều rộng sông, $BC = 320$ m là quãng đường thực tế).

Góc lệch $\alpha$ là góc tại $B$ (hoặc nói cách khác là góc giữa hướng đi thực và bờ sông). Ta có:

$$\cos \alpha = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{250}{320} = \dfrac{25}{32} \approx 0{,}7813$$

Từ đó: $\alpha \approx 38°37’$.

Kết luận: Dòng nước đã đẩy con đò lệch một góc khoảng $38°37’$.

Bài tập trắc nghiệm vận dụng Định lí 1:

Câu 1. Cho tam giác $MNP$ vuông tại $N$. Hệ thức nào sau đây đúng?

A. $MN = MP \cdot \sin P$ B. $MN = MP \cdot \cos P$ C. $MN = MP \cdot \tan P$ D. $MN = MP \cdot \cot P$

Đáp án: A.

Tam giác $MNP$ vuông tại $N$, cạnh huyền $MP$. Cạnh $MN$ đối diện góc $P$. Theo Định lí 1: $MN = MP \cdot \sin P$.

Câu 2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AC = 20$ cm, $\widehat{C} = 60°$. Tính $AB$ và $BC$.

A. $AB = 20\sqrt{3}$; $BC = \dfrac{40}{\sqrt{3}}$ B. $AB = 20\sqrt{3}$; $BC = 40$ C. $AB = 20$; $BC = 40$ D. $AB = 20$; $BC = \dfrac{40}{\sqrt{3}}$

Đáp án: B.

$AB$ đối diện góc $C$ nên $AB = AC \cdot \tan C = 20 \cdot \tan 60° = 20\sqrt{3}$.

$\cos C = \dfrac{AC}{BC}$, suy ra $BC = \dfrac{AC}{\cos C} = \dfrac{20}{\cos 60°} = \dfrac{20}{0{,}5} = 40$.

Câu 3. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $BC = 15$ cm, $\widehat{B} = 55°$. Tính $AC$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

A. $21{,}42$ cm B. $13{,}90$ cm C. $12{,}29$ cm D. $12{,}92$ cm

Đáp án: C.

$AC$ đối diện góc $B$, cạnh huyền $BC = 15$. Theo Định lí 1: $AC = BC \cdot \sin B = 15 \cdot \sin 55° \approx 15 \times 0{,}8192 \approx 12{,}29$ (cm).

Dạng 2: Áp dụng hệ thức hai cạnh góc vuông (Định lí 2)

Đặc điểm nhận dạng: Bài toán cho biết một cạnh góc vuông và một góc nhọn, yêu cầu tìm cạnh góc vuông kia.

Phương pháp giải:

• Xác định tam giác vuông, nhận diện hai cạnh góc vuông.
• Áp dụng: cạnh góc vuông = cạnh góc vuông kia × tang góc đối hoặc × côtang góc kề.
• Dạng thường gặp: bài toán tính chiều cao qua bóng nắng.

Ví dụ 3. Bóng trên mặt đất của một cây dài 25 m. Tính chiều cao của cây (làm tròn đến dm), biết rằng tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc $40°$.

Lời giải chi tiết:

Chiều cao $h$ của cây đối diện với góc $40°$; bóng dài 25 m là cạnh góc vuông kề với góc đó.

Theo Định lí 2:

$$h = 25 \cdot \tan 40° \approx 25 \times 0{,}8391 \approx 21{,}0 \text{ (m)}$$

Kết luận: Chiều cao của cây khoảng 21,0 m.

Dạng 3: Giải tam giác vuông

Đặc điểm nhận dạng: Bài toán cho hai yếu tố (hai cạnh, hoặc một cạnh và một góc nhọn), yêu cầu tìm tất cả các yếu tố còn lại (cạnh và góc).

Phương pháp giải:

Ví dụ 4. Cho tam giác vuông $ABC$ có cạnh góc vuông $AB = 4$, cạnh huyền $BC = 8$. Tính cạnh $AC$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) và các góc $B$, $C$ (làm tròn đến độ).

Lời giải chi tiết:

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$.

Theo định lí Pythagore:

$$AC = \sqrt{BC^2 – AB^2} = \sqrt{8^2 – 4^2} = \sqrt{64 – 16} = \sqrt{48} \approx 6{,}928$$

Ta có: $\cos B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$, suy ra $\widehat{B} = 60°$.

Từ đó: $\widehat{C} = 90° – 60° = 30°$.

Ví dụ 5. Giải tam giác $ABC$ vuông tại $A$, biết $BC = 9$, $\widehat{C} = 53°$.

Lời giải chi tiết:

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$.

$\widehat{B} = 90° – \widehat{C} = 90° – 53° = 37°$.

Theo Định lí 1:

$$AC = BC \cdot \cos C = 9 \cdot \cos 53° \approx 9 \times 0{,}6018 \approx 5{,}416$$

$$AB = BC \cdot \sin C = 9 \cdot \sin 53° \approx 9 \times 0{,}7986 \approx 7{,}188$$

Ví dụ 6. Giải tam giác vuông $ABC$ tại $A$ có $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$ trong các trường hợp (góc làm tròn đến độ, độ dài cạnh làm tròn đến chữ số hàng đơn vị):

a) $a = 21$, $b = 18$.

Theo định lí Pythagore: $c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{21^2 – 18^2} = \sqrt{441 – 324} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \approx 11$.

$\sin B = \dfrac{b}{a} = \dfrac{18}{21} = \dfrac{6}{7} \approx 0{,}857$, suy ra $\widehat{B} \approx 59°$.

$\widehat{C} = 90° – 59° = 31°$.

b) $b = 10$, $\widehat{C} = 30°$.

$\widehat{B} = 90° – 30° = 60°$.

Theo Định lí 2: $c = b \cdot \tan C = 10 \cdot \tan 30° = \dfrac{10}{\sqrt{3}} = \dfrac{10\sqrt{3}}{3} \approx 6$.

Theo Định lí 1: $a = \dfrac{b}{\cos C} = \dfrac{10}{\cos 30°} = \dfrac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{20\sqrt{3}}{3} \approx 12$.

c) $c = 5$, $b = 3$.

Theo định lí Pythagore: $a = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \approx 6$.

$\tan B = \dfrac{b}{c} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$, suy ra $\widehat{B} \approx 31°$.

$\widehat{C} = 90° – 31° = 59°$.

Bài tập trắc nghiệm giải tam giác vuông:

Câu 4. Cho tam giác $OPQ$ vuông tại $O$ có $\widehat{P} = 36°$, $PQ = 7$. Chọn đáp án sai.

A. $\widehat{Q} = 54°$ B. $OP \approx 5{,}66$ C. $OQ \approx 4{,}11$ D. $OP \approx 5{,}36$

Đáp án: D.

Kiểm tra: $\widehat{Q} = 90° – 36° = 54°$ → A đúng.

$OP = PQ \cdot \cos P = 7 \cdot \cos 36° \approx 7 \times 0{,}809 = 5{,}66$ → B đúng.

$OQ = PQ \cdot \sin P = 7 \cdot \sin 36° \approx 7 \times 0{,}588 = 4{,}11$ → C đúng.

Vậy D sai vì $OP \approx 5{,}66$, không phải $5{,}36$.

Dạng 4: Bài toán thực tế ứng dụng

Đặc điểm nhận dạng: Bài toán đặt trong bối cảnh thực tế (đo chiều cao, tính góc nghiêng, tính khoảng cách…). Cần chuyển đổi tình huống thực tế thành tam giác vuông rồi áp dụng các hệ thức.

Phương pháp giải:

• Bước 1: Đọc đề, vẽ hình minh hoạ, xác định tam giác vuông trong hình.
• Bước 2: Gắn các dữ kiện (khoảng cách, chiều cao, góc nhìn…) vào các cạnh và góc tương ứng.
• Bước 3: Áp dụng Định lí 1, Định lí 2 hoặc định nghĩa tỉ số lượng giác để tính.
• Bước 4: Trả lời câu hỏi (chú ý đơn vị, làm tròn).

Ví dụ 7. Tính góc nghiêng $\alpha$ của thùng xe chở rác, biết cạnh xiên của thùng dài 5 m và cạnh đáy nằm ngang dài 4 m (Hình 4.22 SGK).

Lời giải chi tiết:

Cạnh đáy nằm ngang là cạnh kề với góc $\alpha$, cạnh xiên là cạnh huyền.

$$\cos \alpha = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$$

Suy ra $\alpha \approx 36°52’$.

Kết luận: Góc nghiêng của thùng xe khoảng $36°52’$.

Ví dụ 8. Tìm góc nghiêng $\alpha$ và chiều rộng $AB$ của mái nhà kho, biết chiều cao phần mái $AE = 0{,}9$ m và chiều dài đáy mái $BE = 15$ m (Hình 4.23 SGK). Góc làm tròn đến độ, độ dài làm tròn đến dm.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác $ABE$ vuông tại $E$.

$$\tan \alpha = \dfrac{AE}{BE} = \dfrac{0{,}9}{15} = 0{,}06$$

Suy ra $\alpha \approx 3°$.

Theo định lí Pythagore:

$$AB = \sqrt{AE^2 + BE^2} = \sqrt{0{,}9^2 + 15^2} = \sqrt{0{,}81 + 225} = \sqrt{225{,}81} \approx 15{,}0 \text{ (m)}$$

Kết luận: Góc nghiêng khoảng $3°$, chiều rộng mái khoảng 15,0 m.

Ví dụ 9. Tính các góc của hình thoi có hai đường chéo dài $2\sqrt{3}$ và $2$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC = 2\sqrt{3}$ và $BD = 2$.

Hai đường chéo hình thoi cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau, nên:

$$OA = \dfrac{AC}{2} = \sqrt{3}, \quad OB = \dfrac{BD}{2} = 1$$

Xét $\triangle OAB$ vuông tại $O$:

$$\tan(\widehat{BAO}) = \dfrac{OB}{OA} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$$

Suy ra $\widehat{BAO} = 30°$.

Vì $AC$ là tia phân giác của $\widehat{A}$ (tính chất hình thoi) nên $\widehat{A} = 2 \times 30° = 60°$.

Tương tự: $\widehat{ABO} = 90° – 30° = 60°$, nên $\widehat{B} = 2 \times 60° = 120°$.

Mà trong hình thoi $\widehat{A} = \widehat{C}$ và $\widehat{B} = \widehat{D}$, vậy:

$$\widehat{A} = \widehat{C} = 60°, \quad \widehat{B} = \widehat{D} = 120°$$

Ví dụ 10. Cho hình thang $ABCD$ ($AD // BC$) có $AD = 16$ cm, $BC = 4$ cm và $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{ACD} = 90°$.

a) Kẻ đường cao $CE$ của tam giác $ACD$. Chứng minh $\widehat{ADC} = \widehat{ACE}$. Tính $\sin$ của các góc $\widehat{ADC}$, $\widehat{ACE}$ và suy ra $AC^2 = AE \cdot AD$. Từ đó tính $AC$.

b) Tính góc $D$ của hình thang.

Lời giải chi tiết:

Vì $\widehat{A} = \widehat{B} = 90°$ nên $AB \perp AD$ và $AB \perp BC$. Đặt hệ toạ độ: $A = (0; 0)$, $D = (16; 0)$, $B = (0; h)$, $C = (4; h)$ với $h = AB$.

Vì $\widehat{ACD} = 90°$ nên $\triangle ACD$ vuông tại $C$.

a) Trong $\triangle CDE$ vuông tại $E$: $\widehat{ADC} + \widehat{DCE} = 90°$.

Trong $\triangle ACD$ vuông tại $C$: $\widehat{ACE} + \widehat{DCE} = \widehat{ACD} = 90°$.

Suy ra: $\widehat{ADC} = \widehat{ACE}$ (cùng phụ với $\widehat{DCE}$). $\square$

Trong $\triangle ACD$ vuông tại $C$: $\sin(\widehat{ADC}) = \dfrac{AC}{AD}$.

Trong $\triangle ACE$ vuông tại $E$: $\sin(\widehat{ACE}) = \dfrac{AE}{AC}$.

Vì $\widehat{ADC} = \widehat{ACE}$ nên: $\dfrac{AC}{AD} = \dfrac{AE}{AC}$, suy ra $AC^2 = AE \cdot AD$.

$CE \perp AD$ mà $C = (4; h)$, $AD$ nằm trên trục hoành nên $E = (4; 0)$, tức $AE = 4$.

$$AC^2 = AE \cdot AD = 4 \times 16 = 64 \implies AC = 8 \text{ (cm)}$$

b) $\sin(\widehat{ADC}) = \dfrac{AC}{AD} = \dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2}$, suy ra $\widehat{D} = 30°$.

Ví dụ 11. Một người đứng tại điểm $A$, cách gương phẳng đặt trên mặt đất tại điểm $B$ là 1,2 m, nhìn thấy hình phản chiếu qua gương của ngọn cây (cây mọc thẳng đứng có gốc tại $C$, cách $B$ là 4,8 m, $B$ nằm giữa $A$ và $C$). Biết khoảng cách từ mặt đất đến mắt người đó là 1,65 m. Tính chiều cao của cây.

Lời giải chi tiết:

Gọi $D$ là vị trí mắt người (cách mặt đất 1,65 m), $E$ là ngọn cây.

Theo định luật phản xạ ánh sáng, góc tới bằng góc phản xạ, tức $\widehat{ABD} = \widehat{CBE}$.

Xét $\triangle ABD$ vuông tại $A$ ($A$ là chân người trên mặt đất):

$$\tan(\widehat{ABD}) = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{1{,}65}{1{,}2} = \dfrac{11}{8}$$

Vì $\widehat{CBE} = \widehat{ABD}$ nên $\tan(\widehat{CBE}) = \dfrac{11}{8}$.

Xét $\triangle BCE$ vuông tại $C$:

$$CE = BC \cdot \tan(\widehat{CBE}) = 4{,}8 \times \dfrac{11}{8} = 6{,}6 \text{ (m)}$$

Kết luận: Chiều cao của cây là 6,6 m.

Ví dụ 12 (Bài toán mở đầu). Giải bài toán đo chiều cao toà lâu đài với $\alpha = 27°$ và $\beta = 19°$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải chi tiết:

Gọi $P’$ là đỉnh, $P$ là chân toà lâu đài. $H$ là điểm trên đường thẳng đứng qua $P$ ngang bằng đỉnh giác kế. Khi đó chiều cao toà lâu đài: $PP’ = PH + HP’ = 1{,}6 + P’H$.

Gọi $M’$, $N’$ lần lượt là đỉnh giác kế tại vị trí $M$ và $N$.

Xét $\triangle M’P’H$ vuông tại $H$, theo Định lí 2:

$$M’H = P’H \cdot \cot \alpha$$

Xét $\triangle N’P’H$ vuông tại $H$, theo Định lí 2:

$$N’H = P’H \cdot \cot \beta$$

Mà $N’H = N’M’ + M’H = NM + M’H$, nên:

$$NM = N’H – M’H = P’H \cdot \cot \beta – P’H \cdot \cot \alpha = P’H(\cot \beta – \cot \alpha)$$

Suy ra:

$$P’H = \dfrac{NM}{\cot \beta – \cot \alpha} = \dfrac{20}{\cot 19° – \cot 27°}$$

Tính:

$$\cot 19° = \dfrac{1}{\tan 19°} \approx \dfrac{1}{0{,}3443} \approx 2{,}9042$$

$$\cot 27° = \dfrac{1}{\tan 27°} \approx \dfrac{1}{0{,}5095} \approx 1{,}9626$$

$$P’H = \dfrac{20}{2{,}9042 – 1{,}9626} = \dfrac{20}{0{,}9416} \approx 21{,}24 \text{ (m)}$$

Chiều cao toà lâu đài:

$$PP’ = 1{,}6 + 21{,}24 = 22{,}84 \text{ (m)}$$

Kết luận: Chiều cao toà lâu đài khoảng 22,84 m.

Bài tập trắc nghiệm ứng dụng thực tế:

Câu 5. Một học sinh dùng giác kế đứng cách chân cột cờ 10 m, chỉnh mặt thước ngắm ngang mắt để đo góc nâng đến đỉnh cột cờ, được $31°$. Khoảng cách từ mặt sân đến mắt là 1,5 m. Tính chiều cao cột cờ (làm tròn đến một chữ số thập phân).

A. $6{,}0$ m B. $16{,}6$ m C. $7{,}5$ m D. $5{,}0$ m

Đáp án: C.

Gọi phần cột cờ từ ngang mắt lên đỉnh là $h$. Ta có: $h = 10 \cdot \tan 31° \approx 10 \times 0{,}6009 \approx 6{,}0$ m.

Chiều cao cột cờ = $h + 1{,}5 = 6{,}0 + 1{,}5 = 7{,}5$ m.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Chọn đúng công thức: Liệt kê ba thứ trong bài: hai cái đã biết + một cái cần tìm. Chọn tỉ số lượng giác liên kết đúng ba thứ đó. Ví dụ: biết cạnh huyền, cần cạnh đối → dùng $\sin$.

Mẹo 2 — Bài toán bóng nắng luôn dùng $\tan$: Vì chiều cao và bóng là hai cạnh góc vuông, góc nắng ở giữa → $h = \text{bóng} \times \tan(\text{góc nắng})$.

Mẹo 3 — Giải tam giác vuông nhanh: Tìm góc trước, cạnh sau. Khi đã có một góc nhọn, góc kia $= 90°$ − góc đó. Sau đó dùng Định lí 1 tính cả hai cạnh cùng lúc.

Mẹo 4 — Kiểm tra bằng Pythagore: Sau khi tính xong, kiểm tra $a^2 = b^2 + c^2$ xem có khớp không (chấp nhận sai số nhỏ do làm tròn).

Tổng kết

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du