Ở các bài trước, các em đã học phép cộng, trừ và nhân đa thức. Bài này sẽ giới thiệu phép tính cuối cùng trong bộ bốn phép tính cơ bản trên đa thức: phép chia. Cụ thể, ta sẽ tìm hiểu cách chia đơn thức cho đơn thức và chia đa thức cho đơn thức trong trường hợp chia hết.

Khái niệm chia hết: Cho hai đa thức $A$ và $B$ với $B \ne 0$. Ta nói đa thức $A$ chia hết cho đa thức $B$ nếu tồn tại đa thức $Q$ sao cho $A = B \cdot Q$. Khi đó ta viết $A : B = Q$ hoặc $\dfrac{A}{B} = Q$.

1. Chia đơn thức cho đơn thức

Điều kiện chia hết

Đơn thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$ ($B \ne 0$) khi mỗi biến của $B$ đều là biến của $A$ với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong $A$.

Nói cách khác: tất cả các biến trong đơn thức chia phải xuất hiện trong đơn thức bị chia, và số mũ của từng biến trong đơn thức chia phải nhỏ hơn hoặc bằng số mũ của biến tương ứng trong đơn thức bị chia.

Quy tắc chia đơn thức cho đơn thức

Muốn chia đơn thức $A$ cho đơn thức $B$ (trường hợp chia hết), ta thực hiện:

• Chia hệ số của $A$ cho hệ số của $B$.
• Chia lũy thừa của từng biến trong $A$ cho lũy thừa của cùng biến đó trong $B$ (trừ số mũ: $x^m : x^n = x^{m-n}$).
• Nhân các kết quả tìm được với nhau.

Ví dụ: Cho đơn thức $A = 12x^3y^2z^2$.

a) $A$ có chia hết cho $B = 4x^2yz^3$ không?

Xét biến $z$: số mũ của $z$ trong $B$ là $3$, lớn hơn số mũ của $z$ trong $A$ là $2$. Vậy $A$ không chia hết cho $B$.

b) $A$ có chia hết cho $C = -3x^2yz$ không? Nếu có, tìm thương.

Xét từng biến: $x$ (mũ $2 \le 3$ ✓), $y$ (mũ $1 \le 2$ ✓), $z$ (mũ $1 \le 2$ ✓). Vậy $A$ chia hết cho $C$.

$$A : C = 12x^3y^2z^2 : (-3x^2yz)$$

$$= \dfrac{12}{-3} \cdot x^{3-2} \cdot y^{2-1} \cdot z^{2-1} = -4xyz$$

2. Chia đa thức cho đơn thức

Điều kiện chia hết

Đa thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$ nếu mọi hạng tử của $A$ đều chia hết cho $B$.

Quy tắc chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia đa thức $A$ cho đơn thức $B$, ta chia từng hạng tử của $A$ cho $B$ rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ: Thực hiện phép chia $(12x^3y^2 – 9x^2y^3 + 6x^2y) : 3x^2y$.

$$= (12x^3y^2 : 3x^2y) + (-9x^2y^3 : 3x^2y) + (6x^2y : 3x^2y)$$

$$= 4xy – 3y^2 + 2$$

Ta chia lần lượt từng hạng tử $12x^3y^2$, $-9x^2y^3$, $6x^2y$ cho $3x^2y$, rồi cộng ba kết quả lại.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Chia đơn thức cho đơn thức

Phương pháp giải:

Bước 1: Kiểm tra điều kiện chia hết — mọi biến trong đơn thức chia phải có mặt trong đơn thức bị chia, và số mũ không được lớn hơn.

Bước 2: Chia hệ số cho hệ số (xác định cả dấu).

Bước 3: Chia lũy thừa từng biến: $x^m : x^n = x^{m-n}$.

Bước 4: Nhân các kết quả lại.

Ví dụ mẫu: Trong các phép chia sau, phép chia nào không là phép chia hết? Tìm thương của các phép chia còn lại.

a) $-15x^2y^2$ chia cho $3x^2y$

Kiểm tra: biến $x$ (mũ $2 \le 2$ ✓), biến $y$ (mũ $1 \le 2$ ✓) → chia hết.

$$-15x^2y^2 : 3x^2y = \dfrac{-15}{3} \cdot x^{2-2} \cdot y^{2-1} = -5y$$

(Lưu ý: $x^{2-2} = x^0 = 1$ nên biến $x$ biến mất.)

b) $6xy$ chia cho $2yz$

Kiểm tra: đơn thức chia có biến $z$, nhưng đơn thức bị chia không có biến $z$ → không chia hết.

c) $4xy^3$ chia cho $6xy^2$

Kiểm tra: biến $x$ (mũ $1 \le 1$ ✓), biến $y$ (mũ $2 \le 3$ ✓) → chia hết.

$$4xy^3 : 6xy^2 = \dfrac{4}{6} \cdot x^{1-1} \cdot y^{3-2} = \dfrac{2}{3}y$$

Dạng 2: Chia đa thức cho đơn thức

Phương pháp giải:

Bước 1: Kiểm tra mọi hạng tử của đa thức đều chia hết cho đơn thức chia.

Bước 2: Chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức chia (áp dụng quy tắc chia đơn thức cho đơn thức).

Bước 3: Cộng tất cả kết quả lại.

Ví dụ mẫu 1: Thực hiện phép chia $(7y^5z^2 – 14y^4z^3 + 2{,}1y^3z^4) : (-7y^3z^2)$.

Lời giải chi tiết:

Chia từng hạng tử:

$$7y^5z^2 : (-7y^3z^2) = \dfrac{7}{-7} \cdot y^{5-3} \cdot z^{2-2} = -y^2$$

$$-14y^4z^3 : (-7y^3z^2) = \dfrac{-14}{-7} \cdot y^{4-3} \cdot z^{3-2} = 2yz$$

$$2{,}1y^3z^4 : (-7y^3z^2) = \dfrac{2{,}1}{-7} \cdot y^{3-3} \cdot z^{4-2} = -0{,}3z^2$$

Cộng lại:

$$= -y^2 + 2yz – 0{,}3z^2$$

Ví dụ mẫu 2: Cho đa thức $A = 9xy^4 – 12x^2y^3 + 6x^3y^2$. Xét xem $A$ có chia hết cho đơn thức $B$ hay không. Thực hiện phép chia trong trường hợp chia hết.

a) $B = 3x^2y$

Kiểm tra từng hạng tử:

• $9xy^4 : 3x^2y$ → biến $x$: mũ $2 > 1$ trong $9xy^4$ → hạng tử này không chia hết cho $B$.

Vậy $A$ không chia hết cho $B = 3x^2y$.

b) $B = -3xy^2$

Kiểm tra từng hạng tử:

• $9xy^4$: biến $x$ (mũ $1 \le 1$ ✓), biến $y$ (mũ $2 \le 4$ ✓) → chia hết ✓
• $-12x^2y^3$: biến $x$ (mũ $1 \le 2$ ✓), biến $y$ (mũ $2 \le 3$ ✓) → chia hết ✓
• $6x^3y^2$: biến $x$ (mũ $1 \le 3$ ✓), biến $y$ (mũ $2 \le 2$ ✓) → chia hết ✓

Mọi hạng tử đều chia hết → $A$ chia hết cho $B$.

$$A : B = (9xy^4 – 12x^2y^3 + 6x^3y^2) : (-3xy^2)$$

$$= \dfrac{9}{-3} \cdot y^{4-2} + \dfrac{-12}{-3} \cdot x \cdot y^{3-2} + \dfrac{6}{-3} \cdot x^2 \cdot y^{2-2}$$

$$= -3y^2 + 4xy – 2x^2$$

Dạng 3: Tìm đơn thức chưa biết trong phép chia hoặc phép nhân

Phương pháp giải:

Sử dụng mối liên hệ giữa phép nhân và phép chia:

• Nếu $A : M = B$ thì $M = A : B$.
• Nếu $M : A = B$ thì $M = A \cdot B$.
• Nếu $A \cdot M = B$ thì $M = B : A$.

Ví dụ mẫu 1: Tìm đơn thức $M$, biết rằng $\dfrac{7}{3}x^3y^2 : M = 7xy^2$.

Lời giải chi tiết:

Từ $\dfrac{7}{3}x^3y^2 : M = 7xy^2$, suy ra:

$$M = \dfrac{7}{3}x^3y^2 : 7xy^2$$

$$= \dfrac{7/3}{7} \cdot x^{3-1} \cdot y^{2-2}$$

$$= \dfrac{1}{3} \cdot x^2 \cdot 1 = \dfrac{1}{3}x^2$$

Ví dụ mẫu 2: Tìm đơn thức $N$ sao cho $N : 0{,}5xy^2z = -xy$.

Lời giải chi tiết:

Từ $N : 0{,}5xy^2z = -xy$, suy ra:

$$N = (-xy) \cdot 0{,}5xy^2z$$

$$= (-1) \cdot 0{,}5 \cdot (x \cdot x)(y \cdot y^2) \cdot z$$

$$= -0{,}5x^2y^3z$$

Ví dụ mẫu 3: Tìm đa thức $A$ sao cho $A \cdot (-3xy) = 9x^3y + 3xy^3 – 6x^2y^2$.

Lời giải chi tiết:

Từ $A \cdot (-3xy) = 9x^3y + 3xy^3 – 6x^2y^2$, suy ra:

$$A = (9x^3y + 3xy^3 – 6x^2y^2) : (-3xy)$$

Chia từng hạng tử:

$$9x^3y : (-3xy) = -3x^2$$

$$3xy^3 : (-3xy) = -y^2$$

$$-6x^2y^2 : (-3xy) = 2xy$$

Cộng lại:

$$A = -3x^2 – y^2 + 2xy$$

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh bài toán chia đa thức

Mẹo 1 — Kiểm tra chia hết nhanh: Nhìn vào đơn thức chia, liệt kê tất cả biến và số mũ của nó. Sau đó đối chiếu với từng hạng tử của đa thức bị chia. Nếu có bất kỳ hạng tử nào không đủ biến hoặc số mũ nhỏ hơn → không chia hết.

Mẹo 2 — Chia hệ số trước: Xác định dấu và giá trị hệ số trước, rồi mới xử lý phần biến. Tách riêng hai phần giúp tránh nhầm.

Mẹo 3 — Kiểm tra kết quả bằng phép nhân ngược: Sau khi chia xong, lấy thương nhân với đơn thức chia, nếu ra đúng đa thức ban đầu thì kết quả đúng. Đây là cách kiểm tra nhanh và chắc chắn nhất.

Mẹo 4 — Tìm đơn thức chưa biết: Luôn xác định rõ quan hệ: $A : M = B \Rightarrow M = A : B$; $M : A = B \Rightarrow M = A \cdot B$; $A \cdot M = B \Rightarrow M = B : A$. Viết rõ công thức trước khi tính.

Tổng kết

Qua Bài 5, các em cần ghi nhớ:

Chia đơn thức cho đơn thức (trường hợp chia hết): Chia hệ số cho hệ số, trừ số mũ từng biến tương ứng, rồi nhân kết quả lại. Điều kiện chia hết: mọi biến trong đơn thức chia phải có trong đơn thức bị chia với số mũ không lớn hơn.

Chia đa thức cho đơn thức (trường hợp chia hết): Chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức, rồi cộng các kết quả lại. Điều kiện: mọi hạng tử của đa thức đều chia hết cho đơn thức chia.

Nắm vững phép chia đa thức cho đơn thức sẽ giúp các em giải quyết tốt các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn phân thức ở những chương tiếp theo.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du