Bài 23 trang bị cho các em hai phép tính cơ bản nhất trên phân thức: cộng và trừ. Quy tắc hoàn toàn tương tự phân số: cùng mẫu thì cộng/trừ tử giữ nguyên mẫu, khác mẫu thì quy đồng trước rồi cộng/trừ. Bên cạnh đó, bài còn giới thiệu tính chất giao hoán, kết hợp và quy tắc dấu ngoặc — giúp rút gọn nhanh các biểu thức phức tạp mà không cần quy đồng toàn bộ.

1. Cộng hai phân thức cùng mẫu

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức:

$$\dfrac{A}{M} + \dfrac{B}{M} = \dfrac{A + B}{M}$$

Chú ý: Kết quả thường viết dưới dạng rút gọn.

Ví dụ: Cộng $\dfrac{3x^2}{x – 2}$ và $\dfrac{8 – 6x}{x – 2}$.

$$\dfrac{3x^2}{x – 2} + \dfrac{8 – 6x}{x – 2} = \dfrac{3x^2 + 8 – 6x}{x – 2} = \dfrac{3(x^2 – 2x + \frac{8}{3})}{x – 2}$$

Thử phân tích: $3x^2 – 6x + 8$ — không phân tích được nhân tử đẹp. Ta kiểm tra lại ví dụ SGK: $\dfrac{5x^2}{x-1} + \dfrac{5 – 10x}{x-1} = \dfrac{5x^2 + 5 – 10x}{x-1} = \dfrac{5(x-1)^2}{x-1} = 5(x-1)$.

2. Cộng hai phân thức khác mẫu

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Ví dụ: Tính $\dfrac{7}{x} + \dfrac{2}{1 – x}$.

MTC = $x(1 – x)$.

$$\dfrac{7}{x} + \dfrac{2}{1 – x} = \dfrac{7(1 – x)}{x(1 – x)} + \dfrac{2x}{x(1 – x)} = \dfrac{7(1 – x) + 2x}{x(1 – x)} = \dfrac{7 – 5x}{x(1 – x)}$$

3. Trừ hai phân thức

Quy tắc:

Muốn trừ hai phân thức cùng mẫu, ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức.

Muốn trừ hai phân thức khác mẫu, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

$$\dfrac{A}{M} – \dfrac{B}{M} = \dfrac{A – B}{M}$$

Phân thức đối: $\dfrac{-C}{D}$ gọi là phân thức đối của $\dfrac{C}{D}$, kí hiệu $-\dfrac{C}{D}$. Tổng của một phân thức và phân thức đối của nó bằng 0.

Chú ý: Ta có thể chuyển phép trừ phân thức thành phép cộng: $\dfrac{A}{B} – \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} + \dfrac{-C}{D}$.

Ví dụ: Tính $\dfrac{3x + 1}{x} – \dfrac{y – 2}{y}$.

$$\dfrac{3x + 1}{x} – \dfrac{y – 2}{y} = \dfrac{(3x+1)y}{xy} – \dfrac{x(y-2)}{xy} = \dfrac{(3x+1)y – x(y-2)}{xy} = \dfrac{2xy + y + 2x}{xy}$$

4. Cộng, trừ nhiều phân thức đại số

Tính chất giao hoán, kết hợp

Phép cộng phân thức có các tính chất giao hoán và kết hợp, tương tự phép cộng phân số. Vì vậy, khi tính biểu thức chỉ gồm cộng/trừ phân thức, ta có thể đổi chỗ và nhóm các hạng tử tùy ý (kèm theo dấu của nó).

Ví dụ: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} – \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 0 + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{y}$.

Quy tắc dấu ngoặc

Nếu trước dấu ngoặc có dấu “+” thì bỏ dấu ngoặc và giữ nguyên các số hạng.

Nếu trước dấu ngoặc có dấu “–” thì bỏ dấu ngoặc và đổi dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc.

Ví dụ: Rút gọn $P = \dfrac{2}{3x+1} + \left[\dfrac{4}{5x-1} – \left(\dfrac{4}{5x-1} + \dfrac{2}{3x+1}\right)\right]$.

$$P = \dfrac{2}{3x+1} + \left[\dfrac{4}{5x-1} – \dfrac{4}{5x-1} – \dfrac{2}{3x+1}\right]$$

$$= \dfrac{2}{3x+1} + \dfrac{4}{5x-1} – \dfrac{4}{5x-1} – \dfrac{2}{3x+1}$$

$$= \left(\dfrac{2}{3x+1} – \dfrac{2}{3x+1}\right) + \left(\dfrac{4}{5x-1} – \dfrac{4}{5x-1}\right) = 0$$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Cộng, trừ hai phân thức

Phương pháp giải:

Cùng mẫu: Cộng (hoặc trừ) các tử, giữ nguyên mẫu, rồi rút gọn kết quả.

Khác mẫu — mẫu đối nhau: Dùng quy tắc đổi dấu ($a – b = -(b – a)$) để đưa về cùng mẫu trước, rồi cộng/trừ.

Khác mẫu — cần quy đồng: Phân tích mẫu thành nhân tử → tìm MTC → tìm nhân tử phụ → nhân tử mẫu → cộng/trừ tử → rút gọn.

Lưu ý quan trọng: Khi trừ phân thức, nhớ đặt ngoặc cho tử phân thức bị trừ: $A – (B + C) = A – B – C$.

Ví dụ mẫu 1 (BT 6.20a — cùng mẫu): Tính $\dfrac{x^2 – 3x + 1}{2x^2} + \dfrac{5x – 1 – x^2}{2x^2}$.

Lời giải chi tiết:

Hai phân thức cùng mẫu $2x^2$. Cộng các tử:

$$\dfrac{x^2 – 3x + 1 + 5x – 1 – x^2}{2x^2} = \dfrac{2x}{2x^2} = \dfrac{1}{x}$$

Ví dụ mẫu 2 (BT 6.20c — mẫu đối nhau): Tính $\dfrac{x}{2x – 6} + \dfrac{9}{2x(3 – x)}$.

Lời giải chi tiết:

Phân tích mẫu: $2x – 6 = 2(x – 3)$; $2x(3 – x) = 2x \cdot (-(x – 3)) = -2x(x – 3)$.

Đổi dấu phân thức thứ hai:

$$\dfrac{9}{2x(3 – x)} = \dfrac{9}{-2x(x – 3)} = \dfrac{-9}{2x(x – 3)}$$

MTC $= 2x(x – 3)$. Nhân tử phụ: phân thức 1 cần nhân $x$, phân thức 2 đã có mẫu MTC.

$$\dfrac{x \cdot x}{2x(x – 3)} + \dfrac{-9}{2x(x – 3)} = \dfrac{x^2 – 9}{2x(x – 3)} = \dfrac{(x-3)(x+3)}{2x(x-3)} = \dfrac{x + 3}{2x}$$

Ví dụ mẫu 3 (BT 6.21c — quy đồng): Tính $\dfrac{3}{x + 1} – \dfrac{2 + 3x}{x^3 + 1}$.

Lời giải chi tiết:

Phân tích mẫu: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 – x + 1)$.

MTC $= (x + 1)(x^2 – x + 1)$. Nhân tử phụ phân thức 1: $x^2 – x + 1$.

$$\dfrac{3(x^2 – x + 1)}{(x+1)(x^2-x+1)} – \dfrac{2 + 3x}{(x+1)(x^2-x+1)}$$

$$= \dfrac{3x^2 – 3x + 3 – (2 + 3x)}{(x+1)(x^2-x+1)} = \dfrac{3x^2 – 6x + 1}{(x+1)(x^2-x+1)}$$

Dạng 2: Cộng, trừ nhiều phân thức – tính chất giao hoán, kết hợp, dấu ngoặc

Phương pháp giải:

Bước 1: Nếu có dấu ngoặc → bỏ ngoặc theo quy tắc (dấu “+” giữ nguyên, dấu “–” đổi dấu).

Bước 2: Quan sát xem có những phân thức nào triệt tiêu nhau không (phân thức + phân thức đối = 0). Dùng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm chúng lại.

Bước 3: Tính phần còn lại (thường rất đơn giản sau khi triệt tiêu).

Mẹo: Trước khi quy đồng, luôn quan sát xem có phân thức nào triệt tiêu nhau không. Điều này giúp tiết kiệm rất nhiều thời gian.

Ví dụ mẫu 1 (BT 6.22a): Tính $\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{3}{x+2} – \dfrac{1}{x} – \dfrac{2}{x-1} – \dfrac{3}{x+2}$.

Lời giải chi tiết:

Nhóm các phân thức triệt tiêu:

$$= \left(\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{x}\right) + \left(\dfrac{3}{x+2} – \dfrac{3}{x+2}\right) + \dfrac{2}{x+1} – \dfrac{2}{x-1}$$

$$= 0 + 0 + \dfrac{2}{x+1} – \dfrac{2}{x-1}$$

$$= \dfrac{2(x-1) – 2(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{2x – 2 – 2x – 2}{x^2 – 1} = \dfrac{-4}{x^2 – 1}$$

Ví dụ mẫu 2 (BT 6.23b): Rút gọn:

$$\dfrac{x}{x^2+1} – \left(\dfrac{3}{x+6} + \dfrac{x-2}{x+4}\right) + \left[\dfrac{3}{x+6} – \left(\dfrac{1}{x^2+1} – \dfrac{x-2}{x+4}\right)\right]$$

Lời giải chi tiết:

Bỏ ngoặc (ngoặc tròn trước dấu “–” → đổi dấu; ngoặc vuông trước dấu “+” → giữ nguyên; ngoặc tròn trong ngoặc vuông trước dấu “–” → đổi dấu):

$$= \dfrac{x}{x^2+1} – \dfrac{3}{x+6} – \dfrac{x-2}{x+4} + \dfrac{3}{x+6} – \dfrac{1}{x^2+1} + \dfrac{x-2}{x+4}$$

Nhóm các phân thức triệt tiêu:

$$= \left(\dfrac{x}{x^2+1} – \dfrac{1}{x^2+1}\right) + \left(-\dfrac{3}{x+6} + \dfrac{3}{x+6}\right) + \left(-\dfrac{x-2}{x+4} + \dfrac{x-2}{x+4}\right)$$

$$= \dfrac{x – 1}{x^2 + 1} + 0 + 0 = \dfrac{x – 1}{x^2 + 1}$$

Dạng 3: Rút gọn biểu thức phân thức rồi tính giá trị, tìm $x$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm ĐKXĐ (cho tất cả mẫu $\neq 0$).

Bước 2: Quy đồng tất cả phân thức về cùng mẫu, cộng/trừ tử, rút gọn.

Bước 3: Tính giá trị (thay $x$ vào, kiểm tra ĐKXĐ) hoặc giải phương trình tìm $x$ (kiểm tra ĐKXĐ, loại nghiệm ngoại lai).

Ví dụ mẫu 1 (Bài 11 giáo án): Cho $A = \dfrac{2x}{x + 3} + \dfrac{x + 1}{x – 3} + \dfrac{3 – 11x}{9 – x^2}$.

a) Rút gọn $A$ với $x \neq \pm 3$.

b) Tính giá trị $A$ khi $x = 5$.

c) Tìm giá trị nguyên của $x$ để $A$ nguyên.

Lời giải chi tiết:

a) ĐKXĐ: $x \neq \pm 3$.

Nhận xét: $9 – x^2 = -(x^2 – 9) = -(x-3)(x+3)$. Nên $\dfrac{3 – 11x}{9 – x^2} = \dfrac{3 – 11x}{-(x-3)(x+3)} = \dfrac{11x – 3}{(x-3)(x+3)}$.

MTC $= (x + 3)(x – 3)$.

$$A = \dfrac{2x(x-3)}{(x+3)(x-3)} + \dfrac{(x+1)(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \dfrac{11x – 3}{(x-3)(x+3)}$$

Cộng các tử:

$$= \dfrac{2x(x-3) + (x+1)(x+3) + 11x – 3}{(x+3)(x-3)}$$

Khai triển tử:

• $2x(x-3) = 2x^2 – 6x$.
• $(x+1)(x+3) = x^2 + 4x + 3$.
• Tổng tử: $2x^2 – 6x + x^2 + 4x + 3 + 11x – 3 = 3x^2 + 9x = 3x(x + 3)$.

$$A = \dfrac{3x(x + 3)}{(x + 3)(x – 3)} = \dfrac{3x}{x – 3}$$

b) Tại $x = 5$: $A = \dfrac{3 \cdot 5}{5 – 3} = \dfrac{15}{2}$.

c) $A = \dfrac{3x}{x – 3} = \dfrac{3(x – 3) + 9}{x – 3} = 3 + \dfrac{9}{x – 3}$.

Để $A$ nguyên thì $\dfrac{9}{x – 3}$ nguyên, tức $(x – 3)$ là ước của 9.

Ước của 9: $\pm 1, \pm 3, \pm 9$.

$x – 3 = 1 \Rightarrow x = 4$; $x – 3 = -1 \Rightarrow x = 2$; $x – 3 = 3 \Rightarrow x = 6$; $x – 3 = -3 \Rightarrow x = 0$; $x – 3 = 9 \Rightarrow x = 12$; $x – 3 = -9 \Rightarrow x = -6$.

Kiểm tra ĐKXĐ ($x \neq \pm 3$): tất cả đều thỏa mãn.

Vậy $x \in {-6; 0; 2; 4; 6; 12}$.

Ví dụ mẫu 2 (Bài 12 giáo án): Cho $A = \dfrac{x – 2}{x + 2} + \dfrac{x}{2 – x} + \dfrac{8}{x^2 – 4}$.

a) Rút gọn $A$ với $x \neq \pm 2$.

b) Tìm $x$ để $A < 0$.

Lời giải chi tiết:

a) ĐKXĐ: $x \neq \pm 2$.

Đổi dấu: $\dfrac{x}{2 – x} = \dfrac{-x}{x – 2}$.

MTC $= (x + 2)(x – 2)$.

$$A = \dfrac{(x-2)(x-2)}{(x+2)(x-2)} + \dfrac{-x(x+2)}{(x-2)(x+2)} + \dfrac{8}{(x+2)(x-2)}$$

Tử:

• $(x-2)^2 = x^2 – 4x + 4$.
• $-x(x+2) = -x^2 – 2x$.
• Tổng: $x^2 – 4x + 4 – x^2 – 2x + 8 = -6x + 12 = -6(x – 2)$.

$$A = \dfrac{-6(x – 2)}{(x + 2)(x – 2)} = \dfrac{-6}{x + 2}$$

b) $A < 0 \Leftrightarrow \dfrac{-6}{x + 2} < 0$.

Vì $-6 < 0$, nên $\dfrac{-6}{x + 2} < 0$ khi $x + 2 > 0$, tức $x > -2$ (và $x \neq 2$).

Vậy $A < 0$ khi $x > -2$ và $x \neq 2$.

Dạng 4: Bài toán ứng dụng thực tế

Phương pháp giải:

Bước 1: Đọc đề, gán biến, viết các phân thức biểu thị đại lượng cần tìm (thường là thời gian = quãng đường / vận tốc).

Bước 2: Cộng các phân thức để tìm tổng.

Bước 3: Thay giá trị cụ thể (nếu có) để tính kết quả.

Ví dụ mẫu (BT 6.25): Một tàu du lịch chạy xuôi dòng 15 km, sau đó quay ngược lại để trở về điểm xuất phát. Vận tốc tàu khi nước yên lặng là 10 km/h, vận tốc dòng nước là $x$ (km/h).

a) Viết phân thức biểu thị thời gian xuôi dòng, ngược dòng và tổng thời gian.

b) Tính tổng thời gian khi $x = 2$ km/h.

Lời giải chi tiết:

a) Vận tốc xuôi dòng: $10 + x$ (km/h). Vận tốc ngược dòng: $10 – x$ (km/h).

Thời gian xuôi dòng: $\dfrac{15}{10 + x}$ (giờ).

Thời gian ngược dòng: $\dfrac{15}{10 – x}$ (giờ).

Tổng thời gian:

$$T = \dfrac{15}{10 + x} + \dfrac{15}{10 – x}$$

Quy đồng (MTC $= (10 + x)(10 – x)$):

$$T = \dfrac{15(10 – x) + 15(10 + x)}{(10 + x)(10 – x)} = \dfrac{150 – 15x + 150 + 15x}{100 – x^2} = \dfrac{300}{100 – x^2}$$

b) Tại $x = 2$:

$$T = \dfrac{300}{100 – 4} = \dfrac{300}{96} = \dfrac{25}{8} = 3{,}125 \text{ (giờ)} = 3 \text{ giờ } 7{,}5 \text{ phút}$$

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Quan sát trước khi quy đồng: Với biểu thức nhiều phân thức, quan sát xem có phân thức nào triệt tiêu nhau không (dùng tính chất giao hoán, kết hợp). Nhiều bài BT 6.22, 6.23 rút gọn ngay về 0 hoặc rất đơn giản mà không cần quy đồng.

Mẹo 2 — Bỏ ngoặc đúng cách: Dấu “–” trước ngoặc → đổi dấu TẤT CẢ hạng tử bên trong. Đây là nguồn lỗi phổ biến nhất.

Mẹo 3 — Tìm $x$ nguyên để phân thức nguyên: Sau khi rút gọn $\dfrac{A}{B}$, chia $A$ cho $B$ để viết dạng $\dfrac{A}{B} = q + \dfrac{r}{B}$ (với $q$ nguyên, $r$ là số nguyên). Phân thức nguyên ⟺ $B$ là ước của $r$.

Mẹo 4 — Kiểm tra nhanh bằng thay số: Sau khi rút gọn, thay một giá trị $x$ cụ thể vào cả biểu thức gốc lẫn kết quả. Nếu bằng nhau → đúng.

Tổng kết

Qua Bài 23, các em cần nắm vững:

Cộng/trừ cùng mẫu: Cộng (trừ) tử, giữ nguyên mẫu, rút gọn kết quả.

Cộng/trừ khác mẫu: Quy đồng mẫu thức trước rồi cộng/trừ. Chú ý đổi dấu khi gặp mẫu đối nhau.

Phân thức đối: $-\dfrac{C}{D} = \dfrac{-C}{D}$. Phép trừ = cộng với phân thức đối.

Tính chất giao hoán, kết hợp và quy tắc dấu ngoặc: Giúp đổi chỗ, nhóm và triệt tiêu các phân thức — rút gọn nhanh biểu thức phức tạp.

Bốn dạng bài tập cốt lõi: cộng/trừ hai phân thức (cùng mẫu, đổi dấu, quy đồng), rút gọn biểu thức nhiều phân thức bằng tính chất giao hoán và dấu ngoặc, rút gọn rồi tính giá trị hoặc tìm $x$, và bài toán ứng dụng thực tế. Đây là dạng bài trọng tâm, xuất hiện rất nhiều trong kiểm tra và thi.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du