Trong các bài trước, các em đã biết cách cộng và trừ đa thức. Bài này sẽ giới thiệu phép tính tiếp theo: phép nhân đa thức. Phép nhân đa thức được ứng dụng rất nhiều, chẳng hạn khi tính diện tích hình chữ nhật mà hai cạnh được biểu thị bởi hai đa thức, hay khi rút gọn và biến đổi các biểu thức đại số phức tạp.

1. Nhân đơn thức với đa thức

Nhân hai đơn thức

Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau, rồi nhân các biến giống nhau bằng cách cộng số mũ lại.

Muốn nhân hai đơn thức, ta nối hai đơn thức với nhau bởi dấu nhân rồi bỏ dấu ngoặc (nếu có) và thu gọn đơn thức nhận được.

Ví dụ: Thực hiện phép nhân $\left(-\dfrac{1}{2}xy^2\right) \cdot (6x^3yz)$.

$$\left(-\dfrac{1}{2}xy^2\right) \cdot (6x^3yz) = \left(-\dfrac{1}{2}\right) \cdot 6 \cdot (xy^2)(x^3yz)$$

$$= (-3) \cdot x^{1+3} \cdot y^{2+1} \cdot z = -3x^4y^3z$$

Nhân đơn thức với đa thức

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Tích của một đơn thức với một đa thức cũng là một đa thức.

Ví dụ: Thực hiện phép nhân $(-3xy) \cdot (x^2 + 2xy – y^2)$.

$$(-3xy)(x^2 + 2xy – y^2)$$

$$= (-3xy)(x^2) + (-3xy)(2xy) + (-3xy)(-y^2)$$

$$= -3x^3y + (-6x^2y^2) + 3xy^3$$

$$= -3x^3y – 6x^2y^2 + 3xy^3$$

Ta nhân $-3xy$ lần lượt với từng hạng tử $x^2$, $2xy$, $-y^2$ rồi cộng kết quả lại. Chú ý dấu của từng tích: âm nhân âm cho dương.

2. Nhân đa thức với đa thức

Quy tắc nhân hai đa thức

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau.

Nói cách khác, nếu đa thức thứ nhất có $m$ hạng tử và đa thức thứ hai có $n$ hạng tử, ta sẽ có $m \times n$ tích thành phần, sau đó cộng tất cả lại và thu gọn.

Ví dụ: Thực hiện phép nhân $(x + 2y + 3)(x + y)$.

$$= x \cdot x + x \cdot y + 2y \cdot x + 2y \cdot y + 3 \cdot x + 3 \cdot y$$

$$= x^2 + xy + 2xy + 2y^2 + 3x + 3y$$

$$= x^2 + 3xy + 2y^2 + 3x + 3y$$

Kết quả cũng là một đa thức.

Tính chất của phép nhân đa thức

Phép nhân đa thức có các tính chất tương tự phép nhân các số:

• Giao hoán: $A \cdot B = B \cdot A$
• Kết hợp: $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$
• Phân phối đối với phép cộng: $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$

Với $A$, $B$, $C$ là những đa thức tùy ý thì: $A \cdot B \cdot C = (A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhân hai đơn thức

Phương pháp giải:

Bước 1: Nhân các hệ số (phần số) với nhau. Xác định dấu của kết quả.

Bước 2: Nhân các biến giống nhau bằng cách cộng số mũ: $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$.

Bước 3: Viết đơn thức thu gọn (hệ số trước, biến theo thứ tự bảng chữ cái).

Ví dụ mẫu: Nhân hai đơn thức:

a) $5x^2y$ và $2xy^2$

$$5x^2y \cdot 2xy^2 = (5 \cdot 2)(x^2 \cdot x)(y \cdot y^2) = 10x^3y^3$$

b) $\dfrac{3}{4}xy$ và $8x^3y^2$

$$\dfrac{3}{4}xy \cdot 8x^3y^2 = \left(\dfrac{3}{4} \cdot 8\right)(x \cdot x^3)(y \cdot y^2) = 6x^4y^3$$

c) $1{,}5xy^2z^3$ và $2x^3y^2z$

$$1{,}5xy^2z^3 \cdot 2x^3y^2z = (1{,}5 \cdot 2)(x \cdot x^3)(y^2 \cdot y^2)(z^3 \cdot z) = 3x^4y^4z^4$$

Dạng 2: Nhân đơn thức với đa thức

Phương pháp giải:

Bước 1: Nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức (áp dụng quy tắc nhân hai đơn thức cho mỗi lần nhân).

Bước 2: Cộng tất cả các tích lại. Chú ý xác định đúng dấu từng tích.

Bước 3: Thu gọn nếu có các hạng tử đồng dạng.

Ví dụ mẫu 1: Tìm tích của đơn thức với đa thức.

a) $(-0{,}5)xy^2(2xy – x^2 + 4y)$

Lời giải chi tiết:

Nhân $(-0{,}5)xy^2$ lần lượt với từng hạng tử:

$$(-0{,}5)xy^2 \cdot 2xy = -x^2y^3$$

$$(-0{,}5)xy^2 \cdot (-x^2) = 0{,}5x^3y^2$$

$$(-0{,}5)xy^2 \cdot 4y = -2xy^3$$

Cộng lại:

$$= -x^2y^3 + 0{,}5x^3y^2 – 2xy^3$$

b) $\left(x^3y – \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}xy\right) \cdot 6xy^3$

Lời giải chi tiết:

Nhân $6xy^3$ lần lượt với từng hạng tử:

$$x^3y \cdot 6xy^3 = 6x^4y^4$$

$$\left(-\dfrac{1}{2}x^2\right) \cdot 6xy^3 = -3x^3y^3$$

$$\dfrac{1}{3}xy \cdot 6xy^3 = 2x^2y^4$$

Cộng lại:

$$= 6x^4y^4 – 3x^3y^3 + 2x^2y^4$$

Dạng 3: Nhân đa thức với đa thức

Phương pháp giải:

Bước 1: Nhân mỗi hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai.

Bước 2: Cộng tất cả các tích thành phần lại.

Bước 3: Nhóm các hạng tử đồng dạng và thu gọn.

Ví dụ mẫu 1: Làm tính nhân.

a) $(x^2 – xy + 1)(xy + 3)$

Lời giải chi tiết:

Nhân từng hạng tử của $(x^2 – xy + 1)$ với từng hạng tử của $(xy + 3)$:

$$= x^2 \cdot xy + x^2 \cdot 3 + (-xy) \cdot xy + (-xy) \cdot 3 + 1 \cdot xy + 1 \cdot 3$$

$$= x^3y + 3x^2 – x^2y^2 – 3xy + xy + 3$$

Thu gọn (nhóm $-3xy$ và $xy$):

$$= x^3y + 3x^2 – x^2y^2 – 2xy + 3$$

b) $\left(x^2y^2 – \dfrac{1}{2}xy + 2\right)(x – 2y)$

Lời giải chi tiết:

$$= x^2y^2 \cdot x + x^2y^2 \cdot (-2y) + \left(-\dfrac{1}{2}xy\right) \cdot x + \left(-\dfrac{1}{2}xy\right) \cdot (-2y) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-2y)$$

$$= x^3y^2 – 2x^2y^3 – \dfrac{1}{2}x^2y + xy^2 + 2x – 4y$$

Không có hạng tử đồng dạng nên đây chính là kết quả thu gọn.

Dạng 4: Rút gọn biểu thức có sử dụng phép nhân đa thức

Phương pháp giải:

Bước 1: Thực hiện từng phép nhân (đơn thức với đa thức, hoặc đa thức với đa thức) trong biểu thức.

Bước 2: Bỏ dấu ngoặc (chú ý dấu trước ngoặc).

Bước 3: Nhóm các hạng tử đồng dạng và thu gọn.

Bước 4: Thay giá trị (nếu đề yêu cầu tính giá trị).

Ví dụ mẫu 1: Rút gọn biểu thức $x(x^2 – y) – x^2(x + y) + xy(x – 1)$.

Lời giải chi tiết:

Thực hiện từng phép nhân:

$$x(x^2 – y) = x^3 – xy$$

$$x^2(x + y) = x^3 + x^2y$$

$$xy(x – 1) = x^2y – xy$$

Ghép lại (chú ý dấu trước mỗi tích):

$$= (x^3 – xy) – (x^3 + x^2y) + (x^2y – xy)$$

$$= x^3 – xy – x^3 – x^2y + x^2y – xy$$

Thu gọn:

$$= (x^3 – x^3) + (-x^2y + x^2y) + (-xy – xy)$$

$$= -2xy$$

Ví dụ mẫu 2: Rút gọn biểu thức $(x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7$ để thấy giá trị của nó không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Lời giải chi tiết:

Thực hiện phép nhân thứ nhất:

$$(x – 5)(2x + 3) = 2x^2 + 3x – 10x – 15 = 2x^2 – 7x – 15$$

Thực hiện phép nhân thứ hai:

$$2x(x – 3) = 2x^2 – 6x$$

Ghép lại:

$$= (2x^2 – 7x – 15) – (2x^2 – 6x) + x + 7$$

$$= 2x^2 – 7x – 15 – 2x^2 + 6x + x + 7$$

Thu gọn:

$$= (2x^2 – 2x^2) + (-7x + 6x + x) + (-15 + 7)$$

$$= 0 + 0 – 8 = -8$$

Vậy giá trị của biểu thức luôn bằng $-8$, không phụ thuộc vào giá trị của biến $x$.

Dạng 5: Chứng minh đẳng thức và biểu thức không phụ thuộc vào biến

Phương pháp giải:

Chứng minh đẳng thức: Biến đổi một vế (hoặc cả hai vế) để chúng bằng nhau. Thường biến đổi vế phức tạp hơn về dạng đơn giản hơn.

Chứng minh không phụ thuộc biến: Rút gọn biểu thức, nếu kết quả là một hằng số (không chứa biến) thì biểu thức không phụ thuộc vào biến.

Chứng minh chia hết: Rút gọn biểu thức, phân tích kết quả thành tích có chứa thừa số cần chia hết.

Ví dụ mẫu 1: Chứng minh đẳng thức:

$$(2x + y)(2x^2 + xy – y^2) = (2x – y)(2x^2 + 3xy + y^2)$$

Lời giải chi tiết:

Biến đổi vế trái (VT):

$$(2x + y)(2x^2 + xy – y^2)$$

$$= 2x \cdot 2x^2 + 2x \cdot xy + 2x \cdot (-y^2) + y \cdot 2x^2 + y \cdot xy + y \cdot (-y^2)$$

$$= 4x^3 + 2x^2y – 2xy^2 + 2x^2y + xy^2 – y^3$$

$$= 4x^3 + 4x^2y – xy^2 – y^3$$

Biến đổi vế phải (VP):

$$(2x – y)(2x^2 + 3xy + y^2)$$

$$= 2x \cdot 2x^2 + 2x \cdot 3xy + 2x \cdot y^2 + (-y) \cdot 2x^2 + (-y) \cdot 3xy + (-y) \cdot y^2$$

$$= 4x^3 + 6x^2y + 2xy^2 – 2x^2y – 3xy^2 – y^3$$

$$= 4x^3 + 4x^2y – xy^2 – y^3$$

Ta thấy $VT = VP = 4x^3 + 4x^2y – xy^2 – y^3$. Vậy đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ mẫu 2: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến:

$$A = x(x^2 + x + 1) – x^2(x + 1) – x + 5$$

Lời giải chi tiết:

Khai triển:

$$x(x^2 + x + 1) = x^3 + x^2 + x$$

$$x^2(x + 1) = x^3 + x^2$$

Ghép lại:

$$A = (x^3 + x^2 + x) – (x^3 + x^2) – x + 5$$

$$= x^3 + x^2 + x – x^3 – x^2 – x + 5$$

$$= (x^3 – x^3) + (x^2 – x^2) + (x – x) + 5 = 5$$

Vậy $A = 5$ với mọi giá trị của $x$, tức là giá trị của $A$ không phụ thuộc vào biến.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh bài toán nhân đa thức

Mẹo 1 — Đếm số hạng tử trước: Nếu đa thức thứ nhất có $m$ hạng tử, đa thức thứ hai có $n$ hạng tử thì phải có đúng $m \times n$ tích thành phần. Đếm lại để chắc chắn không bỏ sót.

Mẹo 2 — Xác định dấu riêng: Khi nhân hai đơn thức, xác định dấu trước ($+ \times + = +$, $- \times – = +$, $+ \times – = -$), rồi mới tính phần số và phần biến. Tách riêng sẽ ít sai hơn.

Mẹo 3 — Rút gọn trước khi tính giá trị: Nếu đề yêu cầu tính giá trị, luôn rút gọn biểu thức trước, rồi mới thay số. Đa số bài tập được thiết kế để rút gọn thành dạng rất đơn giản.

Mẹo 4 — Chứng minh không phụ thuộc biến: Nếu đề bảo chứng minh biểu thức không phụ thuộc biến, nghĩa là sau khi rút gọn kết quả phải là một hằng số. Nếu vẫn còn biến, kiểm tra lại phép tính.

Tổng kết

Qua Bài 4, các em cần nắm vững:

Nhân hai đơn thức: Nhân hệ số với nhau, nhân biến cùng loại bằng cách cộng số mũ.

Nhân đơn thức với đa thức: Nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức, rồi cộng các tích lại. Kết quả cũng là một đa thức.

Nhân đa thức với đa thức: Nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia, rồi cộng tất cả kết quả lại và thu gọn. Phép nhân đa thức có tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối đối với phép cộng.

Kỹ năng nhân đa thức là nền tảng quan trọng cho các bài học tiếp theo về hằng đẳng thức đáng nhớ và phân tích đa thức thành nhân tử.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du