Bài toán mở đầu

Trên một mảnh đất hình chữ nhật có kích thước 28 m × 16 m, người ta dự định làm một bể bơi có đường đi xung quanh. Hỏi bề rộng của đường đi là bao nhiêu để diện tích của bể bơi là 288 m²?

Gọi $x$ (m) là bề rộng đường đi ($0 < x < 8$). Khi đó bể bơi có chiều dài $28 – 2x$ và chiều rộng $16 – 2x$. Diện tích bể bơi bằng 288 m² nên:

$$(28 – 2x)(16 – 2x) = 288$$

Khai triển: $4x^2 – 88x + 448 = 288$, tức $4x^2 – 88x + 160 = 0$, hay $x^2 – 22x + 40 = 0$.

Đây là một phương trình bậc hai một ẩn. Để giải được bài toán, ta cần học cách giải loại phương trình này.

1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

trong đó $x$ là ẩn; $a$, $b$, $c$ là các hệ số ($a$, $b$, $c$ là những số cho trước) và $a \neq 0$.

Trong phương trình $ax^2 + bx + c = 0$:

• $a$ là hệ số bậc hai (hệ số của $x^2$), bắt buộc $a \neq 0$.
• $b$ là hệ số bậc nhất (hệ số của $x$), có thể bằng 0.
• $c$ là hệ số tự do (số hạng không chứa $x$), có thể bằng 0.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai ẩn $x$? Chỉ rõ các hệ số $a$, $b$, $c$.

a) $3x^2 – 5x + 2 = 0$   b) $x^2 – 7 = 0$   c) $\left(\dfrac{1}{x}\right)^2 + 2 \cdot \dfrac{1}{x} + 3 = 0$   d) $-4x^2 = 0$

Giải:

a) $3x^2 – 5x + 2 = 0$ là phương trình bậc hai với $a = 3$, $b = -5$, $c = 2$.

b) $x^2 – 7 = 0$ là phương trình bậc hai ẩn $x$ với $a = 1$, $b = 0$, $c = -7$.

c) $\left(\dfrac{1}{x}\right)^2 + 2 \cdot \dfrac{1}{x} + 3 = 0$ không phải phương trình bậc hai vì ẩn $x$ nằm ở mẫu, không có dạng $ax^2 + bx + c = 0$.

d) $-4x^2 = 0$ là phương trình bậc hai ẩn $x$ với $a = -4$, $b = 0$, $c = 0$.

Lưu ý: Phương trình $mx^2 + 2x + 1 = 0$ chỉ là phương trình bậc hai khi $m \neq 0$. Nếu $m = 0$, nó trở thành phương trình bậc nhất $2x + 1 = 0$.

2. Cách giải phương trình bậc hai một ẩn có dạng đặc biệt

Khi phương trình bậc hai khuyết một số hạng ($b = 0$ hoặc $c = 0$), ta có thể giải nhanh bằng hai nguyên tắc:

• Nếu $A \cdot B = 0$ thì $A = 0$ hoặc $B = 0$.
• Nếu $A^2 = B$ ($B \geq 0$) thì $A = \sqrt{B}$ hoặc $A = -\sqrt{B}$.

Dạng khuyết hệ số tự do ($c = 0$): $ax^2 + bx = 0$

Phương pháp: Đặt nhân tử chung $x$ ra ngoài → đưa về dạng tích.

Ví dụ 2. Giải các phương trình: a) $3x^2 – 6x = 0$   b) $2x^2 + 10x = 0$

Giải:

a) $3x^2 – 6x = 0 \implies 3x(x – 2) = 0 \implies x = 0$ hoặc $x = 2$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

b) $2x^2 + 10x = 0 \implies 2x(x + 5) = 0 \implies x = 0$ hoặc $x = -5$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 0$, $x_2 = -5$.

Dạng khuyết hệ số bậc nhất ($b = 0$): $ax^2 + c = 0$

Phương pháp: Chuyển vế, đưa về $x^2 = k$, rồi xét dấu $k$.

Ví dụ 3. Giải các phương trình: a) $x^2 – 16 = 0$   b) $(x + 2)^2 = 7$

Giải:

a) $x^2 – 16 = 0 \implies x^2 = 16 \implies x = 4$ hoặc $x = -4$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 4$, $x_2 = -4$.

b) $(x + 2)^2 = 7 \implies x + 2 = \sqrt{7}$ hoặc $x + 2 = -\sqrt{7}$

Suy ra $x = -2 + \sqrt{7}$ hoặc $x = -2 – \sqrt{7}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = -2 + \sqrt{7}$, $x_2 = -2 – \sqrt{7}$.

Phương pháp hoàn thành bình phương

Khi phương trình có dạng $x^2 + bx = c$, ta cộng thêm vào hai vế một số thích hợp để vế trái biến thành bình phương hoàn hảo.

Mẹo: $x^2 + bx + \left(\dfrac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \dfrac{b}{2}\right)^2$

Ví dụ 4. Giải phương trình $x^2 – 6x = 2$.

Giải:

Cộng thêm $9$ (tức $\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2 = 9$) vào hai vế:

$$x^2 – 6x + 9 = 2 + 9$$

$$(x – 3)^2 = 11$$

$$x – 3 = \sqrt{11} \text{ hoặc } x – 3 = -\sqrt{11}$$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 3 + \sqrt{11}$, $x_2 = 3 – \sqrt{11}$.

3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Xây dựng công thức

Áp dụng phương pháp hoàn thành bình phương cho phương trình tổng quát $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$), ta biến đổi được:

$$\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2 – 4ac}{4a^2}$$

Đặt $\Delta = b^2 – 4ac$ (đọc là “đen-ta”), gọi là biệt thức của phương trình. Kết quả phụ thuộc vào dấu của $\Delta$:

Xét phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$). Tính biệt thức $\Delta = b^2 – 4ac$.

• Nếu $\Delta > 0$: phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$, $\quad x_2 = \dfrac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}$
• Nếu $\Delta = 0$: phương trình có nghiệm kép: $x_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2a}$
• Nếu $\Delta < 0$: phương trình vô nghiệm.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 5. Cho phương trình $2x^2 + 5x – 2 = 0$. Xác định $a$, $b$, $c$, tính biệt thức $\Delta$ rồi giải phương trình.

Giải:

Ta có: $a = 2$, $b = 5$, $c = -2$.

$$\Delta = b^2 – 4ac = 5^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25 + 16 = 41 > 0$$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$$x_1 = \dfrac{-5 + \sqrt{41}}{4}, \qquad x_2 = \dfrac{-5 – \sqrt{41}}{4}$$

Ví dụ 6. Giải các phương trình: a) $x^2 – 8x + 16 = 0$   b) $3x^2 + 2x + 4 = 0$

Giải:

a) $\Delta = (-8)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 – 64 = 0$.

Phương trình có nghiệm kép: $x_1 = x_2 = \dfrac{-(-8)}{2 \cdot 1} = \dfrac{8}{2} = 4$.

b) $\Delta = 2^2 – 4 \cdot 3 \cdot 4 = 4 – 48 = -44 < 0$.

Phương trình vô nghiệm.

Thử thách nhỏ: Nếu $a$ và $c$ trái dấu thì $ac < 0$, suy ra $\Delta = b^2 – 4ac > 0$ (vì $b^2 \geq 0$ và $-4ac > 0$). Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Công thức nghiệm thu gọn

Khi hệ số $b$ là số chẵn (tức $b = 2b’$), ta có thể dùng công thức nghiệm thu gọn để tính nhanh hơn:

Đặt $b’ = \dfrac{b}{2}$ và $\Delta’ = b’^2 – ac$. Khi đó:

• Nếu $\Delta’ > 0$: $x_1 = \dfrac{-b’ + \sqrt{\Delta’}}{a}$, $\quad x_2 = \dfrac{-b’ – \sqrt{\Delta’}}{a}$
• Nếu $\Delta’ = 0$: $x_1 = x_2 = \dfrac{-b’}{a}$
• Nếu $\Delta’ < 0$: phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 7. Xác định $a$, $b’$, $c$ rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải:

a) $3x^2 + 10x + 2 = 0$   b) $x^2 – 6\sqrt{2},x + 18 = 0$

Giải:

a) $a = 3$, $b’ = 5$, $c = 2$.

$\Delta’ = 5^2 – 3 \cdot 2 = 25 – 6 = 19 > 0$.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$$x_1 = \dfrac{-5 + \sqrt{19}}{3}, \qquad x_2 = \dfrac{-5 – \sqrt{19}}{3}$$

b) $a = 1$, $b’ = -3\sqrt{2}$, $c = 18$.

$\Delta’ = (-3\sqrt{2})^2 – 1 \cdot 18 = 18 – 18 = 0$.

Phương trình có nghiệm kép: $x_1 = x_2 = \dfrac{-(-3\sqrt{2})}{1} = 3\sqrt{2}$.

4. Tìm nghiệm bằng máy tính cầm tay

Sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể nhanh chóng tìm nghiệm phương trình bậc hai.

Cách thực hiện: Bấm MODE → 5 → 3 để chuyển về chế độ giải phương trình bậc hai. Sau đó nhập lần lượt các hệ số $a$, $b$, $c$.

Ví dụ 8. Dùng MTCT tìm nghiệm các phương trình:

a) $3x^2 – 7x – 5 = 0$   b) $4x^2 – 20x + 25 = 0$   c) $-2x^2 + 3x – 4 = 0$

Giải:

a) Nhập $a = 3$, $b = -7$, $c = -5$. Máy hiện: $x_1 = \dfrac{7 + \sqrt{109}}{6}$, $x_2 = \dfrac{7 – \sqrt{109}}{6}$.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Nhập $a = 4$, $b = -20$, $c = 25$. Máy hiện: $x = \dfrac{5}{2}$.

Phương trình có nghiệm kép $x_1 = x_2 = \dfrac{5}{2}$.

c) Nhập $a = -2$, $b = 3$, $c = -4$. Máy hiện kết quả chứa $i$ (số ảo).

Phương trình vô nghiệm (trong tập số thực).

Chú ý: Nếu máy hiện nghiệm chứa ký hiệu $i$ thì phương trình vô nghiệm trong $\mathbb{R}$. Bấm phím S⇔D để xem kết quả dạng số thập phân xấp xỉ.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết phương trình bậc hai và xác định hệ số

Phương pháp giải:

• Kiểm tra phương trình có dạng $ax^2 + bx + c = 0$ với $a \neq 0$ hay không.
• Nếu chưa đúng dạng → biến đổi (khai triển, chuyển vế, thu gọn) rồi xác định $a$, $b$, $c$.
• Lưu ý: ẩn phải nằm ở tử (không phải mẫu), và hệ số $a$ của $x^2$ phải khác 0.

Luyện tập 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai ẩn $x$? Chỉ rõ $a$, $b$, $c$.

a) $x^2 + 5 = 0$   b) $2x^2 + 7x = 0$   c) $\dfrac{x^2 – 2x + 5}{x} = 0$   d) $0{,}5x^2 = 0$

Lời giải chi tiết:

a) $x^2 + 5 = 0$ là phương trình bậc hai với $a = 1$, $b = 0$, $c = 5$.

b) $2x^2 + 7x = 0$ là phương trình bậc hai với $a = 2$, $b = 7$, $c = 0$.

c) $\dfrac{x^2 – 2x + 5}{x} = 0$ không phải phương trình bậc hai (ẩn $x$ nằm ở mẫu nên phương trình không có dạng $ax^2 + bx + c = 0$).

d) $0{,}5x^2 = 0$ là phương trình bậc hai với $a = 0{,}5$; $b = 0$; $c = 0$.

Bài tập 6.8. Đưa các phương trình sau về dạng $ax^2 + bx + c = 0$ và xác định $a$, $b$, $c$:

a) $3x^2 + 2x – 1 = x^2 – x$   b) $(2x + 1)^2 = x^2 + 1$

Lời giải chi tiết:

a) Chuyển vế: $3x^2 + 2x – 1 – x^2 + x = 0$, thu gọn: $2x^2 + 3x – 1 = 0$.

Vậy $a = 2$, $b = 3$, $c = -1$.

b) Khai triển vế trái: $4x^2 + 4x + 1 = x^2 + 1$, chuyển vế: $3x^2 + 4x = 0$.

Vậy $a = 3$, $b = 4$, $c = 0$.

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai dạng khuyết

Phương pháp giải:

• Dạng $ax^2 + bx = 0$ (khuyết $c$): Đặt $x$ làm nhân tử chung → $x(ax + b) = 0$ → hai nghiệm.
• Dạng $ax^2 + c = 0$ (khuyết $b$): Đưa về $x^2 = k$ → xét dấu $k$.
• Dạng $(x + p)^2 = q$: Nếu $q \geq 0$, suy ra $x + p = \pm\sqrt{q}$.
• Dạng $x^2 + bx = c$: Hoàn thành bình phương → cộng $\left(\dfrac{b}{2}\right)^2$ vào hai vế.

Luyện tập 2. Giải các phương trình: a) $2x^2 + 6x = 0$   b) $5x^2 + 11x = 0$

Lời giải chi tiết:

a) $2x^2 + 6x = 0 \implies 2x(x + 3) = 0 \implies x = 0$ hoặc $x = -3$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 0$, $x_2 = -3$.

b) $5x^2 + 11x = 0 \implies x(5x + 11) = 0 \implies x = 0$ hoặc $x = -\dfrac{11}{5}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 0$, $x_2 = -\dfrac{11}{5}$.

Luyện tập 3. Giải các phương trình: a) $x^2 – 25 = 0$   b) $(x + 3)^2 = 5$

Lời giải chi tiết:

a) $x^2 = 25 \implies x = 5$ hoặc $x = -5$.

Vậy $x_1 = 5$, $x_2 = -5$.

b) $x + 3 = \sqrt{5}$ hoặc $x + 3 = -\sqrt{5}$.

Suy ra $x = -3 + \sqrt{5}$ hoặc $x = -3 – \sqrt{5}$.

Luyện tập 4. Giải phương trình $x^2 + 6x = 1$.

Lời giải chi tiết:

Cộng thêm $\left(\dfrac{6}{2}\right)^2 = 9$ vào hai vế:

$$x^2 + 6x + 9 = 1 + 9 \implies (x + 3)^2 = 10$$

$$x + 3 = \sqrt{10} \text{ hoặc } x + 3 = -\sqrt{10}$$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = -3 + \sqrt{10}$, $x_2 = -3 – \sqrt{10}$.

Bài tập 6.9. Giải các phương trình: a) $2x^2 + \dfrac{1}{3}x = 0$   b) $(3x + 2)^2 = 5$

Lời giải chi tiết:

a) $2x^2 + \dfrac{1}{3}x = 0 \implies x\left(2x + \dfrac{1}{3}\right) = 0$

$x = 0$ hoặc $2x + \dfrac{1}{3} = 0 \implies x = -\dfrac{1}{6}$.

Vậy $x_1 = 0$, $x_2 = -\dfrac{1}{6}$.

b) $(3x + 2)^2 = 5$

$3x + 2 = \sqrt{5}$ hoặc $3x + 2 = -\sqrt{5}$

$x = \dfrac{-2 + \sqrt{5}}{3}$ hoặc $x = \dfrac{-2 – \sqrt{5}}{3}$.

Dạng 3: Áp dụng công thức nghiệm ($\Delta$) và công thức thu gọn ($\Delta’$)

Phương pháp giải:

• Bước 1: Xác định $a$, $b$, $c$ (hoặc $a$, $b’$, $c$ nếu $b$ chẵn).
• Bước 2: Tính $\Delta = b^2 – 4ac$ (hoặc $\Delta’ = b’^2 – ac$).
• Bước 3: Dựa vào dấu $\Delta$ (hoặc $\Delta’$) để kết luận:
  • $\Delta > 0$: hai nghiệm phân biệt, áp dụng công thức.
  • $\Delta = 0$: nghiệm kép $x = -\dfrac{b}{2a}$.
  • $\Delta < 0$: vô nghiệm.

Khi nào dùng $\Delta’$? Khi $b$ là số chẵn (chia hết cho 2) hoặc khi $b$ chứa $\sqrt{}$ mà chia 2 ra gọn hơn.

Luyện tập 5. Áp dụng công thức nghiệm, giải các phương trình:

a) $2x^2 – 5x + 1 = 0$   b) $x^2 + 8x + 16 = 0$   c) $x^2 – x + 1 = 0$

Lời giải chi tiết:

a) $a = 2$, $b = -5$, $c = 1$.

$\Delta = (-5)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 – 8 = 17 > 0$.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$$x_1 = \dfrac{5 + \sqrt{17}}{4}, \qquad x_2 = \dfrac{5 – \sqrt{17}}{4}$$

b) $a = 1$, $b = 8$, $c = 16$.

$\Delta = 8^2 – 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 – 64 = 0$.

Phương trình có nghiệm kép: $x_1 = x_2 = \dfrac{-8}{2} = -4$.

c) $a = 1$, $b = -1$, $c = 1$.

$\Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 – 4 = -3 < 0$.

Phương trình vô nghiệm.

Bài tập 6.10. Không cần giải, xác định $a$, $b$, $c$, tính $\Delta$ và xác định số nghiệm:

a) $11x^2 + 13x – 1 = 0$   b) $9x^2 + 42x + 49 = 0$   c) $x^2 – 2x + 3 = 0$

Lời giải chi tiết:

a) $a = 11$, $b = 13$, $c = -1$.

$\Delta = 13^2 – 4 \cdot 11 \cdot (-1) = 169 + 44 = 213 > 0$.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) $a = 9$, $b = 42$, $c = 49$.

$\Delta = 42^2 – 4 \cdot 9 \cdot 49 = 1764 – 1764 = 0$.

Phương trình có nghiệm kép.

c) $a = 1$, $b = -2$, $c = 3$.

$\Delta = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 – 12 = -8 < 0$.

Phương trình vô nghiệm.

Bài tập 6.11. Áp dụng công thức nghiệm, giải các phương trình:

a) $x^2 – 2\sqrt{5},x + 2 = 0$   b) $4x^2 + 28x + 49 = 0$   c) $3x^2 – 3\sqrt{2},x + 1 = 0$

Lời giải chi tiết:

a) $a = 1$, $b’ = -\sqrt{5}$, $c = 2$ (dùng công thức thu gọn vì $b = -2\sqrt{5}$, $b’ = -\sqrt{5}$).

$\Delta’ = (-\sqrt{5})^2 – 1 \cdot 2 = 5 – 2 = 3 > 0$.

$$x_1 = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{1} = \sqrt{5} + \sqrt{3}, \qquad x_2 = \sqrt{5} – \sqrt{3}$$

b) $a = 4$, $b = 28$, $c = 49$.

$\Delta = 28^2 – 4 \cdot 4 \cdot 49 = 784 – 784 = 0$.

Nghiệm kép: $x_1 = x_2 = \dfrac{-28}{8} = -\dfrac{7}{2}$.

c) $a = 3$, $b = -3\sqrt{2}$, $c = 1$.

$\Delta = (-3\sqrt{2})^2 – 4 \cdot 3 \cdot 1 = 18 – 12 = 6 > 0$.

$$x_1 = \dfrac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{6}, \qquad x_2 = \dfrac{3\sqrt{2} – \sqrt{6}}{6}$$

Luyện tập 6. Xác định $a$, $b’$, $c$ rồi dùng công thức nghiệm thu gọn:

a) $3x^2 + 8x – 3 = 0$   b) $x^2 + 6\sqrt{2},x + 2 = 0$

Lời giải chi tiết:

a) $a = 3$, $b’ = 4$, $c = -3$.

$\Delta’ = 4^2 – 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25$, $\sqrt{\Delta’} = 5$.

$$x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}, \qquad x_2 = \dfrac{-4 – 5}{3} = -3$$

b) $a = 1$, $b’ = 3\sqrt{2}$, $c = 2$.

$\Delta’ = (3\sqrt{2})^2 – 1 \cdot 2 = 18 – 2 = 16$, $\sqrt{\Delta’} = 4$.

$$x_1 = \dfrac{-3\sqrt{2} + 4}{1} = 4 – 3\sqrt{2}, \qquad x_2 = \dfrac{-3\sqrt{2} – 4}{1} = -4 – 3\sqrt{2}$$

Dạng 4: Sử dụng máy tính cầm tay

Phương pháp giải: Bấm MODE → 5 → 3, nhập lần lượt $a$, $b$, $c$. Đọc kết quả trên màn hình.

Luyện tập 7. Dùng MTCT tìm nghiệm:

a) $5x^2 + 2\sqrt{10},x + 2 = 0$   b) $3x^2 – 5x + 7 = 0$   c) $4x^2 – 11x + 1 = 0$

Lời giải chi tiết:

a) Nhập $a = 5$, $b = 2\sqrt{10}$, $c = 2$. Kết quả: nghiệm kép $x_1 = x_2 = -\dfrac{\sqrt{10}}{5}$.

(Kiểm tra: $\Delta’ = (\sqrt{10})^2 – 5 \cdot 2 = 10 – 10 = 0$ ✓)

b) Nhập $a = 3$, $b = -5$, $c = 7$. Máy hiện kết quả chứa $i$ → vô nghiệm.

(Kiểm tra: $\Delta = 25 – 84 = -59 < 0$ ✓)

c) Nhập $a = 4$, $b = -11$, $c = 1$. Kết quả: hai nghiệm phân biệt

$$x_1 = \dfrac{11 + \sqrt{105}}{8}, \qquad x_2 = \dfrac{11 – \sqrt{105}}{8}$$

(Kiểm tra: $\Delta = 121 – 16 = 105 > 0$ ✓)

Bài tập 6.12. Dùng MTCT tìm nghiệm:

a) $0{,}1x^2 + 2{,}5x – 0{,}2 = 0$   b) $0{,}01x^2 – 0{,}05x + 0{,}0625 = 0$   c) $1{,}2x^2 + 0{,}75x + 2{,}5 = 0$

Lời giải chi tiết:

a) Nhân hai vế với 10: $x^2 + 25x – 2 = 0$. Dùng MTCT:

$$x_1 = \dfrac{-25 + \sqrt{633}}{2}, \qquad x_2 = \dfrac{-25 – \sqrt{633}}{2}$$

b) Nhân hai vế với 100: $x^2 – 5x + 6{,}25 = 0$. $\Delta = 25 – 25 = 0$.

Nghiệm kép: $x_1 = x_2 = \dfrac{5}{2}$.

c) Dùng MTCT: $\Delta = 0{,}5625 – 12 = -11{,}4375 < 0$. Phương trình vô nghiệm.

Dạng 5: Bài toán thực tế

Phương pháp giải:

• Gọi ẩn, đặt điều kiện.
• Lập phương trình bậc hai từ dữ kiện bài toán.
• Giải phương trình, đối chiếu nghiệm với điều kiện, kết luận.

Vận dụng (Giải bài toán mở đầu).

Lời giải chi tiết:

Gọi $x$ (m) là bề rộng đường đi. Điều kiện: $0 < x < 8$.

Chiều dài bể bơi: $28 – 2x$ (m). Chiều rộng bể bơi: $16 – 2x$ (m).

Diện tích bể bơi bằng 288 m²:

$$(28 – 2x)(16 – 2x) = 288$$

$$448 – 56x – 32x + 4x^2 = 288$$

$$4x^2 – 88x + 160 = 0 \implies x^2 – 22x + 40 = 0$$

Hoàn thành bình phương: $(x – 11)^2 = 121 – 40 = 81$

$x – 11 = 9$ hoặc $x – 11 = -9$

$x = 20$ (loại vì $x < 8$) hoặc $x = 2$ ✓

Kết luận: Bề rộng đường đi là 2 m.

Bài tập 6.13. Độ cao $h$ (m) so với mặt đất của vật được phóng thẳng đứng lên trên với vận tốc $v_0 = 19{,}6$ m/s cho bởi $h = 19{,}6t – 4{,}9t^2$. Hỏi sau bao lâu vật rơi trở lại mặt đất?

Lời giải chi tiết:

Khi vật rơi về mặt đất thì $h = 0$:

$$19{,}6t – 4{,}9t^2 = 0 \implies t(19{,}6 – 4{,}9t) = 0$$

$t = 0$ (thời điểm phóng) hoặc $4{,}9t = 19{,}6 \implies t = 4$.

Kết luận: Sau 4 giây kể từ khi phóng, vật rơi trở lại mặt đất.

Bài tập 6.14. Kích thước màn hình ti vi được xác định bằng đường chéo. Ti vi truyền thống có định dạng 4 : 3. Ti vi LCD có định dạng 16 : 9. Cả hai đều 37 inch. Hỏi diện tích từng loại, loại nào lớn hơn?

Lời giải chi tiết:

Ti vi truyền thống (4 : 3): Gọi chiều dài $= 4k$, chiều rộng $= 3k$ ($k > 0$).

$(4k)^2 + (3k)^2 = 37^2 \implies 25k^2 = 1369 \implies k^2 = 54{,}76$

Diện tích: $S_1 = 4k \cdot 3k = 12k^2 = 12 \cdot 54{,}76 = 657{,}12$ (in²).

Ti vi LCD (16 : 9): Gọi chiều dài $= 16m$, chiều rộng $= 9m$ ($m > 0$).

$(16m)^2 + (9m)^2 = 37^2 \implies 337m^2 = 1369 \implies m^2 \approx 4{,}0623$

Diện tích: $S_2 = 16m \cdot 9m = 144m^2 \approx 144 \cdot 4{,}0623 \approx 585{,}0$ (in²).

Kết luận: Màn hình ti vi truyền thống ($\approx 657$ in²) có diện tích lớn hơn ti vi LCD ($\approx 585$ in²).

Bài tập 6.15. Mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng nhỏ hơn chiều dài 6 m, diện tích 280 m². Tính kích thước.

Lời giải chi tiết:

Gọi $x$ (m) là chiều rộng ($x > 0$). Chiều dài là $x + 6$ (m).

$$x(x + 6) = 280 \implies x^2 + 6x – 280 = 0$$

$\Delta = 36 + 1120 = 1156 = 34^2$.

$x_1 = \dfrac{-6 + 34}{2} = 14$ ✓   $x_2 = \dfrac{-6 – 34}{2} = -20$ (loại vì $x > 0$).

Kết luận: Chiều rộng 14 m, chiều dài 20 m.

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Phương trình $2x^2 – 8x + 8 = 0$ có tập nghiệm là:

A. ${2}$   B. ${4; -4}$   C. ${-1; 8}$   D. $\varnothing$

Câu 2. Phương trình nào sau đây có hai nghiệm phân biệt?

A. $x^2 + x + 1 = 0$   B. $4x^2 – 4x + 1 = 0$   C. $371x^2 + 5x – 1 = 0$   D. $4x^2 = 0$

Câu 3. Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A. $x^2 – x + 1 = 0$   B. $x^2 – 8x + 16 = 0$   C. $x^2 – 5x + 6 = 0$   D. $4x^2 – 4 = 0$

Câu 4. Với giá trị nào của $m$ thì phương trình $x^2 – 3x + 2m = 0$ vô nghiệm?

A. $m > 0$   B. $m < 0$   C. $m > \dfrac{9}{8}$   D. $m < \dfrac{9}{8}$

Câu 5. Cho phương trình $(m – 1)x^2 + 2(m + 1)x + m – 3 = 0$. Với giá trị nào của $m$ thì phương trình có nghiệm duy nhất?

A. $m = 1$   B. $m = \dfrac{1}{3}$   C. $m = 1$ hay $m = \dfrac{1}{3}$   D. Cả ba đáp án trên.

Đáp án:

Giải thích nhanh:

• Câu 1: $\Delta = 64 – 64 = 0$, nghiệm kép $x = \dfrac{8}{4} = 2$ → tập nghiệm ${2}$.
• Câu 2: A: $\Delta = -3 < 0$; B: $\Delta = 0$; C: $a = 371$, $c = -1$, $ac < 0$ nên $\Delta > 0$ → hai nghiệm phân biệt; D: nghiệm kép $x = 0$.
• Câu 3: A: $\Delta = 1 – 4 = -3 < 0$ → vô nghiệm. B: $\Delta = 0$; C: $\Delta = 1 > 0$; D: $x = \pm 1$.
• Câu 4: $\Delta = 9 – 8m < 0 \implies m > \dfrac{9}{8}$.
• Câu 5: Khi $m = 1$: phương trình trở thành bậc nhất $4x – 2 = 0 \implies x = \dfrac{1}{2}$ (1 nghiệm). Khi $m \neq 1$: $\Delta = 4(m+1)^2 – 4(m-1)(m-3) = 24m – 8$. Để có nghiệm kép: $\Delta = 0 \implies m = \dfrac{1}{3}$. Vậy $m = 1$ hoặc $m = \dfrac{1}{3}$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Chọn công thức phù hợp: Nếu $b$ chẵn → dùng $\Delta’$ (tính nhanh hơn). Nếu $b$ lẻ → dùng $\Delta$ thông thường.

Mẹo 2 — Nhận biết nhanh số nghiệm: Nếu $a$ và $c$ trái dấu ($ac < 0$) thì $\Delta = b^2 – 4ac > 0$ → chắc chắn có hai nghiệm phân biệt mà không cần tính $\Delta$ cụ thể.

Mẹo 3 — Nhân hệ số cho gọn: Nếu hệ số là số thập phân ($0{,}1x^2 + 2{,}5x – 0{,}2 = 0$), nhân hai vế với 10 (hoặc 100) để có hệ số nguyên trước khi giải.

Mẹo 4 — Kiểm tra nghiệm bằng MTCT: Sau khi giải tay, bấm MTCT (MODE → 5 → 3) để xác nhận kết quả nhanh chóng.

Mẹo 5 — Nhớ công thức hoàn thành bình phương:

$$x^2 + bx = \left(x + \dfrac{b}{2}\right)^2 – \dfrac{b^2}{4}$$

Tổng kết

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du