Bài 25 mở đầu chương Phương trình bậc nhất một ẩn — một chương trọng tâm của chương trình Toán 8. Đây là lần đầu tiên các em được tiếp cận hệ thống với việc giải phương trình, bắt đầu từ dạng đơn giản nhất: phương trình bậc nhất $ax + b = 0$. Kỹ năng giải phương trình sẽ được sử dụng xuyên suốt từ đây trở đi, không chỉ trong Toán 8 mà còn ở các lớp trên.

Bài học gồm ba phần chính: phương trình một ẩn (khái niệm nền), phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải, và phương trình đưa được về dạng $ax + b = 0$ — mở rộng ra các phương trình phức tạp hơn chứa ngoặc, phân số.

1. Phương trình một ẩn

Nhận biết phương trình một ẩn

Trong thực tế, nhiều bài toán dẫn đến việc tìm một giá trị chưa biết thỏa mãn một hệ thức nào đó. Hệ thức đó chính là một phương trình.

Định nghĩa: Một phương trình với ẩn $x$ có dạng $A(x) = B(x)$, trong đó vế trái $A(x)$ và vế phải $B(x)$ là hai biểu thức của cùng một biến $x$.

Ví dụ: Các phương trình một ẩn:

• $3x + 5 = 2 – x$
• $x^2 – 4 = 0$
• $150 + 150x = 159$ (phương trình từ bài toán lãi suất ngân hàng)

Nghiệm của phương trình

Khi thay một giá trị cụ thể vào ẩn $x$, nếu hai vế của phương trình nhận cùng một giá trị thì giá trị đó được gọi là nghiệm của phương trình.

Số $x_0$ gọi là nghiệm của phương trình $A(x) = B(x)$ nếu giá trị của $A(x)$ và $B(x)$ tại $x_0$ bằng nhau.

Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

Chú ý: Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó, thường kí hiệu là $S$.

Ví dụ: Cho phương trình $3x – 6 = 9 – 2x$.

Kiểm tra xem $x = 3$ và $x = -1$ có là nghiệm không.

• Với $x = 3$: Vế trái $= 3 \cdot 3 – 6 = 3$. Vế phải $= 9 – 2 \cdot 3 = 3$. Hai vế bằng nhau → $x = 3$ là nghiệm.
• Với $x = -1$: Vế trái $= 3 \cdot (-1) – 6 = -9$. Vế phải $= 9 – 2 \cdot (-1) = 11$. Hai vế khác nhau → $x = -1$ không là nghiệm.

2. Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải

Khái niệm phương trình bậc nhất một ẩn

Trong tất cả các phương trình một ẩn, dạng đơn giản nhất và cơ bản nhất là phương trình bậc nhất.

Định nghĩa: Phương trình dạng $ax + b = 0$ với $a$, $b$ là hai số đã cho và $a \neq 0$, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn $x$.

Trong đó: $a$ gọi là hệ số của $x$, $b$ gọi là hạng tử tự do, $x$ gọi là ẩn.

Điều kiện $a \neq 0$ rất quan trọng: Nếu $a = 0$ thì phương trình trở thành $b = 0$, không còn chứa ẩn nữa → không phải phương trình bậc nhất.

Ví dụ: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn?

a) $3x + 2 = 0$ → Có, vì $a = 3 \neq 0$, $b = 2$.

b) $-x + 4 = 0$ → Có, vì $a = -1 \neq 0$, $b = 4$.

c) $0 \cdot x + 5 = 0$ → Không, vì $a = 0$.

d) $(-3) \cdot x = 0$ → Có, vì $a = -3 \neq 0$, $b = 0$.

Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

Để giải phương trình bậc nhất, ta sử dụng hai quy tắc:

• Quy tắc chuyển vế: Nếu $A + C = B$ thì $A = B – C$.
• Quy tắc nhân: Nếu $A = B$ và $C \neq 0$ thì $A \cdot C = B \cdot C$.

Áp dụng hai quy tắc này, phương trình bậc nhất được giải theo các bước:

$$ax + b = 0$$

$$ax = -b \quad \text{(chuyển } b \text{ sang vế phải)}$$

$$x = \dfrac{-b}{a} \quad \text{(chia hai vế cho } a \text{)}$$

Kết luận: Phương trình bậc nhất $ax + b = 0$ ($a \neq 0$) luôn có một nghiệm duy nhất $x = \dfrac{-b}{a}$.

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) $5x + 15 = 0$

$$5x = -15$$

$$x = \dfrac{-15}{5} = -3$$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = -3$. Tập nghiệm $S = {-3}$.

b) $3 – \dfrac{1}{4}x = 0$

$$-\dfrac{1}{4}x = -3$$

$$x = (-3) : \left(-\dfrac{1}{4}\right) = (-3) \times (-4) = 12$$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 12$.

3. Phương trình đưa được về dạng $ax + b = 0$

Phương trình đưa về dạng $ax + b = 0$

Trong thực tế, nhiều phương trình không ở sẵn dạng $ax + b = 0$, nhưng bằng cách thực hiện các phép biến đổi (bỏ ngoặc, quy đồng mẫu, chuyển vế, thu gọn), ta có thể đưa chúng về dạng bậc nhất và giải được.

Các bước giải phương trình đưa về dạng $ax + b = 0$:

1. Quy đồng mẫu (nếu phương trình chứa phân số) rồi nhân hai vế để khử mẫu.
2. Bỏ dấu ngoặc (thực hiện phép nhân phân phối).
3. Chuyển vế: các hạng tử chứa $x$ sang vế trái, các hạng tử không chứa $x$ sang vế phải.
4. Thu gọn và giải phương trình nhận được.

Ví dụ 1: Giải phương trình $4x – (3 – 2x) = 3(x + 5)$.

Bỏ dấu ngoặc:

$$4x – 3 + 2x = 3x + 15$$

Chuyển các hạng tử chứa $x$ sang vế trái, hạng tử tự do sang vế phải:

$$4x + 2x – 3x = 15 + 3$$

Thu gọn:

$$3x = 18$$

$$x = 6$$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 6$.

Ví dụ 2: Giải phương trình $\dfrac{2x – 1}{3} + x = 1 + \dfrac{3 – x}{2}$.

Quy đồng mẫu (mẫu chung là $6$):

$$\dfrac{2(2x – 1) + 6x}{6} = \dfrac{6 + 3(3 – x)}{6}$$

Nhân hai vế với $6$ để khử mẫu:

$$2(2x – 1) + 6x = 6 + 3(3 – x)$$

Bỏ dấu ngoặc:

$$4x – 2 + 6x = 6 + 9 – 3x$$

Chuyển vế:

$$4x + 6x + 3x = 6 + 9 + 2$$

Thu gọn:

$$13x = 17$$

$$x = \dfrac{17}{13}$$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \dfrac{17}{13}$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết phương trình bậc nhất một ẩn và kiểm tra nghiệm

Phương pháp giải:

• Nhận biết: Kiểm tra phương trình có dạng $ax + b = 0$ với $a \neq 0$ hay không. Nếu $a = 0$ → không phải phương trình bậc nhất.
• Kiểm tra nghiệm: Thay giá trị vào cả hai vế của phương trình. Nếu hai vế bằng nhau → là nghiệm; nếu khác nhau → không phải nghiệm.

Ví dụ mẫu (BT 7.1): Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất một ẩn trong các phương trình sau:

a) $x + 1 = 0$   b) $0x – 2 = 0$   c) $2 – x = 0$   d) $3x = 0$

Lời giải chi tiết:

a) $x + 1 = 0$: Có dạng $ax + b = 0$ với $a = 1 \neq 0$, $b = 1$. → Là phương trình bậc nhất một ẩn.

b) $0x – 2 = 0$: Có $a = 0$. → Không là phương trình bậc nhất một ẩn (vì $a = 0$).

c) $2 – x = 0$: Viết lại $-x + 2 = 0$, tức $a = -1 \neq 0$, $b = 2$. → Là phương trình bậc nhất một ẩn.

d) $3x = 0$: Có dạng $ax + b = 0$ với $a = 3 \neq 0$, $b = 0$. → Là phương trình bậc nhất một ẩn.

Dạng 2: Giải phương trình bậc nhất dạng $ax + b = 0$

Phương pháp giải:

Bước 1: Chuyển hạng tử tự do $b$ sang vế phải: $ax = -b$.

Bước 2: Chia hai vế cho hệ số $a$ (với $a \neq 0$): $x = \dfrac{-b}{a}$.

Bước 3: Kết luận nghiệm và viết tập nghiệm $S$.

Ví dụ mẫu (BT 7.2): Giải các phương trình sau:

a) $5x – 4 = 0$

b) $3 + 2x = 0$

c) $7 – 5x = 0$

d) $\dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{3}x = 0$

Lời giải chi tiết:

a) $5x – 4 = 0$

$$5x = 4$$

$$x = \dfrac{4}{5}$$

Vậy $S = \left\{\dfrac{4}{5}\right\}$.

b) $3 + 2x = 0$

$$2x = -3$$

$$x = \dfrac{-3}{2}$$

Vậy $S = \left\{-\dfrac{3}{2}\right\}$.

c) $7 – 5x = 0$

$$-5x = -7$$

$$x = \dfrac{-7}{-5} = \dfrac{7}{5}$$

Vậy $S = \left\{\dfrac{7}{5}\right\}$.

d) $\dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{3}x = 0$

$$\dfrac{5}{3}x = -\dfrac{3}{2}$$

$$x = \left(-\dfrac{3}{2}\right) : \dfrac{5}{3} = \left(-\dfrac{3}{2}\right) \times \dfrac{3}{5} = -\dfrac{9}{10}$$

Vậy $S = \left\{-\dfrac{9}{10}\right\}$.

Dạng 3: Giải phương trình đưa về dạng $ax + b = 0$

Phương pháp giải:

Bước 1: Nếu có phân số → quy đồng mẫu rồi nhân hai vế để khử mẫu.

Bước 2: Bỏ dấu ngoặc (nhân phân phối, chú ý dấu trừ trước ngoặc).

Bước 3: Chuyển vế — hạng tử chứa $x$ sang vế trái, hạng tử tự do sang vế phải (nhớ đổi dấu).

Bước 4: Thu gọn và giải phương trình nhận được.

Ví dụ mẫu 1 (BT 7.3a): Giải phương trình $7x – (2x + 3) = 5(x – 2)$.

Lời giải chi tiết:

Bỏ dấu ngoặc:

$$7x – 2x – 3 = 5x – 10$$

Chuyển hạng tử chứa $x$ sang vế trái, hạng tử tự do sang vế phải:

$$7x – 2x – 5x = -10 + 3$$

Thu gọn vế trái: $7x – 2x – 5x = 0x = 0$.

Thu gọn vế phải: $-10 + 3 = -7$.

Ta được: $0x = -7$, tức $0 = -7$ (vô lí).

Phương trình vô nghiệm. Tập nghiệm $S = \varnothing$.

Ví dụ mẫu 2 (BT 7.3b): Giải phương trình $x + \dfrac{2x – 1}{5} = 3 + \dfrac{3 – x}{4}$.

Lời giải chi tiết:

Quy đồng mẫu hai vế (mẫu chung là $20$):

$$\dfrac{20x + 4(2x – 1)}{20} = \dfrac{60 + 5(3 – x)}{20}$$

Nhân hai vế với $20$ để khử mẫu:

$$20x + 4(2x – 1) = 60 + 5(3 – x)$$

Bỏ dấu ngoặc:

$$20x + 8x – 4 = 60 + 15 – 5x$$

Chuyển vế:

$$20x + 8x + 5x = 60 + 15 + 4$$

Thu gọn:

$$33x = 79$$

$$x = \dfrac{79}{33}$$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \dfrac{79}{33}$.

Dạng 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi ẩn — chọn đại lượng cần tìm làm ẩn $x$ (ghi rõ đơn vị và điều kiện nếu có).

Bước 2: Biểu thị các đại lượng liên quan theo ẩn $x$.

Bước 3: Lập phương trình dựa trên mối quan hệ mà đề bài cho (tổng, hiệu, tỉ lệ, bằng nhau…).

Bước 4: Giải phương trình tìm $x$.

Bước 5: Trả lời câu hỏi của bài toán (kiểm tra điều kiện nếu cần).

Ví dụ mẫu 1 (BT 7.4): Ở một số quốc gia, người ta dùng cả hai đơn vị đo nhiệt độ là độ Fahrenheit (°F) và độ Celcius (°C), liên hệ với nhau bởi công thức $C = \dfrac{5}{9}(F – 32)$. Hãy tính độ Fahrenheit tương ứng với $10°C$.

Lời giải chi tiết:

Thay $C = 10$ vào công thức:

$$10 = \dfrac{5}{9}(F – 32)$$

Nhân hai vế với $9$:

$$90 = 5(F – 32)$$

Chia hai vế cho $5$:

$$18 = F – 32$$

Chuyển vế:

$$F = 18 + 32 = 50$$

Vậy $10°C$ tương ứng với $50°F$.

Ví dụ mẫu 2 (BT 7.5): Hiện nay tuổi của bố bạn Nam gấp 3 lần tuổi của Nam. Sau 10 năm nữa thì tổng số tuổi của Nam và bố là 76 tuổi. Tính tuổi của Nam và bố hiện nay.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Gọi $x$ (tuổi) là số tuổi hiện nay của Nam ($x > 0$).

Bước 2: Tuổi hiện nay của bố là $3x$ (tuổi).

Sau 10 năm nữa:

• Tuổi của Nam: $x + 10$.
• Tuổi của bố: $3x + 10$.

Bước 3: Theo đề bài, sau 10 năm nữa tổng số tuổi của Nam và bố là 76 tuổi:

$$(x + 10) + (3x + 10) = 76$$

Bước 4: Giải phương trình:

$$x + 10 + 3x + 10 = 76$$

$$4x + 20 = 76$$

$$4x = 56$$

$$x = 14$$

Bước 5: Tuổi hiện nay của Nam là $14$ tuổi. Tuổi hiện nay của bố là $3 \times 14 = 42$ tuổi.

Kiểm tra: Sau 10 năm: Nam $24$ tuổi, bố $52$ tuổi. Tổng: $24 + 52 = 76$ ✓.

Ví dụ mẫu 3 (BT 7.6): Bạn Mai mua cả sách và vở hết 500 nghìn đồng. Biết rằng số tiền mua sách nhiều gấp rưỡi số tiền mua vở. Hãy tính số tiền bạn Mai dùng để mua mỗi loại.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Gọi $x$ (nghìn đồng) là số tiền mua vở ($x > 0$).

Bước 2: Số tiền mua sách nhiều gấp rưỡi số tiền mua vở, tức số tiền mua sách là $\dfrac{3}{2}x$ (nghìn đồng).

Bước 3: Tổng tiền mua sách và vở là 500 nghìn đồng:

$$x + \dfrac{3}{2}x = 500$$

Bước 4: Giải phương trình:

$$\dfrac{2x + 3x}{2} = 500$$

$$\dfrac{5x}{2} = 500$$

$$5x = 1000$$

$$x = 200$$

Bước 5: Số tiền mua vở: $200$ nghìn đồng. Số tiền mua sách: $\dfrac{3}{2} \times 200 = 300$ nghìn đồng.

Kiểm tra: $200 + 300 = 500$ ✓ và $300 = 1{,}5 \times 200$ ✓.

Ví dụ mẫu 4 (Vận dụng 2 SGK): Hai bạn Lan và Hương cùng vào hiệu sách. Lan mua 5 quyển vở cùng loại và 1 quyển sách giá 50 nghìn đồng. Hương mua 3 quyển vở cùng loại với Lan và 1 quyển sách giá 74 nghìn đồng. Số tiền phải trả của Lan và Hương là bằng nhau.

a) Lập phương trình.

b) Tìm giá tiền mỗi quyển vở.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi $x$ (nghìn đồng) là giá tiền mỗi quyển vở ($x > 0$).

Số tiền Lan phải trả: $5x + 50$ (nghìn đồng).

Số tiền Hương phải trả: $3x + 74$ (nghìn đồng).

Vì hai bạn trả bằng nhau nên ta có phương trình:

$$5x + 50 = 3x + 74$$

b) Giải phương trình:

$$5x – 3x = 74 – 50$$

$$2x = 24$$

$$x = 12$$

Vậy giá tiền mỗi quyển vở là $12$ nghìn đồng.

Kiểm tra: Lan trả $5 \times 12 + 50 = 110$ nghìn đồng. Hương trả $3 \times 12 + 74 = 110$ nghìn đồng ✓.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Công thức nghiệm nhanh: Phương trình $ax + b = 0$ ($a \neq 0$) luôn có nghiệm duy nhất $x = -\dfrac{b}{a}$. Nhớ công thức này để tính nhanh mà không cần trình bày từng bước chuyển vế.

Mẹo 2 — Nên chuyển vế TRƯỚC, chia SAU: Khi giải phương trình dạng $2x + 5 = 16$, nên chuyển $5$ sang vế phải trước ($2x = 11$) rồi mới chia cho $2$ ($x = \dfrac{11}{2}$). Đừng chia cả hai vế ngay từ đầu vì dễ quên chia một hạng tử.

Mẹo 3 — Khử mẫu trước khi giải: Với phương trình chứa phân số, bước đầu tiên luôn là tìm mẫu chung rồi nhân cả hai vế để khử mẫu. Sau khi khử mẫu, phương trình trở thành dạng chỉ có số nguyên → dễ giải hơn nhiều.

Mẹo 4 — Luôn kiểm tra nghiệm: Sau khi tìm được $x$, thay ngược vào phương trình ban đầu để kiểm tra. Đặc biệt quan trọng với bài toán thực tế, vì nghiệm cần thỏa mãn điều kiện thực tế (tuổi > 0, giá tiền > 0, v.v.).

Mẹo 5 — Bài toán thực tế: lập bảng trước khi lập phương trình: Với bài toán có nhiều đại lượng (tuổi, tiền, quãng đường…), nên lập một bảng tóm tắt các đại lượng theo ẩn $x$ trước khi viết phương trình. Điều này giúp tránh nhầm lẫn.

Tổng kết

Qua Bài 25, các em cần nắm vững:

Phương trình một ẩn có dạng $A(x) = B(x)$. Nghiệm là giá trị của $x$ làm hai vế bằng nhau. Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm.

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b = 0$ ($a \neq 0$), luôn có một nghiệm duy nhất $x = -\dfrac{b}{a}$. Giải bằng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân.

Phương trình đưa về dạng $ax + b = 0$: Với phương trình chứa ngoặc hoặc phân số, thực hiện lần lượt: quy đồng → khử mẫu → bỏ ngoặc → chuyển vế → thu gọn → giải.

Bốn dạng bài tập cốt lõi: nhận biết phương trình bậc nhất và kiểm tra nghiệm, giải phương trình dạng chuẩn $ax + b = 0$, giải phương trình đưa về dạng bậc nhất (có ngoặc, có phân số), và giải bài toán bằng cách lập phương trình. Kỹ năng giải phương trình bậc nhất là nền tảng cho toàn bộ phần Đại số từ đây trở đi.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du