Bài toán mở đầu

Trong một khu vườn hình vuông có cạnh bằng 15 m, người ta làm một lối đi xung quanh vườn có bề rộng là $x$ (m). Để diện tích phần đất còn lại là 169 m² thì bề rộng $x$ của lối đi là bao nhiêu?

Để giải bài toán này, ta cần giải một phương trình bậc hai — nhưng thực chất có thể đưa về dạng phương trình tích và giải bằng kiến thức phương trình bậc nhất. Đó chính là nội dung bài học hôm nay: phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn, bao gồm hai dạng chính — phương trình tích và phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Phương trình tích

Cách giải phương trình tích

Để giải phương trình tích $(ax + b)(cx + d) = 0$, ta giải hai phương trình $ax + b = 0$ và $cx + d = 0$. Sau đó lấy tất cả các nghiệm của chúng.

Nguyên tắc này dựa trên tính chất: tích hai số bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất một trong hai số bằng 0. Nói cách khác:

$$A \cdot B = 0 \iff A = 0 \text{ hoặc } B = 0$$

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Giải phương trình $(3x – 2)(5x + 1) = 0$.

Giải:

Ta có $(3x – 2)(5x + 1) = 0$ nên $3x – 2 = 0$ hoặc $5x + 1 = 0$.

• $3x – 2 = 0$ hay $3x = 2$, suy ra $x = \dfrac{2}{3}$.
• $5x + 1 = 0$ hay $5x = -1$, suy ra $x = -\dfrac{1}{5}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = \dfrac{2}{3}$ và $x = -\dfrac{1}{5}$.

Đưa phương trình về phương trình tích

Không phải lúc nào phương trình cũng có sẵn dạng tích. Nhiều khi ta cần biến đổi phương trình về dạng tích bằng cách: chuyển vế, nhóm hạng tử, rồi phân tích thành nhân tử.

Quy trình gồm hai bước:

Bước 1. Đưa phương trình về dạng phương trình tích $(ax + b)(cx + d) = 0$.

Bước 2. Giải phương trình tích tìm được.

Ví dụ 2. Giải phương trình $x^2 – 2x = -3x + 6$.

Giải:

Chuyển vế phải sang trái:

$$x^2 – 2x + 3x – 6 = 0$$

$$x^2 + x – 6 = 0$$

Phân tích thành nhân tử bằng cách nhóm:

$$x(x – 2) + 3(x – 2) = 0$$

$$(x + 3)(x – 2) = 0$$

Ta giải hai phương trình:

• $x + 3 = 0$, suy ra $x = -3$.
• $x – 2 = 0$, suy ra $x = 2$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = -3$ và $x = 2$.

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Điều kiện xác định (ĐKXĐ)

Khi phương trình có ẩn nằm ở mẫu, ta cần đảm bảo mẫu không bằng 0. Điều kiện để tất cả các mẫu thức đều khác 0 gọi là điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình.

Ví dụ 3. Tìm ĐKXĐ của mỗi phương trình sau:

a) $\dfrac{7x + 3}{x – 2} = 0$

b) $\dfrac{1}{x + 3} = 2 + \dfrac{1}{x – 1}$

Giải:

a) Mẫu $x – 2 \neq 0$ khi $x \neq 2$. Vậy ĐKXĐ là $x \neq 2$.

b) Mẫu $x + 3 \neq 0$ khi $x \neq -3$; mẫu $x – 1 \neq 0$ khi $x \neq 1$. Vậy ĐKXĐ là $x \neq -3$ và $x \neq 1$.

Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1. Tìm ĐKXĐ của phương trình.

Bước 2. Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình vừa tìm được.

Bước 4 (Kết luận). Trong các giá trị tìm được ở Bước 3, giá trị nào thoả mãn ĐKXĐ thì mới là nghiệm của phương trình đã cho.

Bước 4 rất quan trọng — nếu bỏ qua, ta có thể nhận nhầm nghiệm không hợp lệ.

Ví dụ 4. Giải phương trình $\dfrac{3}{x – 2} + \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{9}{(x – 2)(x + 1)}$.

Giải:

Bước 1. ĐKXĐ: $x \neq 2$ và $x \neq -1$.

Bước 2. Quy đồng mẫu rồi khử mẫu:

$$\dfrac{3(x + 1) + 1(x – 2)}{(x – 2)(x + 1)} = \dfrac{9}{(x – 2)(x + 1)}$$

Suy ra: $3(x + 1) + (x – 2) = 9$

Bước 3. Giải phương trình:

$$3x + 3 + x – 2 = 9$$

$$4x + 1 = 9$$

$$4x = 8$$

$$x = 2$$

Bước 4. Giá trị $x = 2$ không thoả mãn ĐKXĐ (vì ta cần $x \neq 2$).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Lưu ý: Ví dụ trên cho thấy tại sao Bước 4 không thể bỏ qua — nếu quên kiểm tra ĐKXĐ, ta sẽ kết luận sai rằng $x = 2$ là nghiệm.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Giải phương trình tích có sẵn dạng $(ax + b)(cx + d) = 0$

Phương pháp giải:

• Cho mỗi nhân tử bằng 0, giải từng phương trình bậc nhất riêng biệt.
• Lấy tất cả nghiệm tìm được.

Ví dụ 1. Giải phương trình $x(x – 2) = 0$.

Lời giải chi tiết:

$x(x – 2) = 0$ nên $x = 0$ hoặc $x – 2 = 0$.

• $x = 0$.
• $x – 2 = 0$, suy ra $x = 2$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = 0$ và $x = 2$.

Ví dụ 2. Giải phương trình $(2x + 1)(3x – 2) = 0$.

Lời giải chi tiết:

$(2x + 1)(3x – 2) = 0$ nên $2x + 1 = 0$ hoặc $3x – 2 = 0$.

• $2x + 1 = 0$ hay $2x = -1$, suy ra $x = -\dfrac{1}{2}$.
• $3x – 2 = 0$ hay $3x = 2$, suy ra $x = \dfrac{2}{3}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = -\dfrac{1}{2}$ và $x = \dfrac{2}{3}$.

Ví dụ 3. Giải phương trình $(3x + 1)(2 – 4x) = 0$.

Lời giải chi tiết:

$(3x + 1)(2 – 4x) = 0$ nên $3x + 1 = 0$ hoặc $2 – 4x = 0$.

• $3x + 1 = 0$ hay $3x = -1$, suy ra $x = -\dfrac{1}{3}$.
• $2 – 4x = 0$ hay $4x = 2$, suy ra $x = \dfrac{1}{2}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = -\dfrac{1}{3}$ và $x = \dfrac{1}{2}$.

Ví dụ 4. (Trắc nghiệm) Nghiệm của phương trình $x(x + 1) = 0$ là:

A. $x = 0;, x = -1$ $\qquad$ B. $x = -1;, x = 1$ $\qquad$ C. $x = 0$ $\qquad$ D. $x = 1$

Lời giải: $x(x + 1) = 0$ nên $x = 0$ hoặc $x + 1 = 0$ (tức $x = -1$). Đáp án: A.

Dạng 2: Biến đổi phương trình về dạng phương trình tích rồi giải

Phương pháp giải:

• Bước 1: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế (vế còn lại bằng 0).
• Bước 2: Phân tích vế trái thành nhân tử. Các kỹ thuật thường dùng:
  • Đặt nhân tử chung.
  • Dùng hằng đẳng thức (hiệu hai bình phương $a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$, v.v.).
  • Nhóm hạng tử.
• Bước 3: Giải phương trình tích thu được.

Ví dụ 5. Giải phương trình $(x^2 – 4) + x(x – 2) = 0$.

Lời giải chi tiết:

Phân tích $x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)$ (hằng đẳng thức hiệu hai bình phương).

$$(x – 2)(x + 2) + x(x – 2) = 0$$

Đặt nhân tử chung $(x – 2)$:

$$(x – 2)(x + 2 + x) = 0$$

$$(x – 2)(2x + 2) = 0$$

• $x – 2 = 0$, suy ra $x = 2$.
• $2x + 2 = 0$ hay $2x = -2$, suy ra $x = -1$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = 2$ và $x = -1$.

Ví dụ 6. Giải phương trình $(2x + 1)^2 – 9x^2 = 0$.

Lời giải chi tiết:

Nhận thấy $(2x + 1)^2 – 9x^2 = (2x + 1)^2 – (3x)^2$ — đây là hiệu hai bình phương.

$$(2x + 1 + 3x)(2x + 1 – 3x) = 0$$

$$(5x + 1)(-x + 1) = 0$$

• $5x + 1 = 0$ hay $5x = -1$, suy ra $x = -\dfrac{1}{5}$.
• $-x + 1 = 0$, suy ra $x = 1$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = -\dfrac{1}{5}$ và $x = 1$.

Ví dụ 7. Giải phương trình $x^2 – 3x = 2x – 6$.

Lời giải chi tiết:

Chuyển vế phải sang trái:

$$x^2 – 3x – 2x + 6 = 0$$

$$x^2 – 5x + 6 = 0$$

Nhóm và đặt nhân tử chung:

$$x(x – 3) – 2(x – 3) = 0$$

$$(x – 3)(x – 2) = 0$$

• $x – 3 = 0$, suy ra $x = 3$.
• $x – 2 = 0$, suy ra $x = 2$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = 3$ và $x = 2$.

Ví dụ 8. (Trắc nghiệm) Nghiệm của phương trình $x^2 – 3x – 4 = 0$ là:

A. $x = 0$ $\qquad$ B. $x = \pm 1$ $\qquad$ C. $x = 4$ $\qquad$ D. $x = -1;, x = 4$

Lời giải: Ta có $x^2 – 3x – 4 = 0$. Phân tích: $x(x + 1) – 4(x + 1) = 0$, tức $(x + 1)(x – 4) = 0$.

Suy ra $x = -1$ hoặc $x = 4$. Đáp án: D.

Dạng 3: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp giải:

• Bước 1: Tìm ĐKXĐ — cho tất cả các mẫu khác 0.
• Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế, rồi khử mẫu.
• Bước 3: Giải phương trình sau khử mẫu.
• Bước 4: Đối chiếu nghiệm với ĐKXĐ. Chỉ giữ lại nghiệm thoả mãn ĐKXĐ.

Ví dụ 9. Tìm ĐKXĐ của mỗi phương trình sau:

a) $\dfrac{3x + 1}{2x – 1} = 1$ $\qquad$ b) $\dfrac{x}{x – 1} + \dfrac{x + 1}{x} = 2$

Lời giải chi tiết:

a) Mẫu $2x – 1 \neq 0$ khi $x \neq \dfrac{1}{2}$. Vậy ĐKXĐ: $x \neq \dfrac{1}{2}$.

b) Mẫu $x – 1 \neq 0$ khi $x \neq 1$; mẫu $x \neq 0$. Vậy ĐKXĐ: $x \neq 1$ và $x \neq 0$.

Ví dụ 10. (Trắc nghiệm) Điều kiện xác định của phương trình $\dfrac{3}{x + 1} – \dfrac{1}{x – 1} = 3$ là:

A. $x \neq 0$ $\qquad$ B. $x \neq \pm 1$ $\qquad$ C. $x \neq 1$ $\qquad$ D. $x \neq -1$

Lời giải: Mẫu $x + 1 \neq 0$ nên $x \neq -1$; mẫu $x – 1 \neq 0$ nên $x \neq 1$. ĐKXĐ: $x \neq \pm 1$. Đáp án: B.

Ví dụ 11. Giải phương trình $\dfrac{2}{2x + 1} + \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{3}{(2x + 1)(x + 1)}$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1. ĐKXĐ: $2x + 1 \neq 0$ và $x + 1 \neq 0$, tức $x \neq -\dfrac{1}{2}$ và $x \neq -1$.

Bước 2. Quy đồng mẫu $(2x + 1)(x + 1)$ rồi khử mẫu:

$$\dfrac{2(x + 1) + (2x + 1)}{(2x + 1)(x + 1)} = \dfrac{3}{(2x + 1)(x + 1)}$$

Suy ra: $2(x + 1) + (2x + 1) = 3$

Bước 3. Giải:

$$2x + 2 + 2x + 1 = 3$$

$$4x + 3 = 3$$

$$4x = 0$$

$$x = 0$$

Bước 4. $x = 0$ thoả mãn ĐKXĐ ($x \neq -\dfrac{1}{2}$ và $x \neq -1$) ✓

Vậy phương trình có nghiệm $x = 0$.

Ví dụ 12. Giải phương trình $\dfrac{1}{x + 1} – \dfrac{x}{x^2 – x + 1} = \dfrac{3x}{x^3 + 1}$.

Lời giải chi tiết:

Trước hết, ta nhận thấy: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 – x + 1)$.

Ngoài ra, $x^2 – x + 1 = \left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} > 0$ với mọi $x$, nên $x^2 – x + 1$ luôn khác 0.

Bước 1. ĐKXĐ: $x + 1 \neq 0$, tức $x \neq -1$.

Bước 2. Quy đồng mẫu $(x + 1)(x^2 – x + 1)$ rồi khử mẫu:

$$(x^2 – x + 1) – x(x + 1) = 3x$$

Bước 3. Khai triển và thu gọn:

$$x^2 – x + 1 – x^2 – x = 3x$$

$$-2x + 1 = 3x$$

$$1 = 5x$$

$$x = \dfrac{1}{5}$$

Bước 4. $x = \dfrac{1}{5} \neq -1$ — thoả mãn ĐKXĐ ✓

Vậy phương trình có nghiệm $x = \dfrac{1}{5}$.

Ví dụ 13. Giải phương trình $\dfrac{1}{x – 1} – \dfrac{4x}{x^3 – 1} = \dfrac{x}{x^2 + x + 1}$.

Lời giải chi tiết:

Nhận thấy: $x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1)$.

Ngoài ra, $x^2 + x + 1 = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} > 0$ với mọi $x$, nên luôn khác 0.

Bước 1. ĐKXĐ: $x – 1 \neq 0$, tức $x \neq 1$.

Bước 2. Quy đồng mẫu $(x – 1)(x^2 + x + 1)$ rồi khử mẫu:

$$(x^2 + x + 1) – 4x = x(x – 1)$$

Bước 3. Khai triển:

• Vế trái: $x^2 + x + 1 – 4x = x^2 – 3x + 1$
• Vế phải: $x^2 – x$

$$x^2 – 3x + 1 = x^2 – x$$

$$-3x + 1 = -x$$

$$-2x = -1$$

$$x = \dfrac{1}{2}$$

Bước 4. $x = \dfrac{1}{2} \neq 1$ — thoả mãn ĐKXĐ ✓

Vậy phương trình có nghiệm $x = \dfrac{1}{2}$.

Ví dụ 14. (Trắc nghiệm) Nghiệm của phương trình $\dfrac{1}{x – 1} + \dfrac{x – 1}{x + 1} = 1$ là:

A. $x = -3$ $\qquad$ B. $x = 0$ $\qquad$ C. $x = 3$ $\qquad$ D. $x = -1$

Lời giải:

ĐKXĐ: $x \neq 1$, $x \neq -1$.

Quy đồng mẫu $(x – 1)(x + 1)$, khử mẫu:

$$(x + 1) + (x – 1)^2 = (x – 1)(x + 1)$$

$$x + 1 + x^2 – 2x + 1 = x^2 – 1$$

$$x^2 – x + 2 = x^2 – 1$$

$$-x + 2 = -1$$

$$-x = -3$$

$$x = 3$$

Kiểm tra: $x = 3 \neq \pm 1$ ✓. Đáp án: C.

Dạng 4: Bài toán thực tế dẫn đến phương trình tích hoặc phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp giải:

• Bước 1: Đọc kỹ đề, gọi ẩn $x$ và nêu điều kiện phù hợp (thường là $x > 0$ hoặc $x$ nằm trong khoảng nào đó).
• Bước 2: Dựa vào dữ kiện đề bài, lập phương trình theo $x$.
• Bước 3: Giải phương trình (đưa về PT tích hoặc khử mẫu).
• Bước 4: Đối chiếu nghiệm với điều kiện thực tế, rồi kết luận.

Ví dụ 15. (Bài toán mở đầu) Trong một khu vườn hình vuông có cạnh bằng 15 m, người ta làm một lối đi xung quanh vườn có bề rộng là $x$ (m). Để diện tích phần đất còn lại là 169 m² thì bề rộng $x$ là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $0 < x < 15$.

Phần đất còn lại (sau khi làm lối đi) là hình vuông có cạnh $(15 – x)$ m.

Diện tích phần còn lại bằng 169 m²:

$$(15 – x)^2 = 169$$

Khai triển: $225 – 30x + x^2 = 169$

$$x^2 – 30x + 56 = 0$$

Phân tích: $(x – 28)(x – 2) = 0$

• $x = 28$ (loại vì $28 > 15$, không thoả mãn điều kiện).
• $x = 2$ (thoả mãn).

Kiểm tra: $(15 – 2)^2 = 13^2 = 169$ ✓

Kết luận: Bề rộng lối đi là $x = 2$ m.

Ví dụ 16. Bác An có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều dài 14 m và chiều rộng 12 m. Bác dự định xây nhà trên mảnh đất đó và dành một phần diện tích đất để làm sân vườn (xem hình). Biết diện tích đất làm nhà là 100 m². Hỏi $x$ bằng bao nhiêu mét?

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $0 < x < 12$.

Theo hình, phần đất làm nhà có:

• Chiều rộng: $14 – (x + 2) = 12 – x$ (m).
• Chiều dài: $12 – x$ (m).

Diện tích nhà bằng 100 m²:

$$(12 – x)^2 = 100$$

Đưa về phương trình tích:

$$(12 – x)^2 – 10^2 = 0$$

$$(12 – x – 10)(12 – x + 10) = 0$$

$$(2 – x)(22 – x) = 0$$

• $2 – x = 0$, suy ra $x = 2$ (thoả mãn $0 < x < 12$) ✓
• $22 – x = 0$, suy ra $x = 22$ (loại vì $22 > 12$).

Kiểm tra: $(12 – 2)^2 = 100$ ✓

Kết luận: $x = 2$ m.

Ví dụ 17. Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong 8 giờ. Hai người cùng làm được 4 giờ thì người thứ nhất bị điều đi làm công việc khác. Người thứ hai tiếp tục làm việc trong 12 giờ nữa thì xong công việc. Gọi $x$ là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc ($x > 0$).

a) Biểu thị theo $x$: khối lượng công việc mỗi người làm được trong 1 giờ.

b) Lập phương trình theo $x$ và giải.

Lời giải chi tiết:

a) Coi toàn bộ công việc là 1.

Người thứ nhất làm một mình xong trong $x$ giờ → mỗi giờ làm được $\dfrac{1}{x}$ công việc.

Hai người cùng làm xong trong 8 giờ → mỗi giờ cả hai làm được $\dfrac{1}{8}$ công việc.

Vậy người thứ hai mỗi giờ làm được: $\dfrac{1}{8} – \dfrac{1}{x}$ công việc.

b) Trong 4 giờ đầu, cả hai cùng làm: $4 \cdot \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2}$ công việc.

Phần còn lại: $1 – \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$ công việc.

Người thứ hai làm $\dfrac{1}{2}$ công việc trong 12 giờ:

$$12 \cdot \left(\dfrac{1}{8} – \dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{1}{2}$$

$$\dfrac{12}{8} – \dfrac{12}{x} = \dfrac{1}{2}$$

$$\dfrac{3}{2} – \dfrac{12}{x} = \dfrac{1}{2}$$

$$\dfrac{12}{x} = \dfrac{3}{2} – \dfrac{1}{2} = 1$$

$$x = 12$$

Suy ra người thứ hai mỗi giờ làm: $\dfrac{1}{8} – \dfrac{1}{12} = \dfrac{3 – 2}{24} = \dfrac{1}{24}$ → làm một mình xong trong 24 giờ.

Kết luận: Người thứ nhất làm một mình xong trong 12 giờ, người thứ hai trong 24 giờ.

Ví dụ 18. (Trắc nghiệm) Hai người làm chung công việc trong 4 ngày thì xong. Nhưng chỉ làm được trong 2 ngày, người thứ nhất đi làm công việc khác, người thứ hai làm tiếp trong 6 ngày nữa thì xong. Hỏi người thứ nhất làm một mình thì bao lâu xong?

A. 6 ngày $\qquad$ B. 12 ngày $\qquad$ C. 24 ngày $\qquad$ D. 48 ngày

Lời giải:

Gọi thời gian người 1 làm một mình: $x$ (ngày), người 2: $y$ (ngày).

Làm chung: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}$.

2 ngày chung + 6 ngày người 2:

$$2\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\right) + 6 \cdot \dfrac{1}{y} = 1$$

$$2 \cdot \dfrac{1}{4} + \dfrac{6}{y} = 1$$

$$\dfrac{1}{2} + \dfrac{6}{y} = 1$$

$$\dfrac{6}{y} = \dfrac{1}{2} \implies y = 12$$

Từ đó: $\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{12} = \dfrac{3 – 1}{12} = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6} \implies x = 6$.

Đáp án: A.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải

Mẹo 1 — Nhận dạng hằng đẳng thức: Khi gặp dạng $A^2 – B^2$, lập tức phân tích thành $(A – B)(A + B)$. Ví dụ: $(2x + 1)^2 – 9x^2 = (2x + 1 – 3x)(2x + 1 + 3x)$.

Mẹo 2 — Tìm nhân tử chung trước: Khi đưa phương trình về vế trái bằng 0, hãy tìm nhân tử chung trước khi thử các cách nhóm phức tạp. Ví dụ: $(x^2 – 4) + x(x – 2) = 0$ → cả hai nhóm đều chứa $(x – 2)$.

Mẹo 3 — Phân tích $x^3 \pm 1$: Ghi nhớ hai hằng đẳng thức quan trọng:

$$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 – x + 1)$$

$$x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1)$$

Hai đa thức $x^2 – x + 1$ và $x^2 + x + 1$ luôn dương với mọi $x$, nên không cần lo về ĐKXĐ khi chúng ở mẫu.

Mẹo 4 — Kiểm tra ĐKXĐ bằng cách nhẩm: Trước khi giải, nhẩm nhanh các giá trị bị loại. Nếu nghiệm cuối cùng trùng với giá trị bị loại → vô nghiệm (tiết kiệm thời gian kiểm tra).

Tổng kết

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du