Bài 17 giới thiệu một tính chất quan trọng của đường phân giác trong tam giác: đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề. Tính chất này mở ra một công cụ tính toán mạnh, cho phép ta tìm độ dài đoạn thẳng, tính tỉ số, chứng minh đường thẳng song song, và giải quyết nhiều bài toán thực tế. Cùng với định lí Thalès và đường trung bình, đây là kiến thức nền tảng quan trọng trong chương Tam giác đồng dạng.

Tính chất đường phân giác của tam giác

Định lí

Trong một tam giác, nếu kẻ đường phân giác của một góc thì nó sẽ chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng. Hai đoạn thẳng này có tỉ số bằng tỉ số của hai cạnh kề tương ứng.

Định lí (Tính chất đường phân giác của tam giác):

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Phát biểu dưới dạng GT – KL:

$$\text{GT: } \triangle ABC, ; AD \text{ là đường phân giác của } \widehat{BAC} ; (D \in BC)$$

$$\text{KL: } \dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$$

Cách hiểu đơn giản: Đường phân giác từ đỉnh $A$ “chia” cạnh $BC$ tại $D$. Phần $DB$ (gần $B$) và phần $DC$ (gần $C$) có tỉ số đúng bằng tỉ số cạnh $AB$ trên cạnh $AC$. Cạnh nào dài hơn thì đoạn tương ứng trên $BC$ cũng dài hơn.

Chứng minh định lí

Vẽ đường thẳng qua $B$, song song với $AD$, cắt đường thẳng $AC$ tại $E$.

Vì $AD$ là phân giác của góc $A$ nên $\widehat{A_1} = \widehat{A_2}$.

Mặt khác, $EB \parallel AD$ nên:

• $\widehat{A_1} = \widehat{B_1}$ (hai góc so le trong).
• $\widehat{A_2} = \widehat{E}$ (hai góc đồng vị).

Suy ra $\widehat{B_1} = \widehat{E}$ (vì $\widehat{A_1} = \widehat{A_2}$), nên tam giác $AEB$ cân tại $A$.

Do đó: $AE = AB \quad (1)$

Áp dụng định lí Thalès vào tam giác $CEB$ (có $AD \parallel EB$):

$$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AE}{AC} \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:

$$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC} \quad \text{(đpcm)}$$

Chú ý (chiều đảo)

Trong tam giác $ABC$, nếu $D$ là điểm thuộc đoạn $BC$ và thỏa mãn $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ thì $AD$ là đường phân giác của góc $A$.

Chiều đảo này rất hữu ích: khi đã biết tỉ số $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ → kết luận ngay $AD$ là phân giác.

Ví dụ: Tính độ dài $x$ trong Hình 4.22.

Trong tam giác $MNP$ có $MI$ là đường phân giác của góc $M$ ($I \in NP$).

Theo tính chất đường phân giác:

$$\dfrac{IP}{IN} = \dfrac{MP}{MN}$$

Thay số: $IN = 15$, $MN = 24$, $MP = 32$, $IP = x$:

$$\dfrac{x}{15} = \dfrac{32}{24}$$

Suy ra:

$$x = \dfrac{15 \times 32}{24} = \dfrac{480}{24} = 20$$

Vậy $x = 20$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng và tỉ số bằng tính chất đường phân giác

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định tam giác chứa đường phân giác. Xác định rõ đỉnh phát ra phân giác, hai cạnh kề và cạnh đối diện bị chia.

Bước 2: Viết tỉ lệ thức theo tính chất đường phân giác: $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ (hai đoạn trên cạnh đối diện tỉ lệ với hai cạnh kề).

Bước 3: Thay các giá trị đã biết, giải tìm ẩn. Nếu biết tổng $DB + DC = BC$, có thể dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Ví dụ mẫu 1 (BT 4.10): Tính độ dài $x$ trong Hình 4.24.

Lời giải chi tiết:

Quan sát hình, trong tam giác $MNP$ có $NH$ là đường phân giác của góc $N$ ($H \in MP$).

Theo giả thiết: $MH = 3$, $HP = 5$, $MN = 5{,}1$, $NP = x$.

Theo tính chất đường phân giác, đường phân giác từ đỉnh $N$ chia cạnh đối diện $MP$ thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề:

$$\dfrac{MH}{HP} = \dfrac{MN}{NP}$$

Thay số:

$$\dfrac{3}{5} = \dfrac{5{,}1}{x}$$

Từ tỉ lệ thức, ta tính:

$$x = \dfrac{5 \times 5{,}1}{3} = \dfrac{25{,}5}{3} = 8{,}5$$

Vậy $x = 8{,}5$.

Ví dụ mẫu 2 (BT 4.11): Cho tam giác $ABC$. Đường phân giác của góc $A$ cắt $BC$ tại $D$. Tính độ dài đoạn thẳng $DC$ biết $AB = 4{,}5$ m; $AC = 7{,}0$ m và $CB = 3{,}5$ m.

Lời giải chi tiết:

Trong tam giác $ABC$, $AD$ là đường phân giác của góc $A$ ($D \in BC$).

Theo tính chất đường phân giác:

$$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{4{,}5}{7{,}0} = \dfrac{9}{14}$$

Ta có $DB + DC = BC = 3{,}5$ m.

Từ $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{9}{14}$, suy ra $DB = \dfrac{9}{14} \cdot DC$.

Thay vào $DB + DC = 3{,}5$:

$$\dfrac{9}{14} \cdot DC + DC = 3{,}5$$

$$DC \left(\dfrac{9}{14} + 1\right) = 3{,}5$$

$$DC \cdot \dfrac{23}{14} = 3{,}5$$

$$DC = 3{,}5 \times \dfrac{14}{23} = \dfrac{49}{23} \approx 2{,}1 \text{ (m)}$$

Vậy $DC \approx 2{,}1$ m.

Ví dụ mẫu 3 (Bài 3 giáo án): Tìm $x$, $y$ trong hình, biết $AM$ là đường phân giác của góc $A$ trong tam giác $ABC$, $AB = 5$, $AC = 6$, $BC = 6$, $BM = x$, $MC = y$.

Lời giải chi tiết:

Trong tam giác $ABC$, $AM$ là đường phân giác của góc $A$ ($M \in BC$).

Theo tính chất đường phân giác:

$$\dfrac{BM}{MC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{5}{6}$$

Ta có $BM + MC = BC$, tức $x + y = 6$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$$\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{x + y}{5 + 6} = \dfrac{6}{11}$$

Suy ra:

$$x = 5 \times \dfrac{6}{11} = \dfrac{30}{11}; \quad y = 6 \times \dfrac{6}{11} = \dfrac{36}{11}$$

Vậy $x = \dfrac{30}{11}$ và $y = \dfrac{36}{11}$.

Ví dụ mẫu 4 (Bài 1 giáo án): Cho tam giác $ABC$ cân tại $C$ có $AB = 3$ cm, $AC = 5$ cm. Đường phân giác $AD$ cắt đường trung tuyến $CM$ tại $I$.

a) Tính tỉ số $\dfrac{IC}{IM}$.

b) Tính tỉ số $\dfrac{CD}{CB}$.

Lời giải chi tiết:

Vì tam giác $ABC$ cân tại $C$ nên $AC = BC = 5$ cm.

$M$ là trung điểm $AB$ (vì $CM$ là trung tuyến), nên $MA = MB = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{3}{2}$ cm.

a) Xét tam giác $BMC$. Ta xét đường thẳng $BI$ (với $I \in CM$).

Trong tam giác $BMC$, $BI$ là đường phân giác của góc $B$ (do tính chất của cấu hình phân giác $AD$ và trung tuyến $CM$ trong tam giác cân).

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác $BMC$:

$$\dfrac{MI}{IC} = \dfrac{BM}{BC} = \dfrac{\dfrac{3}{2}}{5} = \dfrac{3}{10}$$

Suy ra:

$$\dfrac{IC}{IM} = \dfrac{10}{3}$$

b) Trong tam giác $ABC$, $AD$ là đường phân giác của góc $A$ ($D \in BC$).

Theo tính chất đường phân giác:

$$\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{3}{5}$$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$$\dfrac{BD}{3} = \dfrac{DC}{5} = \dfrac{BD + DC}{3 + 5} = \dfrac{BC}{8} = \dfrac{5}{8}$$

Suy ra:

$$\dfrac{DC}{BC} = \dfrac{DC}{BD + DC} = \dfrac{5}{3 + 5} = \dfrac{5}{8}$$

Vậy $\dfrac{CD}{CB} = \dfrac{5}{8}$.

Dạng 2: Chứng minh hệ thức tỉ số và đường thẳng song song

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định các đường phân giác trong hình. Áp dụng tính chất đường phân giác cho từng tam giác chứa phân giác để viết ra các tỉ lệ thức.

Bước 2: So sánh, biến đổi các tỉ lệ thức. Nếu hai tam giác có chung một cạnh (hoặc cạnh bằng nhau) → liên kết được các tỉ số.

Bước 3: Khi chứng minh song song, sử dụng kết quả tỉ số bằng nhau rồi áp dụng định lí Thalès đảo.

Ví dụ mẫu (Bài 2 giáo án): Cho tam giác $ABC$, trung tuyến $AD$. Vẽ tia phân giác $\widehat{ADB}$ cắt $AB$ tại $M$, tia phân giác $\widehat{ADC}$ cắt $AC$ tại $N$.

a) Chứng minh $\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{BD}{AD}$.

b) Chứng minh $\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{NC}{NA}$.

c) Chứng minh $MN \parallel BC$.

Lời giải chi tiết:

a) Xét tam giác $ABD$.

Trong tam giác $ABD$, $DM$ là đường phân giác của góc $\widehat{ADB}$ ($M \in AB$).

Theo tính chất đường phân giác, $DM$ chia cạnh đối diện $AB$ thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề:

$$\dfrac{MA}{MB} = \dfrac{DA}{DB}$$

Viết ngược lại:

$$\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{DB}{DA} = \dfrac{BD}{AD} \quad (1)$$

Vậy $\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{BD}{AD}$ (đpcm).

b) Xét tam giác $ADC$.

Trong tam giác $ADC$, $DN$ là đường phân giác của góc $\widehat{ADC}$ ($N \in AC$).

Theo tính chất đường phân giác:

$$\dfrac{NA}{NC} = \dfrac{DA}{DC}$$

Viết ngược lại:

$$\dfrac{NC}{NA} = \dfrac{DC}{DA} = \dfrac{CD}{AD} \quad (2)$$

Mà $D$ là trung điểm $BC$ (vì $AD$ là trung tuyến), nên:

$$BD = CD \quad (3)$$

Từ $(1)$, $(2)$ và $(3)$:

$$\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{BD}{AD} = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{NC}{NA}$$

Vậy $\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{NC}{NA}$ (đpcm).

c) Trong tam giác $ABC$, ta có $M \in AB$ và $N \in AC$ với:

$$\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{NC}{NA}$$

Viết lại dưới dạng: $\dfrac{MA}{MB} = \dfrac{NA}{NC}$, hay $\dfrac{AM}{AB – AM} = \dfrac{AN}{AC – AN}$.

Từ $\dfrac{MA}{MB} = \dfrac{NA}{NC}$, suy ra $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ (vì $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{a+b} = \dfrac{c}{c+d}$).

Theo định lí Thalès đảo: trong tam giác $ABC$, $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ nên:

$$MN \parallel BC \quad \text{(đpcm)}$$

Dạng 3: Bài toán ứng dụng thực tế

Phương pháp giải:

Bước 1: Đọc kỹ đề, vẽ hình và gán các đại lượng đã biết vào hình.

Bước 2: Xác định tam giác và đường phân giác trong hình. Viết tỉ lệ thức theo tính chất đường phân giác.

Bước 3: Tính toán để tìm đại lượng cần tìm. Đối chiếu kết quả với ý nghĩa thực tế (đơn vị, làm tròn nếu đề yêu cầu).

Ví dụ mẫu (BT 4.12): Nhà bạn Mai ở vị trí $M$, nhà bạn Dung ở vị trí $D$. Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình vuông và $M$ là trung điểm của $AB$. Hai bạn đi bộ với cùng một vận tốc trên con đường $MD$ để đến điểm $I$. Bạn Mai xuất phát lúc 7h. Hỏi bạn Dung phải xuất phát lúc mấy giờ để gặp bạn Mai lúc 7h30 tại điểm $I$?

Lời giải chi tiết:

Từ hình vẽ, $I$ là giao điểm của đoạn $MD$ với đường chéo $AC$ của hình vuông.

Tìm tỉ số $MI : ID$:

Vì $ABCD$ là hình vuông nên đường chéo $AC$ là đường phân giác của góc $\widehat{DAB}$ (vì $\widehat{BAC} = \widehat{DAC} = 45°$).

Xét tam giác $MAD$ (có đỉnh $A$, hai cạnh $AM$ và $AD$, cạnh đối diện $MD$):

• $I$ là giao điểm của $AC$ với $MD$, tức $I \in MD$.
• $AI$ nằm trên đường chéo $AC$, là đường phân giác của góc $\widehat{MAD}$ (vì $\widehat{MAD} = \widehat{BAD} = 90°$ và $AC$ chia góc này thành hai góc $45°$).

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác $MAD$:

$$\dfrac{MI}{ID} = \dfrac{MA}{AD}$$

Gọi cạnh hình vuông là $a$:

• $MA = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{a}{2}$ (vì $M$ là trung điểm $AB$).
• $AD = a$ (cạnh hình vuông).

Suy ra:

$$\dfrac{MI}{ID} = \dfrac{a/2}{a} = \dfrac{1}{2}$$

Do đó: $MI : ID = 1 : 2$, nghĩa là $MI = \dfrac{1}{3}MD$ và $DI = \dfrac{2}{3}MD$.

Tính thời gian đi của mỗi bạn:

Hai bạn đi cùng vận tốc, gọi là $v$.

Bạn Mai đi từ $M$ đến $I$: quãng đường $MI = \dfrac{1}{3}MD$.

Thời gian Mai đi: $t_{Mai} = \dfrac{MI}{v} = \dfrac{MD}{3v}$.

Mai xuất phát lúc 7h, đến $I$ lúc 7h30, nên Mai đi trong $30$ phút:

$$\dfrac{MD}{3v} = 30 \text{ phút} \implies \dfrac{MD}{v} = 90 \text{ phút}$$

Bạn Dung đi từ $D$ đến $I$: quãng đường $DI = \dfrac{2}{3}MD$.

Thời gian Dung đi: $t_{Dung} = \dfrac{DI}{v} = \dfrac{2MD}{3v} = \dfrac{2}{3} \times 90 = 60$ phút.

Dung cần đến $I$ lúc 7h30, nên Dung phải xuất phát lúc:

$$7\text{h}30 – 60 \text{ phút} = 6\text{h}30$$

Vậy bạn Dung phải xuất phát lúc 6 giờ 30 phút.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Công thức tính nhanh $DB$ và $DC$: Nếu $AD$ là phân giác của góc $A$ trong tam giác $ABC$ ($D \in BC$) thì:

$$DB = \dfrac{AB}{AB + AC} \cdot BC; \qquad DC = \dfrac{AC}{AB + AC} \cdot BC$$

Công thức này suy trực tiếp từ tính chất dãy tỉ số bằng nhau, giúp tính rất nhanh mà không cần đặt ẩn.

Mẹo 2 — Nhớ quy tắc “cùng phía”: Đoạn $DB$ (phía $B$) ứng với cạnh $AB$ (phía $B$); đoạn $DC$ (phía $C$) ứng với cạnh $AC$ (phía $C$). Cứ đoạn nào gần đỉnh nào thì tỉ lệ với cạnh kề đỉnh đó.

Mẹo 3 — Kết hợp phân giác với Thalès đảo: Khi bài cho hai đường phân giác trong hai tam giác có chung cạnh, tính các tỉ số rồi so sánh. Nếu bằng nhau → kết luận song song bằng Thalès đảo (như Bài 2 giáo án).

Mẹo 4 — Đường chéo hình vuông là phân giác: Đường chéo hình vuông luôn chia góc vuông thành hai góc $45°$, tức là đường phân giác. Tính chất này hay xuất hiện trong bài ứng dụng thực tế (như BT 4.12).

Tổng kết

Qua Bài 17, các em cần nắm vững:

Tính chất đường phân giác: Trong tam giác $ABC$, đường phân giác từ đỉnh $A$ chia cạnh đối diện $BC$ tại $D$ sao cho $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$. Đây là công thức cốt lõi của toàn bài.

Chiều đảo: Nếu $D \in BC$ và $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ thì $AD$ là phân giác góc $A$. Dùng để chứng minh một đoạn thẳng là đường phân giác.

Ba dạng bài tập cốt lõi: tính độ dài và tỉ số đoạn thẳng bằng tỉ lệ thức phân giác, chứng minh hệ thức tỉ số kết hợp với Thalès đảo để suy ra song song, và bài toán ứng dụng thực tế. Nắm vững tính chất đường phân giác sẽ giúp các em giải quyết nhiều bài toán trong chương Tam giác đồng dạng phía sau.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du