Lớp 11 · Toán
Bài 15
Giới Hạn Của Dãy Số
Giới hạn hữu hạn · Quy tắc tính · Cấp số nhân lùi vô hạn · Giới hạn vô cực
1
Giới hạn $0$ và giới hạn hữu hạn của dãy số
▼
Định nghĩa giới hạn $0$
Dãy số $(u_n)$ có giới hạn là $0$ khi $n$ dần tới dương vô cực nếu $|u_n|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0 \quad$ hoặc $\quad u_n \to 0$ khi $n \to +\infty$
Các giới hạn cơ bản bằng $0$
• $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^k} = 0$ với $k$ là số nguyên dương.
• $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$ với $|q| < 1$.
• Định lý kẹp: nếu $|u_n| \leq v_n$ với mọi $n$ và $\displaystyle\lim v_n = 0$ thì $\displaystyle\lim u_n = 0$.
• $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$ với $|q| < 1$.
• Định lý kẹp: nếu $|u_n| \leq v_n$ với mọi $n$ và $\displaystyle\lim v_n = 0$ thì $\displaystyle\lim u_n = 0$.
Định nghĩa giới hạn hữu hạn
Dãy số $(u_n)$ có giới hạn là số thực $a$ khi $n$ dần tới dương vô cực nếu:
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (u_n - a) = 0 \;\Leftrightarrow\; \displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = a$
💡 Chú ý quan trọng
• Nếu $u_n = c$ (hằng số) với mọi $n$ thì $\displaystyle\lim u_n = c$.
• Để chứng minh $\displaystyle\lim u_n = a$, ta chỉ cần chứng minh $\displaystyle\lim (u_n - a) = 0$.
• Để chứng minh $\displaystyle\lim u_n = a$, ta chỉ cần chứng minh $\displaystyle\lim (u_n - a) = 0$.
💡 Ví dụ 1 — Áp dụng định lý kẹp
Chứng minh $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{2^n} = 0$
B1.Ta có $\left|\dfrac{(-1)^{n-1}}{2^n}\right| = \dfrac{1}{2^n} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$
B2.Vì $\left|\dfrac{1}{2}\right| < 1$ nên $\displaystyle\lim \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$
B3.Áp dụng định lý kẹp: $\displaystyle\lim \dfrac{(-1)^{n-1}}{2^n} = 0$
💡 Ví dụ 2 — Giới hạn hữu hạn
Cho dãy số $u_n = \dfrac{2n + 1}{n}$. Chứng minh $\displaystyle\lim u_n = 2$
B1.Xét hiệu: $u_n - 2 = \dfrac{2n + 1}{n} - 2 = \dfrac{2n + 1 - 2n}{n} = \dfrac{1}{n}$
B2.Vì $\displaystyle\lim \dfrac{1}{n} = 0$ nên $\displaystyle\lim (u_n - 2) = 0$
B3.Vậy $\displaystyle\lim u_n = 2$
2
Định lý về giới hạn hữu hạn (Quy tắc tính)
▼
Các quy tắc tính giới hạn
Nếu $\displaystyle\lim u_n = a$ và $\displaystyle\lim v_n = b$ thì:
| Phép toán | Công thức |
|---|---|
| Tổng | $\lim (u_n + v_n) = a + b$ |
| Hiệu | $\lim (u_n - v_n) = a - b$ |
| Tích | $\lim (u_n \cdot v_n) = a \cdot b$ |
| Thương | $\lim \dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{a}{b}$ (nếu $b \neq 0$) |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
Quy tắc căn bậc hai
Nếu $u_n \geq 0$ với mọi $n$ và $\displaystyle\lim u_n = a$ thì $a \geq 0$ và $\displaystyle\lim \sqrt{u_n} = \sqrt{a}$
💡 Ví dụ 3 — Áp dụng quy tắc
Cho $\displaystyle\lim u_n = 2$, $\displaystyle\lim v_n = 3$. Tính $\displaystyle\lim \sqrt{u_n + 2v_n}$
B1.Tính $\displaystyle\lim (u_n + 2v_n) = \lim u_n + 2 \lim v_n = 2 + 2 \cdot 3 = 8$
B2.Vì $u_n + 2v_n \geq 0$ và $\displaystyle\lim (u_n + 2v_n) = 8 \geq 0$, áp dụng quy tắc căn:
B3.$\displaystyle\lim \sqrt{u_n + 2v_n} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
3
Tính giới hạn của dãy phân thức $\dfrac{P(n)}{Q(n)}$
▼
Phương pháp chung
Chia cả tử và mẫu cho $n^k$, trong đó $k$ là bậc cao nhất xuất hiện trong tử hoặc mẫu, rồi áp dụng các giới hạn cơ bản $\displaystyle\lim \dfrac{1}{n^p} = 0$.
Quy tắc so sánh bậc (mẹo nhanh)
• Bậc tử < bậc mẫu: $\displaystyle\lim \dfrac{P(n)}{Q(n)} = 0$
• Bậc tử $=$ bậc mẫu: $\displaystyle\lim \dfrac{P(n)}{Q(n)} = \dfrac{\text{hệ số bậc cao nhất ở tử}}{\text{hệ số bậc cao nhất ở mẫu}}$
• Bậc tử $>$ bậc mẫu: $\displaystyle\lim \dfrac{P(n)}{Q(n)} = \pm\infty$ (dấu tuỳ theo dấu hệ số bậc cao nhất)
• Bậc tử $=$ bậc mẫu: $\displaystyle\lim \dfrac{P(n)}{Q(n)} = \dfrac{\text{hệ số bậc cao nhất ở tử}}{\text{hệ số bậc cao nhất ở mẫu}}$
• Bậc tử $>$ bậc mẫu: $\displaystyle\lim \dfrac{P(n)}{Q(n)} = \pm\infty$ (dấu tuỳ theo dấu hệ số bậc cao nhất)
💡 Ví dụ 4 — Bậc tử $=$ bậc mẫu
Tính $\displaystyle\lim \dfrac{n^2 + n + 1}{2n^2 + 1}$
B1.Bậc tử $=$ bậc mẫu $= 2$, chia cả tử và mẫu cho $n^2$:
$\displaystyle\lim \dfrac{n^2 + n + 1}{2n^2 + 1} = \displaystyle\lim \dfrac{1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2}}{2 + \dfrac{1}{n^2}}$
B2.Khi $n \to +\infty$ thì $\dfrac{1}{n} \to 0$, $\dfrac{1}{n^2} \to 0$, nên:
$= \dfrac{1 + 0 + 0}{2 + 0} = \dfrac{1}{2}$
✓Kiểm tra nhanh: bậc bằng nhau, tỉ số hệ số $= \dfrac{1}{2}$
💡 Ví dụ 5 — Có căn ở tử
Tính $\displaystyle\lim \dfrac{\sqrt{2n^2 + 1}}{n + 1}$
B1.Bậc mẫu là $1$, chia cả tử và mẫu cho $n$:
B2.Tử: $\dfrac{\sqrt{2n^2+1}}{n} = \sqrt{\dfrac{2n^2+1}{n^2}} = \sqrt{2 + \dfrac{1}{n^2}}$
B3.Mẫu: $\dfrac{n+1}{n} = 1 + \dfrac{1}{n}$
$\displaystyle\lim \dfrac{\sqrt{2n^2+1}}{n+1} = \displaystyle\lim \dfrac{\sqrt{2 + \frac{1}{n^2}}}{1 + \frac{1}{n}} = \dfrac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}$
4
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
▼
Định nghĩa
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn $(u_n)$ có công bội $q$ thoả mãn $|q| < 1$.
Công thức tổng
$S = u_1 + u_2 + \ldots + u_n + \ldots = \dfrac{u_1}{1 - q}$ (với $|q| < 1$)
🔧 Các bước áp dụng
Bước 1: Xác định số hạng đầu $u_1$.
Bước 2: Xác định công bội $q = \dfrac{u_2}{u_1}$.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện $|q| < 1$.
Bước 4: Áp dụng công thức $S = \dfrac{u_1}{1 - q}$.
Bước 2: Xác định công bội $q = \dfrac{u_2}{u_1}$.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện $|q| < 1$.
Bước 4: Áp dụng công thức $S = \dfrac{u_1}{1 - q}$.
💡 Ví dụ 6 — Tính tổng CSN lùi vô hạn
Tính $S = 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{8} + \ldots$
B1.Đây là CSN lùi vô hạn với $u_1 = 1$, $q = -\dfrac{1}{2}$
B2.Kiểm tra: $|q| = \dfrac{1}{2} < 1$ ✓
B3.Áp dụng công thức:
$S = \dfrac{u_1}{1 - q} = \dfrac{1}{1 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)} = \dfrac{1}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{2}{3}$
📌 Ứng dụng: Số thập phân tuần hoàn
Mọi số thập phân vô hạn tuần hoàn đều có thể viết dưới dạng tổng cấp số nhân lùi vô hạn. Công thức nhanh:
• $0{,}\overline{a} = \dfrac{a}{9}$
• $0{,}\overline{ab} = \dfrac{ab}{99}$
• $0{,}\overline{abc} = \dfrac{abc}{999}$
Quy tắc: chu kỳ có $k$ chữ số $\Rightarrow$ mẫu có $k$ chữ số $9$.
• $0{,}\overline{a} = \dfrac{a}{9}$
• $0{,}\overline{ab} = \dfrac{ab}{99}$
• $0{,}\overline{abc} = \dfrac{abc}{999}$
Quy tắc: chu kỳ có $k$ chữ số $\Rightarrow$ mẫu có $k$ chữ số $9$.
💡 Ví dụ 7 — Số thập phân tuần hoàn
Viết $1{,}\overline{12} = 1{,}121212\ldots$ dưới dạng phân số
B1.Tách: $1{,}121212\ldots = 1 + 0{,}121212\ldots$
B2.Phần $0{,}\overline{12}$ có chu kỳ $2$ chữ số nên $0{,}\overline{12} = \dfrac{12}{99} = \dfrac{4}{33}$
B3.Vậy $1{,}\overline{12} = 1 + \dfrac{4}{33} = \dfrac{33 + 4}{33} = \dfrac{37}{33}$
5
Giới hạn vô cực & nhân liên hợp
▼
Định nghĩa
• $\displaystyle\lim u_n = +\infty$ nếu $u_n$ có thể lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
• $\displaystyle\lim u_n = -\infty$ nếu $\displaystyle\lim (-u_n) = +\infty$.
• $\displaystyle\lim u_n = -\infty$ nếu $\displaystyle\lim (-u_n) = +\infty$.
Các giới hạn cơ bản
• $\displaystyle\lim n^k = +\infty$ với $k$ nguyên dương.
• $\displaystyle\lim q^n = +\infty$ với $q > 1$.
• Nếu $\displaystyle\lim u_n = a$ và $\displaystyle\lim v_n = \pm\infty$ thì $\displaystyle\lim \dfrac{u_n}{v_n} = 0$.
• Nếu $\displaystyle\lim u_n = a > 0$, $\displaystyle\lim v_n = 0$, $v_n > 0$ thì $\displaystyle\lim \dfrac{u_n}{v_n} = +\infty$.
• Nếu $\displaystyle\lim u_n = +\infty$ và $\displaystyle\lim v_n = a > 0$ thì $\displaystyle\lim (u_n \cdot v_n) = +\infty$.
• $\displaystyle\lim q^n = +\infty$ với $q > 1$.
• Nếu $\displaystyle\lim u_n = a$ và $\displaystyle\lim v_n = \pm\infty$ thì $\displaystyle\lim \dfrac{u_n}{v_n} = 0$.
• Nếu $\displaystyle\lim u_n = a > 0$, $\displaystyle\lim v_n = 0$, $v_n > 0$ thì $\displaystyle\lim \dfrac{u_n}{v_n} = +\infty$.
• Nếu $\displaystyle\lim u_n = +\infty$ và $\displaystyle\lim v_n = a > 0$ thì $\displaystyle\lim (u_n \cdot v_n) = +\infty$.
💡 Ví dụ 8 — Đặt nhân tử chung
Tính $\displaystyle\lim (n^2 - 2n)$
B1.Đặt $n^2$ làm nhân tử chung: $n^2 - 2n = n^2 \left(1 - \dfrac{2}{n}\right)$
B2.Xét: $\displaystyle\lim n^2 = +\infty$ và $\displaystyle\lim \left(1 - \dfrac{2}{n}\right) = 1 > 0$
B3.Áp dụng quy tắc: $\displaystyle\lim (n^2 - 2n) = +\infty$
⚠️ Dạng vô định $\infty - \infty$: Nhân liên hợp
$\sqrt{A} - B = \dfrac{(\sqrt{A} - B)(\sqrt{A} + B)}{\sqrt{A} + B} = \dfrac{A - B^2}{\sqrt{A} + B}$
💡 Ví dụ 9 — Nhân liên hợp
Tính $\displaystyle\lim \left(\sqrt{n^2 + 2n} - n\right)$
B1.Đây là dạng vô định $\infty - \infty$. Nhân và chia cho lượng liên hợp:
$\sqrt{n^2 + 2n} - n = \dfrac{(n^2 + 2n) - n^2}{\sqrt{n^2 + 2n} + n} = \dfrac{2n}{\sqrt{n^2 + 2n} + n}$
B2.Chia cả tử và mẫu cho $n$:
$= \dfrac{2}{\sqrt{1 + \dfrac{2}{n}} + 1}$
B3.Khi $n \to +\infty$ thì $\dfrac{2}{n} \to 0$, do đó:
$\displaystyle\lim \left(\sqrt{n^2 + 2n} - n\right) = \dfrac{2}{\sqrt{1} + 1} = \dfrac{2}{2} = 1$
6
Tổng kết công thức
▼
📋 Bảng tổng hợp giới hạn cơ bản và công thức
| Giới hạn / Công thức | Kết quả | Điều kiện |
|---|---|---|
| $\displaystyle\lim \dfrac{1}{n^k}$ | $0$ | $k$ nguyên dương |
| $\displaystyle\lim q^n$ | $0$ | $|q| < 1$ |
| $\displaystyle\lim q^n$ | $+\infty$ | $q > 1$ |
| $\displaystyle\lim n^k$ | $+\infty$ | $k$ nguyên dương |
| $\displaystyle\lim c$ | $c$ | $c$ là hằng số |
| Tổng CSN lùi vô hạn | $S = \dfrac{u_1}{1-q}$ | $|q| < 1$ |
| $0{,}\overline{abc\ldots}$ ($k$ chữ số) | $\dfrac{abc\ldots}{\underbrace{99\ldots 9}_{k\,\text{số}}}$ | — |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📚
Xem thêm: Bài viết chi tiết về giới hạn của dãy số — công thức, quy tắc tính và phương pháp giải trên edus.vn
→
1
—
Điểm: 0/26
🎯
Luyện tập Giới hạn của dãy số!
26 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/26
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh