Lớp 11 · Toán
Bài 14
Phép Chiếu Song Song
Định nghĩa · Tính chất · Hình biểu diễn
1
Định nghĩa phép chiếu song song
▼
Định nghĩa
Cho mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $\Delta$ cắt $(\alpha)$. Với mỗi điểm $M$ trong không gian, ta xác định điểm $M'$ như sau:
• Nếu $M \in \Delta$ thì $M'$ là giao điểm của $(\alpha)$ và $\Delta$.
• Nếu $M \notin \Delta$ thì $M'$ là giao điểm của $(\alpha)$ và đường thẳng qua $M$ song song với $\Delta$.
Điểm $M'$ được gọi là hình chiếu song song của $M$ trên $(\alpha)$ theo phương $\Delta$.
• Nếu $M \in \Delta$ thì $M'$ là giao điểm của $(\alpha)$ và $\Delta$.
• Nếu $M \notin \Delta$ thì $M'$ là giao điểm của $(\alpha)$ và đường thẳng qua $M$ song song với $\Delta$.
Điểm $M'$ được gọi là hình chiếu song song của $M$ trên $(\alpha)$ theo phương $\Delta$.
Hình minh hoạ: Phép chiếu song song điểm $M$ lên $(\alpha)$ theo phương $\Delta$
📍 Các yếu tố của phép chiếu
• Mặt phẳng $(\alpha)$ — gọi là mặt phẳng chiếu.
• Đường thẳng $\Delta$ (cắt $(\alpha)$) — gọi là phương chiếu.
• Phép đặt tương ứng $M \to M'$ — gọi là phép chiếu song song lên $(\alpha)$ theo phương $\Delta$.
• Đường thẳng $\Delta$ (cắt $(\alpha)$) — gọi là phương chiếu.
• Phép đặt tương ứng $M \to M'$ — gọi là phép chiếu song song lên $(\alpha)$ theo phương $\Delta$.
Hình chiếu của một hình
Cho hình $\mathcal{H}$. Tập hợp $\mathcal{H}'$ gồm các hình chiếu $M'$ của các điểm $M$ thuộc $\mathcal{H}$ được gọi là hình chiếu của $\mathcal{H}$ qua phép chiếu song song đó.
💡 Ví dụ thực tế
• Bóng đổ của người, cây dưới ánh mặt trời chính là hình chiếu song song (vì các tia mặt trời gần như song song).
• Hình chiếu của một vật trên mặt đất khi ánh sáng song song chiếu xuống.
• Hình chiếu của một vật trên mặt đất khi ánh sáng song song chiếu xuống.
⚠️ Chú ý
Nếu một đường thẳng cùng phương với phương chiếu $\Delta$ thì hình chiếu của đường thẳng đó là một điểm. Từ đây, khi xét hình chiếu của đường thẳng, ta chỉ xét các đường thẳng không cùng phương với phương chiếu.
💡 Ví dụ 1
Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. Xác định hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng $(A'B'C')$ theo phương $CC'$
Hình minh hoạ: $A$ chiếu thành $A'$ trên $(A'B'C')$ theo phương $CC'$
→ Vì $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ nên $AA' \parallel BB' \parallel CC'$ (các cạnh bên đôi một song song)
→ Đường thẳng qua $A$ song song với $CC'$ chính là đường thẳng $AA'$
→ Đường thẳng $AA'$ cắt mặt phẳng $(A'B'C')$ tại $A'$
Vậy hình chiếu của $A$ trên $(A'B'C')$ theo phương $CC'$ là điểm $A'$
2
Ba tính chất của phép chiếu song song
▼
⚡ Tính chất 1 — Bảo toàn thẳng hàng
Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
Hệ quả: Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Hệ quả: Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
⚡ Tính chất 2 — Bảo toàn song song
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Hình minh hoạ: Hai đường thẳng song song chiếu thành $2$ đường song song (hoặc trùng)
⚡ Tính chất 3 — Bảo toàn tỉ số
Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.
$\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{A'B'}{C'D'}$
Hình minh hoạ: Tính chất bảo toàn tỉ số độ dài
🎯 Mẹo nhớ "$3$ BẢO TOÀN"
Phép chiếu song song bảo toàn $3$ thứ:
• Thẳng hàng — $3$ điểm thẳng hàng và giữ thứ tự.
• Song song — $2$ đường // → $2$ đường // (hoặc trùng).
• Tỉ số — tỉ số độ dài trên cùng đường hoặc trên $2$ đường //.
• Thẳng hàng — $3$ điểm thẳng hàng và giữ thứ tự.
• Song song — $2$ đường // → $2$ đường // (hoặc trùng).
• Tỉ số — tỉ số độ dài trên cùng đường hoặc trên $2$ đường //.
📍 Hệ quả quan trọng
Từ $3$ tính chất, suy ra phép chiếu song song biến:
• Trung điểm đoạn thẳng → trung điểm của đoạn thẳng chiếu.
• Đường trung tuyến của tam giác → đường trung tuyến tương ứng.
• Đường trung bình → đường trung bình.
• Trọng tâm tam giác → trọng tâm tam giác chiếu.
• Hình bình hành → hình bình hành.
• Hình thang → hình thang (giữ nguyên tỉ số $2$ đáy).
• Trung điểm đoạn thẳng → trung điểm của đoạn thẳng chiếu.
• Đường trung tuyến của tam giác → đường trung tuyến tương ứng.
• Đường trung bình → đường trung bình.
• Trọng tâm tam giác → trọng tâm tam giác chiếu.
• Hình bình hành → hình bình hành.
• Hình thang → hình thang (giữ nguyên tỉ số $2$ đáy).
⚠️ Lưu ý không bảo toàn
Phép chiếu song song KHÔNG bảo toàn:
• Độ dài đoạn thẳng (chỉ bảo toàn tỉ số).
• Số đo góc.
• Hình dạng tam giác (đều, cân, vuông không bảo toàn).
• Độ dài đoạn thẳng (chỉ bảo toàn tỉ số).
• Số đo góc.
• Hình dạng tam giác (đều, cân, vuông không bảo toàn).
3
Áp dụng các tính chất qua ví dụ
▼
💡 Ví dụ 2 — Hình bình hành
Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $A'B'C'D'$ là hình chiếu của $ABCD$ trên mặt phẳng $(P)$ theo phương $\Delta$. Chứng minh tứ giác $A'B'C'D'$ là hình bình hành
→ Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB \parallel CD$
→ Theo Tính chất $2$: hình chiếu của $2$ đường thẳng song song là $2$ đường thẳng song song (hoặc trùng)
→ Do đó $A'B' \parallel C'D'$ (không trùng nhau, vì $4$ điểm không thẳng hàng)
→ Tương tự, $AD \parallel BC$ nên $A'D' \parallel B'C'$
Tứ giác $A'B'C'D'$ có $A'B' \parallel C'D'$ và $A'D' \parallel B'C'$ nên là hình bình hành (đpcm)
💡 Ví dụ 3 — Trung điểm và trung tuyến
Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm $BC$. Phép chiếu song song biến tam giác $ABC$ thành $A'B'C'$ và biến $M$ thành $M'$. Chứng minh $A'M'$ là đường trung tuyến của tam giác $A'B'C'$
→ Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $B, M, C$ thẳng hàng theo thứ tự đó và $\dfrac{BM}{MC} = 1$
→ Theo Tính chất $1$: $B', M', C'$ thẳng hàng theo đúng thứ tự đó
→ Theo Tính chất $3$: $\dfrac{B'M'}{M'C'} = \dfrac{BM}{MC} = 1$
→ Suy ra $M'$ là trung điểm $B'C'$
Vậy $A'M'$ là đường trung tuyến của tam giác $A'B'C'$ (đpcm)
💡 Ví dụ 4 — Trọng tâm
Chứng minh rằng phép chiếu song song biến trọng tâm tam giác $ABC$ thành trọng tâm tam giác chiếu $A'B'C'$
→ Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $BC$. Khi đó $G \in AM$ và $\dfrac{AG}{GM} = 2$
→ Gọi $G', M'$ là hình chiếu của $G, M$. Theo Ví dụ $3$: $M'$ là trung điểm $B'C'$, nên $A'M'$ là trung tuyến của $\triangle A'B'C'$
→ Theo Tính chất $1$: $A, G, M$ thẳng hàng theo thứ tự đó → $A', G', M'$ thẳng hàng theo đúng thứ tự đó, tức $G' \in A'M'$
→ Theo Tính chất $3$: $\dfrac{A'G'}{G'M'} = \dfrac{AG}{GM} = 2$
$G'$ nằm trên trung tuyến $A'M'$ và chia trung tuyến theo tỉ số $2:1$ tính từ đỉnh → $G'$ là trọng tâm của $\triangle A'B'C'$ (đpcm)
4
Hình biểu diễn của một hình không gian
▼
Định nghĩa
Hình biểu diễn của một hình trong không gian là hình chiếu song song của hình đó trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó, hoặc là hình đồng dạng với hình chiếu ấy.
Khi vẽ tứ diện, hình lập phương, hình lăng trụ... trên giấy, thực chất ta đang vẽ hình biểu diễn của chúng.
Khi vẽ tứ diện, hình lập phương, hình lăng trụ... trên giấy, thực chất ta đang vẽ hình biểu diễn của chúng.
Hình minh hoạ: Một số cách vẽ hình biểu diễn của hình lập phương
📋 Quy tắc hình biểu diễn của các hình phẳng
(Khi hình phẳng nằm trong mặt phẳng không song song với phương chiếu)
• Tam giác (đều, cân, vuông) → tam giác bất kì.
• Hình vuông, chữ nhật, hình thoi, hình bình hành → đều vẽ thành hình bình hành.
• Hình thang (với $AB \parallel CD$) → hình thang (giữ nguyên tỉ số $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{A'B'}{C'D'}$).
• Hình tròn → hình elip.
• Tam giác (đều, cân, vuông) → tam giác bất kì.
• Hình vuông, chữ nhật, hình thoi, hình bình hành → đều vẽ thành hình bình hành.
• Hình thang (với $AB \parallel CD$) → hình thang (giữ nguyên tỉ số $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{A'B'}{C'D'}$).
• Hình tròn → hình elip.
🎯 Mẹo nhớ
• "Tứ giác đặc biệt → bình hành": vuông, chữ nhật, thoi, bình hành đều có $2$ cặp cạnh đối song song → biểu diễn thành hình bình hành.
• "Tròn → elip": hình tròn biến thành hình elip.
• Tam giác đặc biệt (đều, cân, vuông) đều biểu diễn thành tam giác bất kì — không cần giữ tính chất đặc biệt.
• "Tròn → elip": hình tròn biến thành hình elip.
• Tam giác đặc biệt (đều, cân, vuông) đều biểu diễn thành tam giác bất kì — không cần giữ tính chất đặc biệt.
✏️ Quy tắc vẽ nét
• Dùng nét liền cho cạnh nhìn thấy.
• Dùng nét đứt cho cạnh bị che khuất.
• Giữ tỉ lệ các đoạn thẳng trên cùng đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.
• Dùng nét đứt cho cạnh bị che khuất.
• Giữ tỉ lệ các đoạn thẳng trên cùng đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.
💡 Ví dụ 5 — Vẽ hình biểu diễn của hình chóp
Vẽ hình biểu diễn của hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB \parallel CD$ và $AB = 2$ cm, $CD = 6$ cm
Hình minh hoạ: Hình biểu diễn $S.ABCD$ với đáy là hình thang, tỉ số $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{1}{3}$
→ Tỉ số $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$, hình biểu diễn của đáy là hình thang với tỉ số $2$ đáy bằng $\dfrac{1}{3}$
→ Vẽ hình thang $ABCD$ trên giấy với $AB \parallel CD$ và $AB = \dfrac{1}{3}CD$
→ Chọn vị trí đỉnh $S$ phía trên, nối $S$ với $A, B, C, D$
→ Vẽ nét liền cho các cạnh nhìn thấy ($SA, SB, SC, AB, BC$), nét đứt cho cạnh khuất ($SD, AD, DC$)
Lưu ý: phải giữ tỉ số $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{1}{3}$ theo Tính chất $3$ của phép chiếu song song
5
Ứng dụng thực tế và bài toán bóng đổ
▼
🌞 Ánh sáng mặt trời và bóng đổ
Các tia sáng mặt trời gần như song song với nhau, nên bóng đổ của vật thể trên mặt đất chính là hình chiếu song song:
• Phương chiếu = phương các tia sáng.
• Mặt phẳng chiếu = mặt đất (hoặc bề mặt nhận bóng).
Do đó: hai vật có cạnh song song → bóng của chúng cũng song song.
• Phương chiếu = phương các tia sáng.
• Mặt phẳng chiếu = mặt đất (hoặc bề mặt nhận bóng).
Do đó: hai vật có cạnh song song → bóng của chúng cũng song song.
💡 Ví dụ 6 — Bóng của chiếc thang
$AB$ và $CD$ là bóng của hai thanh chắn của một chiếc thang dưới ánh mặt trời. Giải thích tại sao $AB \parallel CD$
Hình minh hoạ: Bóng đổ của các thanh chắn song song
→ Dưới ánh mặt trời, các tia sáng gần như song song với nhau, nên bóng đổ trên mặt đất là hình chiếu song song theo phương các tia sáng
→ Hai thanh chắn của chiếc thang vốn là $2$ thanh ngang song song với nhau (tính chất của chiếc thang)
→ Gọi $2$ thanh chắn thật là $A_0 B_0$ và $C_0 D_0$ với $A_0 B_0 \parallel C_0 D_0$. Bóng của chúng lần lượt là $AB$ và $CD$
→ Áp dụng Tính chất $2$ của phép chiếu song song: hình chiếu của $2$ đường thẳng song song là $2$ đường thẳng song song (hoặc trùng)
Vì $A_0 B_0 \parallel C_0 D_0$ nên bóng của chúng cũng song song: $AB \parallel CD$ (đpcm)
💡 Ví dụ 7 — Công nghệ Goal-line
Trong bóng đá, công nghệ Goal-line xác định bàn thắng nhờ hình chiếu của quả bóng trên mặt sân theo phương thẳng đứng. Khi nào thì bàn thắng được công nhận
→ Công nghệ Goal-line sử dụng phép chiếu song song theo phương thẳng đứng (vuông góc với mặt sân)
→ Hình chiếu của quả bóng trên mặt sân là "bóng" của quả bóng khi chiếu thẳng đứng xuống
→ Bàn thắng được công nhận khi quả bóng đã vượt qua hoàn toàn vạch vôi
Tức là: hình chiếu của quả bóng (theo phương thẳng đứng) nằm hoàn toàn bên trong khung thành — đã qua khỏi vạch vôi
6
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp kiến thức trọng tâm
| Nội dung | Tóm tắt |
|---|---|
| Định nghĩa | Chiếu $M$ theo phương $\Delta$ xuống $(\alpha)$ — đường qua $M$ // $\Delta$ cắt $(\alpha)$ tại $M'$ |
| Tính chất $1$ | Bảo toàn thẳng hàng và giữ thứ tự $3$ điểm |
| Tính chất $2$ | Bảo toàn song song: $2$ đường // → $2$ đường // (hoặc trùng) |
| Tính chất $3$ | Bảo toàn tỉ số: $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{A'B'}{C'D'}$ trên cùng đường // hoặc $2$ đường // |
| Hệ quả | Trung điểm → trung điểm; Trung tuyến → trung tuyến; Trọng tâm → trọng tâm; Hình bình hành → hình bình hành; Hình thang → hình thang |
| Không bảo toàn | Độ dài, số đo góc, hình dạng đặc biệt (đều, vuông, cân) |
| Hình biểu diễn | Tam giác đặc biệt → tam giác bất kì; Tứ giác có $2$ cặp cạnh // → bình hành; Tròn → elip |
| Quy tắc vẽ | Nét liền cho cạnh thấy, nét đứt cho cạnh khuất |
| Bóng đổ | Ánh mặt trời → tia // → bóng là hình chiếu song song |
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Phép chiếu song song!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh