Lớp 11 · Toán
Bài 17
Hàm Số Liên Tục
Liên tục tại một điểm · Trên khoảng · Định lý giá trị trung gian
1
Hàm số liên tục tại một điểm
▼
Định nghĩa
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ chứa điểm $x_0$. Ta nói $f(x)$ liên tục tại điểm $x_0$ nếu:
$\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
Điều kiện liên tục tại điểm $x_0$
Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_0$ khi thoả mãn cả ba điều kiện:
• $f(x_0)$ tồn tại (hàm số xác định tại $x_0$).
• $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)$ tồn tại (giới hạn hữu hạn).
• $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ (giới hạn bằng giá trị hàm số).
Nếu một trong ba điều kiện trên không thoả mãn, $f(x)$ gián đoạn tại $x_0$.
• $f(x_0)$ tồn tại (hàm số xác định tại $x_0$).
• $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)$ tồn tại (giới hạn hữu hạn).
• $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ (giới hạn bằng giá trị hàm số).
Nếu một trong ba điều kiện trên không thoả mãn, $f(x)$ gián đoạn tại $x_0$.
💡 Với hàm cho bởi nhiều công thức
$f(x)$ liên tục tại $x_0 \;\Leftrightarrow\; \displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$
💡 Ví dụ 1 — Hàm phân thức
Xét tính liên tục của $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 1}$ tại $x_0 = 2$
B1.$f(x)$ xác định trên $\mathbb{R} \setminus \{1\}$, do đó $f(x_0) = f(2)$ tồn tại
B2.Tính $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = \dfrac{2+1}{2-1} = 3$
B3.Tính $f(2) = \dfrac{2+1}{2-1} = 3$
📌Vì $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = 3 = f(2)$ nên $f(x)$ liên tục tại $x_0 = 2$
💡 Ví dụ 2 — Hàm từng khúc liên tục
Xét tính liên tục của $f(x) = \begin{cases} -x & \text{nếu } x < 0 \\ x^2 & \text{nếu } x \geq 0 \end{cases}$ tại $x_0 = 0$
B1.Giới hạn trái (dùng $f(x) = -x$ vì $x < 0$): $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$
B2.Giới hạn phải (dùng $f(x) = x^2$ vì $x \geq 0$): $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^2 = 0$
B3.Giá trị tại $x = 0$: $f(0) = 0^2 = 0$
📌Vì $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$ nên $f(x)$ liên tục tại $x_0 = 0$
💡 Ví dụ 3 — Hàm gián đoạn
Xét tính liên tục của hàm dấu $s(x) = \begin{cases} 1 & \text{nếu } x > 0 \\ 0 & \text{nếu } x = 0 \\ -1 & \text{nếu } x < 0 \end{cases}$ tại $x_0 = 0$
B1.Giới hạn phải: $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} s(x) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} 1 = 1$
B2.Giới hạn trái: $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} s(x) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} (-1) = -1$
📌Vì $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} s(x) = 1 \neq -1 = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} s(x)$ nên $\displaystyle\lim_{x \to 0} s(x)$ không tồn tại → $s(x)$ gián đoạn tại $x_0 = 0$
2
Hàm số liên tục trên khoảng, đoạn
▼
Định nghĩa
• Liên tục trên khoảng $(a; b)$: $f(x)$ liên tục tại mọi điểm thuộc $(a; b)$.
• Liên tục trên đoạn $[a; b]$: $f(x)$ liên tục trên $(a; b)$, đồng thời:
— $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ (liên tục phải tại $a$).
— $\displaystyle\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$ (liên tục trái tại $b$).
• Liên tục trên đoạn $[a; b]$: $f(x)$ liên tục trên $(a; b)$, đồng thời:
— $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ (liên tục phải tại $a$).
— $\displaystyle\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$ (liên tục trái tại $b$).
Ý nghĩa hình học
Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là đường cong liền mạch, không bị "đứt gãy" hay "nhảy" tại bất kỳ điểm nào trên khoảng đó.
3
Tính liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản
▼
Kết quả quan trọng
Các hàm số sơ cấp cơ bản đều liên tục trên tập xác định của chúng.
| Hàm số | Khoảng liên tục |
|---|---|
| Đa thức $P(x)$ | $\mathbb{R}$ |
| Phân thức $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ | Tập xác định ($Q(x) \neq 0$) |
| $y = \sin x$, $y = \cos x$ | $\mathbb{R}$ |
| $y = \tan x$ | $\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}$ |
| $y = \cot x$ | $\mathbb{R} \setminus \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$ |
| $y = \sqrt{x}$ | $[0; +\infty)$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
💡 Ví dụ 4 — Tìm khoảng liên tục
Cho $f(x) = \dfrac{x}{x^2 - 4}$. Tìm các khoảng trên đó hàm số liên tục
B1.Tìm tập xác định: $x^2 - 4 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm 2$
B2.Tập xác định: $D = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$
B3.$f(x)$ là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên tập xác định
📌$f(x)$ liên tục trên ba khoảng $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ và $(2; +\infty)$
4
Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương
▼
Tính chất
Giả sử hai hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ đều liên tục tại $x_0$. Khi đó:
| Hàm số | Tính liên tục tại $x_0$ |
|---|---|
| $f(x) + g(x)$ | Liên tục |
| $f(x) - g(x)$ | Liên tục |
| $f(x) \cdot g(x)$ | Liên tục |
| $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ | Liên tục nếu $g(x_0) \neq 0$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
💡 Ví dụ 5 — Áp dụng tính chất
Xét tính liên tục của $f(x) = \dfrac{\sin x}{x - 1}$
B1.Tập xác định: $x - 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1$ nên $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$
B2.Tử $\sin x$ liên tục trên $\mathbb{R}$; mẫu $x - 1$ là đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$
B3.Theo tính chất thương hai hàm liên tục, $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R} \setminus \{1\}$
🔧 Phương pháp tìm tham số để hàm số liên tục
Với hàm cho bởi nhiều công thức có chứa tham số $m$ (hoặc $a, b, \ldots$):
Bước 1: Xét tính liên tục trên từng miền (thường đã liên tục sẵn nếu là hàm sơ cấp).
Bước 2: Xác định điểm "nối" $x_0$ giữa các công thức.
Bước 3: Tính $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x)$, $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ và $f(x_0)$.
Bước 4: Cho ba giá trị này bằng nhau, giải phương trình tìm tham số.
Bước 1: Xét tính liên tục trên từng miền (thường đã liên tục sẵn nếu là hàm sơ cấp).
Bước 2: Xác định điểm "nối" $x_0$ giữa các công thức.
Bước 3: Tính $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x)$, $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ và $f(x_0)$.
Bước 4: Cho ba giá trị này bằng nhau, giải phương trình tìm tham số.
💡 Ví dụ 6 — Tìm tham số
Tìm $m$ để hàm số $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{nếu } x < 2 \\ mx - 3 & \text{nếu } x \geq 2 \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$
B1.Với $x < 2$: $f(x) = x^2 + 1$ (đa thức) liên tục trên $(-\infty; 2)$
B2.Với $x \geq 2$: $f(x) = mx - 3$ (đa thức) liên tục trên $[2; +\infty)$
B3.Xét điểm nối $x_0 = 2$: $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2^2 + 1 = 5$; $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2m - 3$; $f(2) = 2m - 3$
B4.Cần $2m - 3 = 5 \Leftrightarrow m = 4$
📌Với $m = 4$, hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$
5
Định lý giá trị trung gian & chứng minh phương trình có nghiệm
▼
Định lý giá trị trung gian
Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và $f(a) \cdot f(b) < 0$ (tức $f(a)$ và $f(b)$ trái dấu), thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in (a; b)$ sao cho:
$f(c) = 0$
Ý nghĩa hình học
Nếu đồ thị hàm số liên tục đi từ một điểm dưới trục hoành đến một điểm trên trục hoành (hoặc ngược lại), thì đồ thị phải cắt trục hoành ít nhất một lần. Vì đồ thị là đường liền mạch, không thể "nhảy qua" trục hoành.
🔧 Phương pháp chứng minh phương trình có nghiệm
Bước 1: Đưa phương trình về dạng $f(x) = 0$.
Bước 2: Chứng minh $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ thích hợp (chọn $a, b$ là số nguyên đơn giản).
Bước 3: Tính $f(a)$, $f(b)$ — chứng minh $f(a) \cdot f(b) < 0$.
Bước 4: Kết luận: theo định lý giá trị trung gian, phương trình có ít nhất một nghiệm trong $(a; b)$.
Để chứng minh $k$ nghiệm phân biệt: tìm $k$ đoạn $[a_i; b_i]$ đôi một không giao nhau, trên mỗi đoạn $f(a_i) \cdot f(b_i) < 0$.
Bước 2: Chứng minh $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ thích hợp (chọn $a, b$ là số nguyên đơn giản).
Bước 3: Tính $f(a)$, $f(b)$ — chứng minh $f(a) \cdot f(b) < 0$.
Bước 4: Kết luận: theo định lý giá trị trung gian, phương trình có ít nhất một nghiệm trong $(a; b)$.
Để chứng minh $k$ nghiệm phân biệt: tìm $k$ đoạn $[a_i; b_i]$ đôi một không giao nhau, trên mỗi đoạn $f(a_i) \cdot f(b_i) < 0$.
💡 Ví dụ 7 — Chứng minh phương trình có nghiệm
Chứng minh phương trình $x^5 + x^3 - 10 = 0$ có ít nhất một nghiệm
B1.Đặt $f(x) = x^5 + x^3 - 10$ — đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó liên tục trên $[0; 2]$
B2.Tính $f(0) = 0 + 0 - 10 = -10 < 0$
B3.Tính $f(2) = 32 + 8 - 10 = 30 > 0$
B4.Vì $f(0) \cdot f(2) = (-10) \cdot 30 = -300 < 0$, theo định lý giá trị trung gian, tồn tại $c \in (0; 2)$ sao cho $f(c) = 0$
📌Phương trình $x^5 + x^3 - 10 = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $(0; 2)$
6
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp các dạng bài tập
| Dạng bài | Phương pháp |
|---|---|
| Xét liên tục tại điểm | So sánh $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)$ với $f(x_0)$ |
| Xét liên tục hàm phân thức | Tìm tập xác định → liên tục trên TXĐ |
| Xét liên tục hàm từng khúc | So sánh $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-}$, $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}$ và $f(x_0)$ |
| Tìm tham số để hàm liên tục | Giới hạn trái $=$ Giới hạn phải $= f(x_0)$ |
| Chứng minh phương trình có nghiệm | Tìm $a, b$ sao cho $f(a) \cdot f(b) < 0$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📚
Xem thêm: Bài viết chi tiết về hàm số liên tục — lý thuyết, các dạng bài và phương pháp giải trên edus.vn
→
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Hàm số liên tục!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh