1. Định lí. Giả thiết và kết luận của định lí

Luyện tập 1 (trang 56)

Đề bài: Vẽ hình và viết giả thiết, kết luận của định lí: “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”.

Lời giải:

Phân tích cấu trúc định lí dạng “Nếu … thì …”: “Nếu hai góc là hai góc đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau”.

Vậy ta có:

GT: $\widehat{O_1}$ và $\widehat{O_2}$ là hai góc đối đỉnh

KL: $\widehat{O_1} = \widehat{O_2}$

2. Thế nào là chứng minh định lí?

Luyện tập 2 (trang 57)

Đề bài: Em hãy chứng minh định lí: “Hai góc kề bù bằng nhau thì mỗi góc là một góc vuông”.

Lời giải:

Trước hết ta viết giả thiết và kết luận của định lí (dạng “Nếu … thì …”): “Nếu hai góc kề bù bằng nhau thì mỗi góc là một góc vuông”.

GT: $\widehat{A_1}$ và $\widehat{A_2}$ là hai góc kề bù; $\widehat{A_1} = \widehat{A_2}$

KL: $\widehat{A_1} = \widehat{A_2} = 90^\circ$

Chứng minh:

Vì $\widehat{A_1}$ và $\widehat{A_2}$ là hai góc kề bù nên:

$$\widehat{A_1} + \widehat{A_2} = 180^\circ$$

Mà theo giả thiết $\widehat{A_1} = \widehat{A_2}$, thay vào ta được:

$$\widehat{A_1} + \widehat{A_1} = 180^\circ$$

$$2 \cdot \widehat{A_1} = 180^\circ$$

Suy ra:

$$\widehat{A_1} = 180^\circ : 2 = 90^\circ$$

Vậy $\widehat{A_1} = \widehat{A_2} = 90^\circ$, tức là mỗi góc là một góc vuông (đpcm)

Tranh luận (trang 57)

Đề bài: Tròn nói: “Hai góc đối đỉnh thì chắc chắn bằng nhau rồi. Liệu hai góc bằng nhau thì có đối đỉnh không nhỉ?”

Vuông nói: “Tớ nghĩ đó là điều không đúng! Nhưng làm thế nào để khẳng định điều đó không đúng nhỉ?”

Em có ý kiến gì về hai ý kiến trên?

Lời giải:

Em thấy bạn Vuông nói đúng — không phải cứ hai góc bằng nhau là đối đỉnh.

Để khẳng định điều đó không đúng, ta chỉ cần đưa ra một ví dụ về hai góc bằng nhau nhưng không phải là hai góc đối đỉnh.

Ví dụ: Vẽ tia $Ot$ là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$. Khi đó hai góc $\widehat{xOt}$ và $\widehat{tOy}$ bằng nhau (đều bằng $\dfrac{1}{2}\widehat{xOy}$), nhưng hai góc này có chung cạnh $Ot$ nên không phải là hai góc đối đỉnh.

Vậy có những cặp góc bằng nhau nhưng không đối đỉnh, do đó khẳng định “hai góc bằng nhau thì đối đỉnh” là sai

Bài tập (trang 57)

Bài 3.24 (trang 57)

Đề bài: Có thể coi định lí “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau” được suy ra trực tiếp từ định lí về dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song không? Suy ra như thế nào?

Lời giải:

Có thể coi định lí này được suy ra trực tiếp từ dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song. Ta suy ra như sau:

Giả sử hai đường thẳng phân biệt $a$ và $b$ cùng vuông góc với đường thẳng $c$. Gọi $A$ là giao điểm của $c$ và $a$; $B$ là giao điểm của $c$ và $b$.

Vì $a \perp c$ tại $A$ nên $\widehat{A_1} = 90^\circ$

Vì $b \perp c$ tại $B$ nên $\widehat{B_2} = 90^\circ$

Do đó:

$$\widehat{A_1} = \widehat{B_2} = 90^\circ$$

Hai góc này ở vị trí đồng vị, nên theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song:

$$a // b$$

Vậy định lí “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau” được suy ra trực tiếp từ định lí về dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Bài 3.25 (trang 57)

Đề bài: Hãy chứng minh định lí nói ở Ví dụ trang 56: “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại”. Trong chứng minh đó, ta đã sử dụng những điều đúng đã biết nào?

Lời giải:

Trước hết ta viết giả thiết và kết luận của định lí.

GT: $a // b$; $c \perp a$ tại $A$

KL: $c \perp b$

Chứng minh:

Gọi $B$ là giao điểm của $c$ và $b$ (vì $c$ cắt $a$ mà $a // b$ nên $c$ cũng cắt $b$).

Vì $a // b$, đường thẳng $c$ là cát tuyến, nên hai góc $\widehat{A_1}$ và $\widehat{B_1}$ ở vị trí đồng vị bằng nhau:

$$\widehat{A_1} = \widehat{B_1}$$

Mà $c \perp a$ tại $A$ nên $\widehat{A_1} = 90^\circ$. Suy ra:

$$\widehat{B_1} = 90^\circ$$

Vậy $c \perp b$ tại $B$ (đpcm)

Trong chứng minh trên, ta đã sử dụng những điều đúng đã biết là:

Tính chất của hai đường thẳng song song: nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau

Định nghĩa hai đường thẳng vuông góc (hai đường thẳng cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông)

Bài 3.26 (trang 57)

Đề bài: Cho góc $\widehat{xOy}$ không phải là góc bẹt. Khẳng định nào sau đây là đúng?

(1) Nếu $Ot$ là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$ thì $\widehat{xOt} = \widehat{tOy}$.

(2) Nếu tia $Ot$ thỏa mãn $\widehat{xOt} = \widehat{tOy}$ thì $Ot$ là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$.

Nếu có khẳng định không đúng, hãy nêu ví dụ cho thấy khẳng định đó không đúng.

Lời giải:

Khẳng định (1) đúng.

Theo định nghĩa tia phân giác, nếu $Ot$ là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$ thì:

$$\widehat{xOt} = \widehat{tOy} = \dfrac{1}{2}\widehat{xOy}$$

Khẳng định (2) sai.

Ta đưa ra ví dụ chứng tỏ khẳng định này không đúng (theo gợi ý: xét tia đối của một tia phân giác).

Gọi $Ot’$ là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$, khi đó:

$$\widehat{xOt’} = \widehat{t’Oy}$$

Lấy tia $Ot$ là tia đối của tia $Ot’$. Khi đó:

$\widehat{xOt’}$ và $\widehat{xOt}$ kề bù nên $\widehat{xOt’} + \widehat{xOt} = 180^\circ$

$\widehat{t’Oy}$ và $\widehat{tOy}$ kề bù nên $\widehat{t’Oy} + \widehat{tOy} = 180^\circ$

Vì $\widehat{xOt’} = \widehat{t’Oy}$, trừ hai vế tương ứng ta được:

$$\widehat{xOt} = \widehat{tOy}$$

Tuy nhiên, tia $Ot$ không nằm giữa hai cạnh $Ox$ và $Oy$ của góc $\widehat{xOy}$ (vì $Ot$ là tia đối của tia phân giác $Ot’$, nằm ở phía ngoài góc), nên $Ot$ không phải là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$.

Đây chính là ví dụ cho thấy: có những tia thỏa mãn $\widehat{xOt} = \widehat{tOy}$ nhưng không phải là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$. Vậy khẳng định (2) sai

(Chú ý: mỗi góc khác góc bẹt chỉ có một tia phân giác duy nhất.)

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du