Bài tập (trang 11)

Bài 6.11 (trang 11)

Đề bài: Lập các tỉ lệ thức có thể được từ đẳng thức $3x = 4y$ ($x, y \neq 0$).

Lời giải:

Đẳng thức $3x = 4y$ có dạng $ad = bc$ với $a = 3$, $d = x$, $b = 4$, $c = y$ (các số đều khác $0$).

Theo tính chất tỉ lệ thức, ta lập được bốn tỉ lệ thức:

$$\dfrac{3}{4} = \dfrac{y}{x}; \qquad \dfrac{3}{y} = \dfrac{4}{x}; \qquad \dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{3}; \qquad \dfrac{x}{y} = \dfrac{4}{3}.$$

Bài 6.12 (trang 11)

Đề bài: Hãy lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ bốn số: $5; 10; 25; 50$.

Lời giải:

Trước hết, ta tìm đẳng thức tích chéo từ bốn số đã cho bằng cách thử nhân từng cặp:

$$5 \cdot 50 = 250; \qquad 10 \cdot 25 = 250.$$

Vậy $5 \cdot 50 = 10 \cdot 25$. Đẳng thức này có dạng $ad = bc$ với $a = 5$, $d = 50$, $b = 10$, $c = 25$ (các số đều khác $0$).

Theo tính chất tỉ lệ thức, ta lập được bốn tỉ lệ thức:

$$\dfrac{5}{10} = \dfrac{25}{50}; \qquad \dfrac{5}{25} = \dfrac{10}{50}; \qquad \dfrac{50}{10} = \dfrac{25}{5}; \qquad \dfrac{50}{25} = \dfrac{10}{5}.$$

Bài 6.13 (trang 11)

Đề bài: Tìm $x$ và $y$, biết:

a) $\dfrac{x}{y} = \dfrac{5}{3}$ và $x + y = 16$;

b) $\dfrac{x}{y} = \dfrac{9}{4}$ và $x – y = -15$.

Lời giải:

a) Từ $\dfrac{x}{y} = \dfrac{5}{3}$, áp dụng tính chất tích chéo ta có $3x = 5y$, từ đó đưa về dạng dãy tỉ số bằng nhau $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{3}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho tổng:

$$\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{x + y}{5 + 3} = \dfrac{16}{8} = 2.$$

Từ đây tính được:

$$x = 2 \cdot 5 = 10; \qquad y = 2 \cdot 3 = 6.$$

Vậy $x = 10$ và $y = 6$.

b) Tương tự, từ $\dfrac{x}{y} = \dfrac{9}{4}$, ta đưa về $\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{4}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho hiệu:

$$\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{x – y}{9 – 4} = \dfrac{-15}{5} = -3.$$

Từ đây tính được:

$$x = (-3) \cdot 9 = -27; \qquad y = (-3) \cdot 4 = -12.$$

Vậy $x = -27$ và $y = -12$.

Bài 6.14 (trang 11)

Đề bài: Tỉ số của số học sinh của hai lớp 7A và 7B là $0{,}95$. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh, biết số học sinh của một lớp nhiều hơn lớp kia là $2$ em?

Lời giải:

Gọi số học sinh của lớp 7A là $x$, số học sinh của lớp 7B là $y$ (em); điều kiện $x, y$ là số nguyên dương.

Tỉ số học sinh của hai lớp 7A và 7B là $0{,}95$:

$$\dfrac{x}{y} = 0{,}95 = \dfrac{95}{100} = \dfrac{19}{20}.$$

Suy ra $\dfrac{x}{19} = \dfrac{y}{20}$.

Vì $\dfrac{x}{y} = \dfrac{19}{20} < 1$ nên $x < y$, tức là lớp 7B nhiều hơn lớp 7A. Theo đề bài, một lớp nhiều hơn lớp kia $2$ em nên $y – x = 2$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho hiệu:

$$\dfrac{x}{19} = \dfrac{y}{20} = \dfrac{y – x}{20 – 19} = \dfrac{2}{1} = 2.$$

Từ đây tính được:

$$x = 2 \cdot 19 = 38; \qquad y = 2 \cdot 20 = 40.$$

Vậy lớp 7A có $38$ học sinh và lớp 7B có $40$ học sinh.

Bài 6.15 (trang 11)

Đề bài: Người ta định làm một con đường trong $15$ ngày. Một đội công nhân $45$ người làm trong $10$ ngày mới được một nửa công việc. Hỏi phải bổ sung thêm bao nhiêu người nữa để có thể hoàn thành công việc đúng hạn (biết năng suất lao động của mỗi người như nhau)?

Lời giải:

Để hoàn thành công việc đúng hạn $15$ ngày, sau khi đã làm $10$ ngày được một nửa công việc thì đội còn phải hoàn thành nửa công việc còn lại trong:

$$15 – 10 = 5 \text{ (ngày).}$$

Gọi số người cần dùng để làm nửa công việc còn lại trong $5$ ngày là $x$ người ($x$ là số nguyên dương).

Cùng một khối lượng công việc (đều là nửa con đường), năng suất các người như nhau, nên tích (số người) $\cdot$ (số ngày) cần dùng là một số không đổi. Do đó:

$$45 \cdot 10 = x \cdot 5.$$

Đẳng thức trên có dạng $ad = bc$, từ đó ta lập được tỉ lệ thức:

$$\dfrac{x}{45} = \dfrac{10}{5}.$$

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức:

$$x = \dfrac{45 \cdot 10}{5} = \dfrac{450}{5} = 90 \text{ (người).}$$

Vậy để hoàn thành nửa công việc còn lại trong $5$ ngày, đội cần có $90$ người. Số người cần bổ sung thêm là:

$$90 – 45 = 45 \text{ (người).}$$

Vậy phải bổ sung thêm $45$ người nữa để hoàn thành công việc đúng hạn.

Bài 6.16 (trang 11)

Đề bài: Tìm ba số $x$, $y$, $z$, biết rằng: $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4}$ và $x + 2y – 3z = -12$.

Lời giải:

Trong đề bài, đại lượng cần dùng là $x + 2y – 3z$, nên ta phải biến đổi để mỗi tỉ số có tử lần lượt là $x$, $2y$ và $3z$.

Vì $\dfrac{y}{3} = \dfrac{2y}{2 \cdot 3} = \dfrac{2y}{6}$ (nhân cả tử và mẫu với $2$) và $\dfrac{z}{4} = \dfrac{3z}{3 \cdot 4} = \dfrac{3z}{12}$ (nhân cả tử và mẫu với $3$), nên dãy tỉ số ban đầu được viết lại thành:

$$\dfrac{x}{2} = \dfrac{2y}{6} = \dfrac{3z}{12}.$$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau (mở rộng cho cộng và trừ):

$$\dfrac{x}{2} = \dfrac{2y}{6} = \dfrac{3z}{12} = \dfrac{x + 2y – 3z}{2 + 6 – 12} = \dfrac{-12}{-4} = 3.$$

Từ đây tính được:

$$x = 3 \cdot 2 = 6; \qquad y = 3 \cdot 3 = 9; \qquad z = 3 \cdot 4 = 12.$$

Vậy $x = 6$, $y = 9$ và $z = 12$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du