Bài tập (trang 58)

Bài 8.12 (trang 58)

Đề bài: Một túi đựng các quả cầu có cùng kích thước, được ghi số $5; 10; 15; 20; 30; 35; 40$. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong túi. Chọn từ thích hợp (chắc chắn, không thể, ngẫu nhiên) thay vào dấu “?” trong các câu sau:

• Biến cố $A$: “Lấy được quả cầu ghi số là số chính phương” là biến cố $\boxed{?}$.
• Biến cố $B$: “Lấy được quả cầu ghi số chia hết cho $3$” là biến cố $\boxed{?}$.
• Biến cố $C$: “Lấy được quả cầu ghi số chia hết cho $5$” là biến cố $\boxed{?}$.

Lời giải:

Ta phân tích từng biến cố dựa trên các số ghi trên quả cầu là $5, 10, 15, 20, 30, 35, 40$.

Biến cố $A$: “Lấy được quả cầu ghi số là số chính phương”.

Nhắc lại: số chính phương là bình phương của một số tự nhiên, gồm $1 = 1^2$; $4 = 2^2$; $9 = 3^2$; $16 = 4^2$; $25 = 5^2$; $36 = 6^2$; $49 = 7^2$;…

Kiểm tra từng số trong túi: $5, 10, 15, 20, 30, 35, 40$ — không có số nào là số chính phương. Vậy biến cố $A$ không bao giờ xảy ra. → Biến cố $A$ là biến cố không thể.

Biến cố $B$: “Lấy được quả cầu ghi số chia hết cho $3$”.

Ta kiểm tra: $5$ không chia hết cho $3$; $10$ không; $15 = 3 \cdot 5$ chia hết; $20$ không; $30 = 3 \cdot 10$ chia hết; $35$ không; $40$ không. Vậy trong túi có cả số chia hết cho $3$ (như $15, 30$) và số không chia hết cho $3$ (như $5, 10$). Lấy ngẫu nhiên có thể được số chia hết cho $3$ hoặc không. → Biến cố $B$ là biến cố ngẫu nhiên.

Biến cố $C$: “Lấy được quả cầu ghi số chia hết cho $5$”.

Tất cả các số $5, 10, 15, 20, 30, 35, 40$ đều có chữ số tận cùng là $0$ hoặc $5$ nên đều chia hết cho $5$. Vậy dù lấy quả cầu nào cũng được số chia hết cho $5$. → Biến cố $C$ là biến cố chắc chắn.

Bài 8.13 (trang 58)

Đề bài: Một thùng kín đựng $5$ quả bóng màu đỏ, $10$ quả bóng màu xanh, $20$ quả bóng màu vàng, có cùng kích thước. Ngọc lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong thùng. Hỏi khả năng Ngọc lấy được quả bóng màu gì lớn nhất?

Lời giải:

Trong thùng có $5$ quả bóng đỏ, $10$ quả bóng xanh và $20$ quả bóng vàng. So sánh: $20 > 10 > 5$, nên số quả bóng màu vàng nhiều hơn số quả bóng màu xanh, số quả bóng màu xanh nhiều hơn số quả bóng màu đỏ.

Vì các quả bóng có cùng kích thước nên khả năng lấy được quả bóng nào là tương ứng với số lượng quả bóng đó trong thùng. Màu nào có nhiều quả bóng hơn thì khả năng lấy được màu đó lớn hơn.

Vậy khả năng Ngọc lấy được quả bóng màu vàng là lớn nhất.

Bài 8.14 (trang 58)

Đề bài: Một chiếc hộp đựng $7$ tấm thẻ như nhau được ghi số $2; 3; 4; 5; 6; 7; 8$. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Tìm xác suất để rút được tấm thẻ:

a) Ghi số nhỏ hơn $10$.

b) Ghi số $1$.

c) Ghi số $8$.

Lời giải:

Vì các tấm thẻ như nhau và rút ngẫu nhiên nên $7$ biến cố sau là đồng khả năng:

“Rút được thẻ ghi số $2$”; “Rút được thẻ ghi số $3$”; …; “Rút được thẻ ghi số $8$”.

Khi rút luôn xảy ra duy nhất một trong $7$ biến cố này, nên xác suất của mỗi biến cố đều bằng $\dfrac{1}{7}$.

a) “Ghi số nhỏ hơn $10$”.

Tất cả các số $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ đều nhỏ hơn $10$. Vậy dù rút được thẻ nào ta cũng được số nhỏ hơn $10$. Biến cố này là biến cố chắc chắn, nên xác suất bằng $1$.

b) “Ghi số $1$”.

Trong các số được ghi trên thẻ ($2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$) không có số $1$, nên không bao giờ rút được thẻ ghi số $1$. Biến cố này là biến cố không thể, nên xác suất bằng $0$.

c) “Ghi số $8$”.

Biến cố “Rút được thẻ ghi số $8$” là một trong $7$ biến cố đồng khả năng đã nêu ở trên. Vậy xác suất của biến cố này bằng $\dfrac{1}{7}$.

Bài 8.15 (trang 58)

Đề bài: Một tấm bìa cứng hình tròn được chia làm $8$ phần bằng nhau, mỗi phần là một hình quạt tròn có ghi một trong các số $1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8$ như Hình 8.4, được gắn vào trục quay có mũi tên ở tâm. Bạn Việt quay tấm bìa.

a) Tìm xác suất để mũi tên chỉ vào hình quạt:

• Ghi số lẻ.
• Ghi số $6$.

b) Biết rằng nếu mũi tên dừng ở hình quạt ghi số $1$ hoặc $2$ thì Việt nhận được $100$ điểm; dừng ở hình quạt ghi số $3$ hoặc $4$ thì Việt nhận được $200$ điểm; dừng ở hình quạt ghi số $5$ hoặc $6$ thì Việt nhận được $300$ điểm; dừng ở hình quạt ghi số $7$ hoặc $8$ thì Việt nhận được $400$ điểm.

Xét các biến cố sau:

$A$: “Việt nhận được $100$ điểm”; $B$: “Việt nhận được $200$ điểm”; $C$: “Việt nhận được $300$ điểm”; $D$: “Việt nhận được $400$ điểm”.

Các biến cố $A, B, C, D$ có đồng khả năng không? Vì sao? Tìm xác suất của các biến cố $A, B, C$ và $D$.

Lời giải:

a) Vì tấm bìa được chia làm $8$ phần bằng nhau, nên khi quay, $8$ biến cố sau là đồng khả năng:

“Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số $1$”; “Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số $2$”; …; “Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số $8$”.

Khi quay luôn dừng ở đúng một hình quạt, nên xác suất của mỗi biến cố đều bằng $\dfrac{1}{8}$.

Biến cố “Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số lẻ”:

Trong các số $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$, các số lẻ là $1, 3, 5, 7$ (có $4$ số). Biến cố này xảy ra khi mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số $1$, $3$, $5$ hoặc $7$, tức là có $4$ trong $8$ biến cố đồng khả năng làm cho biến cố này xảy ra. Vậy xác suất bằng:

$$\dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}.$$

Biến cố “Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số $6$”: Đây là một trong $8$ biến cố đồng khả năng nói trên. Vậy xác suất bằng $\dfrac{1}{8}$.

b) Theo đề bài:

Biến cố $A$ (nhận $100$ điểm) xảy ra khi mũi tên ở hình quạt ghi số $1$ hoặc $2$ (ứng với $2$ hình quạt trong $8$ hình quạt).

Biến cố $B$ (nhận $200$ điểm) xảy ra khi mũi tên ở hình quạt ghi số $3$ hoặc $4$ (ứng với $2$ hình quạt).

Biến cố $C$ (nhận $300$ điểm) xảy ra khi mũi tên ở hình quạt ghi số $5$ hoặc $6$ (ứng với $2$ hình quạt).

Biến cố $D$ (nhận $400$ điểm) xảy ra khi mũi tên ở hình quạt ghi số $7$ hoặc $8$ (ứng với $2$ hình quạt).

Mỗi biến cố $A, B, C, D$ đều ứng với đúng $2$ hình quạt trong $8$ hình quạt bằng nhau. Do đó bốn biến cố $A, B, C, D$ là đồng khả năng.

Khi Việt quay tấm bìa, mũi tên dừng ở đúng một hình quạt, nên Việt nhận được đúng một trong các mức điểm $100, 200, 300, 400$. Vậy luôn xảy ra duy nhất một trong bốn biến cố $A, B, C, D$.

Bốn biến cố đồng khả năng và luôn xảy ra một trong bốn, nên xác suất của mỗi biến cố đều bằng:

$$P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = \dfrac{1}{4}.$$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du