Bài tập (trang 58, 59)

Bài 3.27 (trang 58)

Đề bài: Cho hình thang $ABCD$ có cạnh $AD$ vuông góc với hai đáy $AB$ và $CD$. Số đo góc ở đỉnh $B$ gấp đôi số đo góc ở đỉnh $C$. Tính số đo các góc của hình thang đó.

Lời giải:

Vì $AD$ vuông góc với hai đáy $AB$ và $CD$ nên:

$$\widehat{A} = \widehat{D} = 90^\circ$$

Vì $AD \perp AB$ và $AD \perp CD$ (hai đường thẳng cùng vuông góc với $AD$) nên:

$$AB // CD$$

Đường thẳng $BC$ cắt $AB$ tại $B$ và cắt $CD$ tại $C$. Vì $AB // CD$, hai góc $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ ở vị trí trong cùng phía nên:

$$\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$$

Theo giả thiết $\widehat{B} = 2 \cdot \widehat{C}$, thay vào ta được:

$$2 \cdot \widehat{C} + \widehat{C} = 180^\circ$$

$$3 \cdot \widehat{C} = 180^\circ$$

Suy ra:

$$\widehat{C} = 180^\circ : 3 = 60^\circ$$

Do đó:

$$\widehat{B} = 2 \cdot \widehat{C} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$$

Vậy các góc của hình thang là $\widehat{A} = \widehat{D} = 90^\circ$, $\widehat{B} = 120^\circ$, $\widehat{C} = 60^\circ$

Bài 3.28 (trang 58)

Đề bài: Vẽ hình minh họa và viết giả thiết, kết luận của định lí: “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”.

Lời giải:

Phân tích cấu trúc định lí dạng “Nếu … thì …”: “Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”.

Vậy ta có:

GT: $a$, $b$ là hai đường thẳng phân biệt; $a \perp c$; $b \perp c$

KL: $a // b$

Bài 3.29 (trang 58)

Đề bài: Kẻ các tia phân giác $Ax$, $By$ của một cặp góc so le trong tạo bởi đường thẳng $b$ vuông góc với hai đường thẳng song song $c$, $d$ (Hình 3.48). Chứng minh rằng hai tia phân giác đó nằm trên hai đường thẳng song song.

Lời giải:

Vì $b \perp c$ tại $A$ nên góc tại $A$ (do $b$ tạo với $c$) là góc vuông, tức bằng $90^\circ$.

Vì $Ax$ là tia phân giác của góc vuông tại $A$ nên:

$$\widehat{A_1} = \widehat{A_2} = \dfrac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$$

Tương tự, vì $b \perp d$ tại $B$ nên góc tại $B$ là góc vuông. Vì $By$ là tia phân giác của góc vuông tại $B$ nên:

$$\widehat{B_1} = \widehat{B_2} = \dfrac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$$

Đường thẳng $b$ cắt hai tia $Ax$ và $By$ tại $A$ và $B$. Ta có:

$$\widehat{A_2} = \widehat{B_2} = 45^\circ$$

Hai góc này ở vị trí so le trong, nên theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song:

$$Ax // By$$

Vậy hai tia phân giác $Ax$ và $By$ nằm trên hai đường thẳng song song

Bài 3.30 (trang 58)

Đề bài: Cho hai đường thẳng phân biệt $a$, $b$ cùng vuông góc với đường thẳng $c$; $d$ là một đường thẳng khác $c$ và $d$ vuông góc với $a$. Chứng minh rằng:

a) $a // b$

b) $c // d$

c) $b \perp d$

Lời giải:

a) Theo giả thiết, $a$ và $b$ là hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng $c$ ($a \perp c$ và $b \perp c$). Theo định lí “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”:

$$a // b$$

b) Tương tự, $c$ và $d$ là hai đường thẳng phân biệt (vì $d$ khác $c$) cùng vuông góc với đường thẳng $a$ ($c \perp a$ và $d \perp a$). Theo định lí trên:

$$c // d$$

c) Ta có $b \perp c$ (theo giả thiết) và $c // d$ (theo phần b).

Theo nhận xét “đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại”:

$$b \perp d$$

Bài 3.31 (trang 59)

Đề bài: Cho Hình 3.49. Chứng minh rằng:

a) $d // BC$

b) $d \perp AH$

c) Trong các kết luận trên, kết luận nào được suy ra từ tính chất của hai đường thẳng song song, kết luận nào được suy ra từ dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song?

Lời giải:

a) Trong Hình 3.49, đường thẳng $AC$ cắt $d$ tại $A$ và cắt $BC$ tại $C$. Ta có:

$$\widehat{A_1} = \widehat{C_1} = 50^\circ$$

Hai góc này ở vị trí so le trong, nên theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song:

$$d // BC$$

b) Ta có $d // BC$ (theo phần a) và $AH \perp BC$ (theo Hình 3.49, $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $BC$).

Theo nhận xét “đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại”:

$$d \perp AH$$

c) Phân loại các kết luận:

Kết luận a) được suy ra từ dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (dùng cặp góc so le trong bằng nhau để khẳng định $d // BC$)

Kết luận b) được suy ra từ tính chất của hai đường thẳng song song (đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại)

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du