1. Đại lượng tỉ lệ nghịch

Hoạt động 1 (trang 15)

Đề bài: Một ô tô đi từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ trên quãng đường $180$ km. Gọi $t$ (h) là thời gian để ô tô đi từ $A$ đến $B$ với vận tốc $v$ (km/h). Thay mỗi dấu “?” trong bảng sau bằng số thích hợp.

Lời giải:

Vì quãng đường không đổi là $180$ km và thời gian bằng quãng đường chia cho vận tốc, ta có công thức $t = \dfrac{180}{v}$. Thay từng giá trị của $v$ vào, ta tính được:

$v = 40$: $t = \dfrac{180}{40} = 4{,}5$ (h).

$v = 50$: $t = \dfrac{180}{50} = 3{,}6$ (h).

$v = 60$: $t = \dfrac{180}{60} = 3$ (h).

$v = 80$: $t = \dfrac{180}{80} = 2{,}25$ (h).

Bảng đầy đủ:

Hoạt động 2 (trang 15)

Đề bài: Viết công thức tính thời gian $t$ theo vận tốc tương ứng $v$.

Lời giải:

Vì quãng đường không đổi là $180$ km, công thức tính thời gian $t$ theo vận tốc $v$ là:

$$t = \dfrac{180}{v}.$$

Câu hỏi (trang 15)

Đề bài: Trong HĐ2, thời gian $t$ có tỉ lệ nghịch với vận tốc $v$ không? Vận tốc $v$ có tỉ lệ nghịch với thời gian $t$ không?

Lời giải:

Từ công thức $t = \dfrac{180}{v}$ ở HĐ2, ta thấy $t$ liên hệ với $v$ theo công thức $t = \dfrac{a}{v}$ với $a = 180$ là hằng số khác $0$. Vậy $t$ tỉ lệ nghịch với $v$ theo hệ số tỉ lệ $180$.

Từ $t = \dfrac{180}{v}$, suy ra $v = \dfrac{180}{t}$, cũng có dạng $v = \dfrac{a}{t}$ với $a = 180$. Vậy $v$ tỉ lệ nghịch với $t$ theo hệ số tỉ lệ $180$.

Như vậy $t$ và $v$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Luyện tập 1 (trang 16)

Đề bài: Chiều dài và chiều rộng của các hình chữ nhật có cùng diện tích bằng $12$ cm$^2$ có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là $x$ (cm) và chiều rộng là $y$ (cm); điều kiện $x, y > 0$.

Vì diện tích hình chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng, mà các hình chữ nhật đã cho đều có cùng diện tích $12$ cm$^2$, nên:

$$x \cdot y = 12 ;\Longrightarrow; y = \dfrac{12}{x}.$$

Đây là công thức dạng $y = \dfrac{a}{x}$ với $a = 12$ là hằng số khác $0$. Vậy chiều rộng $y$ tỉ lệ nghịch với chiều dài $x$ theo hệ số tỉ lệ $12$.

Vận dụng (trang 16)

Đề bài:

a) Một cửa hàng bán gạo cần đóng $300$ kg gạo thành các túi gạo có khối lượng như nhau. Thay mỗi dấu “?” trong bảng sau bằng số thích hợp.

b) Số túi gạo và số kilôgam gạo trong mỗi túi có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Vì tổng khối lượng gạo là $300$ kg cố định và (lượng gạo trong mỗi túi) $\cdot$ (số túi) $= 300$, ta điền vào bảng theo công thức: số túi $= \dfrac{300}{\text{lượng gạo mỗi túi}}$ và lượng gạo mỗi túi $= \dfrac{300}{\text{số túi}}$.

$5$ kg/túi: số túi $= \dfrac{300}{5} = 60$ (túi).

$10$ kg/túi: số túi $= \dfrac{300}{10} = 30$ (túi).

$15$ túi: lượng gạo $= \dfrac{300}{15} = 20$ (kg/túi).

$12$ túi: lượng gạo $= \dfrac{300}{12} = 25$ (kg/túi).

Bảng đầy đủ:

b) Gọi $y$ là số túi và $x$ là lượng gạo trong mỗi túi (kg). Ta có $x \cdot y = 300$, suy ra $y = \dfrac{300}{x}$.

Đây là công thức dạng $y = \dfrac{a}{x}$ với $a = 300$ là hằng số khác $0$. Vậy số túi gạo và số kilôgam gạo trong mỗi túi là hai đại lượng tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ $300$.

2. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Luyện tập 2 (trang 17)

Đề bài: Một nhà thầu ước tính rằng có thể hoàn thành một hợp đồng xây dựng trong $12$ tháng với $280$ công nhân. Nếu được yêu cầu phải hoàn thành hợp đồng trong $10$ tháng thì nhà thầu đó phải thuê bao nhiêu công nhân (biết năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau)?

Lời giải:

Gọi $x$ là số công nhân cần thuê để hoàn thành hợp đồng trong $10$ tháng ($x$ là số nguyên dương).

Vì cùng một hợp đồng (khối lượng công việc cố định) và năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau, nên số công nhân và số tháng để hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Do đó tích (số công nhân) $\cdot$ (số tháng) là không đổi:

$$280 \cdot 12 = x \cdot 10.$$

Từ đẳng thức trên, ta lập được tỉ lệ thức:

$$\dfrac{x}{280} = \dfrac{12}{10}.$$

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức:

$$x = \dfrac{280 \cdot 12}{10} = \dfrac{3\,360}{10} = 336 \text{ (công nhân).}$$

Vậy nhà thầu cần thuê $336$ công nhân để hoàn thành hợp đồng trong $10$ tháng.

Luyện tập 3 (trang 18)

Đề bài: Bạn An mua tổng cộng $34$ quyển vở gồm ba loại: loại $120$ trang giá $12$ nghìn đồng một quyển, loại $200$ trang giá $18$ nghìn đồng một quyển và loại $240$ trang giá $20$ nghìn đồng một quyển. Hỏi An mua bao nhiêu quyển vở mỗi loại, biết rằng số tiền bạn ấy dành để mua mỗi loại vở là như nhau?

Lời giải:

Gọi $x$, $y$, $z$ (quyển) lần lượt là số quyển vở loại $120$ trang, $200$ trang và $240$ trang mà An mua; điều kiện $x, y, z$ là số nguyên dương.

Vì tổng cộng An mua $34$ quyển nên:

$$x + y + z = 34.$$

Số tiền dành cho mỗi loại vở lần lượt là $12x$, $18y$, $20z$ (nghìn đồng). Vì số tiền mỗi loại là như nhau nên:

$$12x = 18y = 20z.$$

Chia cả ba biểu thức cho $180$ (là BCNN của $12$, $18$ và $20$):

$$\dfrac{12x}{180} = \dfrac{18y}{180} = \dfrac{20z}{180} ;\Longleftrightarrow; \dfrac{x}{15} = \dfrac{y}{10} = \dfrac{z}{9}.$$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$$\dfrac{x}{15} = \dfrac{y}{10} = \dfrac{z}{9} = \dfrac{x + y + z}{15 + 10 + 9} = \dfrac{34}{34} = 1.$$

Từ đây tính được:

$$x = 1 \cdot 15 = 15; \quad y = 1 \cdot 10 = 10; \quad z = 1 \cdot 9 = 9.$$

Vậy An mua $15$ quyển vở loại $120$ trang, $10$ quyển loại $200$ trang và $9$ quyển loại $240$ trang.

Bài tập (trang 18)

Bài 6.22 (trang 18)

Đề bài: Cho biết $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Thay mỗi dấu “?” trong bảng sau bằng số thích hợp.

Viết công thức mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng $x$ và $y$.

Lời giải:

Vì $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có công thức $y = \dfrac{a}{x}$ (hay $x \cdot y = a$) với $a$ là hệ số tỉ lệ.

Bước 1: Tìm hệ số tỉ lệ $a$.

Sử dụng cặp giá trị đã biết $x = 2$, $y = -6$:

$$a = x \cdot y = 2 \cdot (-6) = -12.$$

Vậy công thức mô tả mối quan hệ giữa $x$ và $y$ là: $y = \dfrac{-12}{x}$ (hay $x = \dfrac{-12}{y}$).

Bước 2: Tính các giá trị còn thiếu.

Khi $x = 4$: $y = \dfrac{-12}{4} = -3$.

Khi $x = 5$: $y = \dfrac{-12}{5} = -2{,}4$.

Khi $y = 3$: $x = \dfrac{-12}{3} = -4$.

Khi $y = 10$: $x = \dfrac{-12}{10} = -1{,}2$.

Khi $y = 0{,}5$: $x = \dfrac{-12}{0{,}5} = -24$.

Bảng đầy đủ:

Bài 6.23 (trang 18)

Đề bài: Theo bảng giá trị dưới đây, hai đại lượng $x$ và $y$ có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không?

a)

b)

Lời giải:

Để kiểm tra $x$ và $y$ có là hai đại lượng tỉ lệ nghịch hay không, ta tính tích $x \cdot y$ ở từng cặp giá trị tương ứng. Nếu tất cả các tích đều bằng nhau thì $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

a) Tính các tích $x \cdot y$:

$$3 \cdot 160 = 480; \quad 6 \cdot 80 = 480; \quad 16 \cdot 30 = 480; \quad 24 \cdot 20 = 480.$$

Tất cả các tích đều bằng $480$, nên $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch (với hệ số tỉ lệ $a = 480$, công thức $y = \dfrac{480}{x}$).

b) Tính các tích $x \cdot y$:

$$4 \cdot 160 = 640; \quad 8 \cdot 80 = 640; \quad 25 \cdot 26 = 650; \quad 32 \cdot 20 = 640.$$

Tích $25 \cdot 26 = 650$ khác $640$, nên các tích $x \cdot y$ không cùng bằng một giá trị. Vậy $x$ và $y$ không là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Bài 6.24 (trang 18)

Đề bài: Cho biết $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$, $x$ tỉ lệ nghịch với $z$ theo hệ số tỉ lệ $b$. Hỏi $y$ tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với $z$ và hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?

Lời giải:

Vì $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$ nên $y = \dfrac{a}{x}$ (với $a \neq 0$).

Vì $x$ tỉ lệ nghịch với $z$ theo hệ số tỉ lệ $b$ nên $x = \dfrac{b}{z}$ (với $b \neq 0$).

Thay $x = \dfrac{b}{z}$ vào $y = \dfrac{a}{x}$, ta được:

$$y = \dfrac{a}{\dfrac{b}{z}} = a \cdot \dfrac{z}{b} = \dfrac{a}{b} \cdot z.$$

Đây là công thức dạng $y = k \cdot z$ với $k = \dfrac{a}{b}$ là hằng số khác $0$ (vì $a \neq 0$ và $b \neq 0$).

Vậy $y$ tỉ lệ thuận với $z$ theo hệ số tỉ lệ $\dfrac{a}{b}$.

Bài 6.25 (trang 18)

Đề bài: Với cùng số tiền để mua $17$ tập giấy A4 loại I có thể mua bao nhiêu tập giấy A4 loại II, biết rằng giá tiền giấy loại II chỉ bằng $85\%$ giá tiền giấy loại I?

Lời giải:

Gọi giá tiền một tập giấy A4 loại I là $p$ (đồng) ($p > 0$). Khi đó giá tiền một tập giấy A4 loại II là $85\% \cdot p = 0{,}85 \cdot p$ (đồng).

Gọi $x$ là số tập giấy A4 loại II có thể mua được với cùng số tiền ($x$ là số nguyên dương).

Số tiền để mua $17$ tập giấy loại I là $17 \cdot p$ (đồng).

Số tiền để mua $x$ tập giấy loại II là $x \cdot 0{,}85 \cdot p$ (đồng).

Vì cùng một số tiền, ta có:

$$17 \cdot p = x \cdot 0{,}85 \cdot p ;\Longleftrightarrow; 17 = 0{,}85 \cdot x ;\Longleftrightarrow; x = \dfrac{17}{0{,}85} = 20.$$

Vậy với cùng số tiền, có thể mua được $20$ tập giấy A4 loại II.

Bài 6.26 (trang 18)

Đề bài: Ba đội máy cày làm trên ba cánh đồng cùng diện tích. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong $4$ ngày, đội thứ hai trong $6$ ngày và đội thứ ba trong $8$ ngày. Hỏi mỗi đội có mấy máy cày, biết rằng số máy cày của đội thứ nhất nhiều hơn số máy cày của đội thứ hai là $2$ máy và năng suất của các máy như nhau?

Lời giải:

Gọi số máy cày của đội thứ nhất, đội thứ hai và đội thứ ba lần lượt là $x$, $y$, $z$ (máy); điều kiện $x, y, z$ là số nguyên dương.

Vì ba cánh đồng có cùng diện tích và năng suất các máy là như nhau nên số máy cày của mỗi đội tỉ lệ nghịch với số ngày đội đó hoàn thành công việc. Do đó tích (số máy) $\cdot$ (số ngày) ở mỗi đội đều bằng nhau:

$$4x = 6y = 8z.$$

Chia cả ba biểu thức cho $24$ (là BCNN của $4$, $6$ và $8$):

$$\dfrac{4x}{24} = \dfrac{6y}{24} = \dfrac{8z}{24} ;\Longleftrightarrow; \dfrac{x}{6} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{3}.$$

Theo đề bài, số máy của đội thứ nhất nhiều hơn đội thứ hai là $2$ máy, tức là $x – y = 2$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho hiệu:

$$\dfrac{x}{6} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{3} = \dfrac{x – y}{6 – 4} = \dfrac{2}{2} = 1.$$

Từ đây tính được:

$$x = 1 \cdot 6 = 6; \quad y = 1 \cdot 4 = 4; \quad z = 1 \cdot 3 = 3.$$

Vậy đội thứ nhất có $6$ máy cày, đội thứ hai có $4$ máy cày và đội thứ ba có $3$ máy cày.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du