So sánh đường vuông góc và đường xiên

Hoạt động (trang 63)

Đề bài: Cho điểm $A$ không nằm trên đường thẳng $d$.

a) Hãy vẽ đường vuông góc $AH$ và một đường xiên $AM$ từ $A$ đến $d$.

b) Em hãy giải thích vì sao $AH < AM$.

Lời giải:

a) Cách vẽ: Vẽ đường thẳng $d$. Lấy điểm $A$ không nằm trên $d$. Kẻ đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$, cắt $d$ tại $H$ — đoạn $AH$ là đường vuông góc. Lấy điểm $M$ bất kì trên $d$ và khác $H$, nối $AM$ — đoạn $AM$ là đường xiên (em có thể tham khảo Hình 9.9 trong SGK).

b) Xét tam giác $AHM$. Vì $AH \perp d$ tại $H$ nên $\widehat{AHM} = 90^\circ$.

Trong một tam giác, tổng ba góc bằng $180^\circ$, mà $\widehat{AHM}$ đã bằng $90^\circ$ nên hai góc còn lại có tổng bằng $90^\circ$, suy ra mỗi góc đều nhỏ hơn $90^\circ$. Vậy $\widehat{AHM}$ là góc lớn nhất trong tam giác $AHM$.

Theo định lí về quan hệ giữa cạnh và góc đối diện, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất. Cạnh đối diện với $\widehat{AHM}$ là cạnh $AM$, nên $AM$ là cạnh lớn nhất trong tam giác $AHM$. Suy ra $AM > AH$, hay $AH < AM$.

Luyện tập (trang 64)

Đề bài: Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng $2$ cm, $M$ là một điểm trên cạnh $BC$ như Hình 9.10.

a) Hãy chỉ ra các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm $A$ đến đường thẳng $BC$.

b) So sánh hai đoạn thẳng $AB$ và $AM$.

c) Tìm khoảng cách từ điểm $C$ đến đường thẳng $AB$.

Lời giải:

a) Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB \perp BC$ tại $B$. Do đó:

Đường vuông góc kẻ từ $A$ đến đường thẳng $BC$ là đoạn $AB$ (vì $B$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ đến $BC$).

Đường xiên kẻ từ $A$ đến đường thẳng $BC$ là đoạn $AM$ (vì $M$ thuộc $BC$ và $M$ khác $B$).

b) Theo định lí, trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm đến một đường thẳng thì đường vuông góc là đường ngắn nhất. Vì $AB$ là đường vuông góc và $AM$ là đường xiên kẻ từ $A$ đến $BC$, nên:

$$AB < AM.$$

c) Vì $ABCD$ là hình vuông nên $CB \perp AB$ tại $B$. Do đó $B$ là chân đường vuông góc kẻ từ $C$ đến đường thẳng $AB$. Khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng $AB$ chính là độ dài đoạn $CB$:

$$\text{Khoảng cách từ } C \text{ đến } AB = CB = 2 \text{ cm.}$$

Vận dụng (trang 64)

Đề bài: Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu: Bạn Nam tập bơi ở một bể bơi hình chữ nhật, trong đó có ba đường bơi $OA$, $OB$, $OC$. Biết rằng $OA$ vuông góc với cạnh của bể bơi (H.9.8). Nếu xuất phát từ điểm $O$ và bơi cùng tốc độ, để bơi sang bờ bên kia nhanh nhất thì bạn Nam nên chọn đường bơi nào?

Lời giải:

Khi bơi cùng một tốc độ, thời gian bơi tỉ lệ thuận với quãng đường bơi. Do đó, để bơi sang bờ bên kia nhanh nhất thì quãng đường bơi phải ngắn nhất.

Trong ba đường bơi $OA$, $OB$, $OC$ từ $O$ đến bờ bên kia:

$OA$ vuông góc với bờ bên kia (theo đề bài), nên $OA$ là đường vuông góc kẻ từ $O$ đến bờ.

$OB$ và $OC$ không vuông góc với bờ, nên là các đường xiên kẻ từ $O$ đến bờ.

Theo định lí, trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm đến một đường thẳng thì đường vuông góc là đường ngắn nhất. Vậy $OA < OB$ và $OA < OC$, tức là $OA$ là đường bơi ngắn nhất.

Vậy để bơi sang bờ bên kia nhanh nhất, bạn Nam nên chọn đường bơi $OA$.

Thử thách nhỏ (trang 64)

Đề bài:

a) Quan sát Hình 9.11, ta thấy khi $M$ thay đổi trên $d$, $M$ càng xa $H$ thì $AM$ càng lớn lên, tức là nếu $HM < HN$ thì $AM < AN$. Hãy chứng minh khẳng định này nhờ quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác $AMN$.

b) Xét hình vuông $ABCD$ và một điểm $M$ tuỳ ý nằm trên các cạnh của hình vuông. Hỏi với vị trí nào của $M$ thì $AM$ lớn nhất? Vì sao?

Lời giải:

a) Ta xét hai trường hợp.

Trường hợp 1: $M$ và $N$ nằm cùng phía với $H$ trên $d$, và $M$ nằm giữa $H$ và $N$.

Xét tam giác $AHM$ với $\widehat{AHM} = 90^\circ$.

Vì $M$ nằm giữa $H$ và $N$ trên đường thẳng $d$, nên $\widehat{AMN}$ là góc ngoài tại đỉnh $M$ của tam giác $AHM$ (góc kề bù với $\widehat{AMH}$, ở phía $N$).

Theo tính chất góc ngoài của tam giác:

$$\widehat{AMN} = \widehat{MAH} + \widehat{AHM} = \widehat{MAH} + 90^\circ > 90^\circ.$$

Vậy $\widehat{AMN}$ là góc tù, là góc lớn nhất trong tam giác $AMN$.

Cạnh đối diện với $\widehat{AMN}$ là cạnh $AN$, nên theo định lí về quan hệ giữa cạnh và góc đối diện, $AN$ là cạnh lớn nhất trong tam giác $AMN$. Suy ra $AN > AM$, hay $AM < AN$.

Trường hợp 2: $M$ và $N$ nằm khác phía với $H$ trên $d$ (tức là $H$ nằm giữa $M$ và $N$).

Trên $d$, ở phía của $N$ so với $H$, lấy điểm $M’$ sao cho $HM’ = HM$.

Khi đó $H$ là trung điểm của đoạn $MM’$ và $AH \perp MM’$, nên $AH$ là đường trung trực của đoạn $MM’$. Theo tính chất đường trung trực, $AM = AM’$.

Mặt khác, $M’$ và $N$ cùng phía với $H$ trên $d$, và $HM’ = HM < HN$. Áp dụng kết quả Trường hợp 1 cho hai điểm $M’$ và $N$, ta được $AM’ < AN$.

Mà $AM = AM’$, nên $AM < AN$.

Vậy trong cả hai trường hợp, nếu $HM < HN$ thì $AM < AN$.

b) Ta xét vị trí của $M$ trên từng cạnh của hình vuông $ABCD$ và tìm vị trí cho $AM$ lớn nhất.

Trên cạnh $AB$: $M$ thuộc đoạn $AB$, nên $AM \leq AB$.

Trên cạnh $AD$: $M$ thuộc đoạn $AD$, nên $AM \leq AD$.

Trên cạnh $BC$: Vì $AB \perp BC$ tại $B$ (do $ABCD$ là hình vuông), nên $B$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ đến đường thẳng $BC$. Theo câu a, khi $M$ thay đổi trên đoạn $BC$, $M$ càng xa $B$ thì $AM$ càng lớn. Vậy trên cạnh $BC$, $AM$ lớn nhất khi $M$ trùng $C$, khi đó $AM = AC$.

Trên cạnh $CD$ (hay $DC$): Vì $AD \perp DC$ tại $D$, nên $D$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ đến đường thẳng $DC$. Theo câu a, $M$ càng xa $D$ thì $AM$ càng lớn. Vậy trên cạnh $DC$, $AM$ lớn nhất khi $M$ trùng $C$, khi đó $AM = AC$.

So sánh: $AB = AD$ (cạnh hình vuông) và $AC$ là đường chéo, nên $AC > AB = AD$.

Vậy $AM$ lớn nhất khi $M$ trùng với $C$ (đỉnh đối diện với $A$), khi đó $AM = AC$.

Bài tập (trang 65)

Bài 9.6 (trang 65)

Đề bài: Chiều cao của tam giác ứng với một cạnh của nó có phải là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó không?

Lời giải:

Theo định nghĩa, chiều cao của tam giác ứng với một cạnh là đoạn vuông góc kẻ từ đỉnh đối diện với cạnh đó đến đường thẳng chứa cạnh đó.

Theo Chú ý của Bài 32, độ dài đoạn vuông góc kẻ từ một điểm đến một đường thẳng chính là khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng đó.

Do đó, chiều cao của tam giác ứng với một cạnh chính là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó.

Vậy khẳng định trên là đúng.

Bài 9.7 (trang 65)

Đề bài: Cho hình vuông $ABCD$. Hỏi trong bốn đỉnh của hình vuông:

a) Đỉnh nào cách đều hai điểm $A$ và $C$?

b) Đỉnh nào cách đều hai đường thẳng $AB$ và $AD$?

Lời giải:

a) Một đỉnh $X$ cách đều hai điểm $A$ và $C$ khi $XA = XC$. Ta lần lượt xét bốn đỉnh:

Đỉnh $A$: $AA = 0$ và $AC$ là độ dài đường chéo. Vì $AC \neq 0$ nên $A$ không cách đều $A$ và $C$.

Đỉnh $C$: tương tự, $CA \neq 0 = CC$, nên $C$ không cách đều.

Đỉnh $B$: $BA$ là cạnh và $BC$ cũng là cạnh, mà bốn cạnh của hình vuông bằng nhau nên $BA = BC$. Vậy $B$ cách đều hai điểm $A$ và $C$.

Đỉnh $D$: tương tự, $DA = DC$ (đều là cạnh hình vuông), nên $D$ cách đều hai điểm $A$ và $C$.

Vậy hai đỉnh $B$ và $D$ cách đều hai điểm $A$ và $C$.

b) Một đỉnh $X$ cách đều hai đường thẳng $AB$ và $AD$ khi khoảng cách từ $X$ đến $AB$ bằng khoảng cách từ $X$ đến $AD$. Ta lần lượt xét bốn đỉnh:

Đỉnh $A$: $A$ nằm trên cả hai đường $AB$ và $AD$, nên khoảng cách từ $A$ đến $AB$ là $0$ và khoảng cách từ $A$ đến $AD$ cũng là $0$. Hai khoảng cách bằng nhau (đều bằng $0$), nên $A$ cách đều hai đường.

Đỉnh $B$: $B$ nằm trên $AB$ nên khoảng cách từ $B$ đến $AB$ là $0$. Còn $BA \perp AD$ (vì $ABCD$ là hình vuông) nên khoảng cách từ $B$ đến $AD$ là $BA$ (cạnh hình vuông), khác $0$. Vậy $B$ không cách đều.

Đỉnh $D$: tương tự $B$, $D$ không cách đều.

Đỉnh $C$: Vì $CB \perp AB$ (do $ABCD$ là hình vuông) nên khoảng cách từ $C$ đến $AB$ là $CB$. Vì $CD \perp AD$ nên khoảng cách từ $C$ đến $AD$ là $CD$. Mà $CB = CD$ (hai cạnh hình vuông), nên hai khoảng cách bằng nhau. Vậy $C$ cách đều hai đường $AB$ và $AD$.

Vậy hai đỉnh $A$ và $C$ cách đều hai đường thẳng $AB$ và $AD$.

Bài 9.8 (trang 65)

Đề bài: Cho tam giác cân $ABC$, $AB = AC$. Lấy điểm $M$ tuỳ ý nằm giữa $B$ và $C$ (H.9.12).

a) Khi $M$ thay đổi thì độ dài $AM$ thay đổi. Xác định vị trí của điểm $M$ để độ dài $AM$ nhỏ nhất.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ thì $AM < AB$.

Lời giải:

Kẻ $AH \perp BC$ tại $H$ (tức là $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ đến đường thẳng $BC$).

a) Khi $M$ nằm giữa $B$ và $C$ (tức $M$ thuộc đường thẳng $BC$), $AM$ là đường xiên kẻ từ $A$ đến $BC$ (nếu $M \neq H$) hoặc trùng với $AH$ (nếu $M = H$).

Theo định lí, đường vuông góc luôn ngắn hơn các đường xiên kẻ từ cùng một điểm đến một đường thẳng, tức là $AH \leq AM$, dấu bằng xảy ra khi $M$ trùng $H$.

Vậy độ dài $AM$ nhỏ nhất khi $M$ trùng với $H$, tức là $M$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ đến $BC$ (cũng là trung điểm của $BC$ trong tam giác cân).

b) Xét các vị trí có thể có của $M$ giữa $B$ và $C$.

Trường hợp 1: $M$ trùng với $H$. Khi đó $AM = AH$. Vì $AH$ là đường vuông góc và $AB$ là đường xiên kẻ từ $A$ đến đường thẳng $BC$, nên $AH < AB$, tức là $AM < AB$.

Trường hợp 2: $M$ nằm giữa $B$ và $H$. Xét tam giác $AHM$ với $\widehat{AHM} = 90^\circ$. Vì $M$ nằm giữa $B$ và $H$ nên $\widehat{AMB}$ là góc ngoài tại đỉnh $M$ của tam giác $AHM$ (về phía $B$). Theo tính chất góc ngoài:

$$\widehat{AMB} = \widehat{MAH} + \widehat{AHM} = \widehat{MAH} + 90^\circ > 90^\circ.$$

Vậy $\widehat{AMB}$ là góc tù, là góc lớn nhất trong tam giác $ABM$. Cạnh đối diện với $\widehat{AMB}$ là cạnh $AB$, nên $AB$ là cạnh lớn nhất, suy ra $AM < AB$.

Trường hợp 3: $M$ nằm giữa $H$ và $C$. Tương tự, $\widehat{AMC}$ là góc ngoài tại $M$ của tam giác $AHM$, là góc tù. Trong tam giác $AMC$, $\widehat{AMC}$ là góc lớn nhất, cạnh đối diện $AC$ là cạnh lớn nhất, nên $AM < AC$.

Mà $AC = AB$ (giả thiết tam giác cân), nên $AM < AB$.

Vậy trong mọi trường hợp $M$ nằm giữa $B$ và $C$, ta đều có $AM < AB$.

Bài 9.9 (trang 65)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Hai điểm $M$, $N$ theo thứ tự nằm trên các cạnh $AB$, $AC$ ($M$, $N$ không phải là đỉnh của tam giác) (H.9.13). Chứng minh rằng $MN < BC$. (Gợi ý: So sánh $MN$ với $NB$, $NB$ với $BC$.)

Lời giải:

Ta sẽ chứng minh theo hai bước theo gợi ý.

Bước 1: So sánh $MN$ và $NB$.

Xét tam giác $AMN$ có $\widehat{MAN} = \widehat{A} = 90^\circ$ (vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$).

Vì $M$ nằm trên cạnh $AB$ và khác đỉnh $A$, $B$, nên $M$ nằm giữa $A$ và $B$. Do đó $\widehat{NMB}$ là góc ngoài tại đỉnh $M$ của tam giác $AMN$ (về phía $B$). Theo tính chất góc ngoài của tam giác:

$$\widehat{NMB} = \widehat{MAN} + \widehat{ANM} = 90^\circ + \widehat{ANM} > 90^\circ.$$

Vậy $\widehat{NMB}$ là góc tù, là góc lớn nhất trong tam giác $MNB$. Cạnh đối diện với $\widehat{NMB}$ là cạnh $NB$, nên theo định lí, $NB$ là cạnh lớn nhất trong tam giác $MNB$. Suy ra:

$$MN < NB. \quad (1)$$

Bước 2: So sánh $NB$ và $BC$.

Xét tam giác $ABN$ có $\widehat{BAN} = \widehat{A} = 90^\circ$.

Vì $N$ nằm trên cạnh $AC$ và khác đỉnh $A$, $C$, nên $N$ nằm giữa $A$ và $C$. Do đó $\widehat{BNC}$ là góc ngoài tại đỉnh $N$ của tam giác $ABN$ (về phía $C$). Theo tính chất góc ngoài:

$$\widehat{BNC} = \widehat{BAN} + \widehat{ABN} = 90^\circ + \widehat{ABN} > 90^\circ.$$

Vậy $\widehat{BNC}$ là góc tù, là góc lớn nhất trong tam giác $BNC$. Cạnh đối diện với $\widehat{BNC}$ là cạnh $BC$, nên $BC$ là cạnh lớn nhất trong tam giác $BNC$. Suy ra:

$$NB < BC. \quad (2)$$

Kết luận. Từ $(1)$ và $(2)$, ta có:

$$MN < NB < BC.$$

Vậy $MN < BC$ (đpcm).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du