Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
1. Tiên đề Euclid về đường thẳng song song
Hoạt động 1 (trang 51)
Đề bài: Cho trước đường thẳng $a$ và một điểm $M$ không nằm trên đường thẳng $a$ (Hình 3.31).
Dùng bút chì vẽ đường thẳng $b$ đi qua $M$ và song song với đường thẳng $a$.
Dùng bút màu vẽ đường thẳng $c$ đi qua $M$ và song song với đường thẳng $a$.
Em có nhận xét gì về vị trí của hai đường thẳng $b$ và $c$?
Lời giải:
Sau khi vẽ, ta thấy hai đường thẳng $b$ và $c$ trùng nhau.
Nói cách khác, qua điểm $M$ nằm ngoài đường thẳng $a$, chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua $M$ và song song với $a$ (đây là nội dung của Tiên đề Euclid).
Luyện tập 1 (trang 52)
Đề bài: Phát biểu nào sau đây diễn đạt đúng nội dung của Tiên đề Euclid?
(1) Cho điểm $M$ nằm ngoài đường thẳng $a$. Đường thẳng đi qua $M$ và song song với $a$ là duy nhất.
(2) Có duy nhất một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.
(3) Qua điểm $M$ nằm ngoài đường thẳng $a$, có ít nhất một đường thẳng song song với $a$.
Lời giải:
Ta nhớ lại Tiên đề Euclid: qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Xét từng phát biểu:
Phát biểu (1) đúng vì nó diễn đạt chính xác nội dung của Tiên đề Euclid
Phát biểu (2) sai vì với một đường thẳng cho trước, có vô số đường thẳng song song với đường thẳng đó (mỗi đường thẳng đi qua mỗi điểm khác nhau ở ngoài nó)
Phát biểu (3) sai vì qua điểm $M$ ngoài $a$, có duy nhất một (không phải “ít nhất một”) đường thẳng song song với $a$
Vậy chỉ có phát biểu (1) là diễn đạt đúng nội dung Tiên đề Euclid
2. Tính chất của hai đường thẳng song song
Hoạt động 2 (trang 52)
Đề bài: Vẽ hai đường thẳng song song $a$, $b$. Kẻ đường thẳng $c$ cắt đường thẳng $a$ tại $A$ và cắt đường thẳng $b$ tại $B$. Trên Hình 3.34:
a) Em hãy đo một cặp góc so le trong rồi rút ra nhận xét.
b) Em hãy đo một cặp góc đồng vị rồi rút ra nhận xét.
Lời giải:
a) Chọn một cặp góc ở vị trí so le trong tại $A$ và $B$ (chẳng hạn hai góc nằm trong dải giữa hai đường thẳng $a$ và $b$, ở hai phía của đường thẳng $c$). Dùng thước đo góc đo hai góc, ta thấy chúng có số đo bằng nhau.
Nhận xét: hai góc so le trong tạo bởi đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng song song $a$ và $b$ thì bằng nhau.
b) Chọn một cặp góc ở vị trí đồng vị tại $A$ và $B$. Dùng thước đo góc đo hai góc, ta cũng thấy chúng có số đo bằng nhau.
Nhận xét: hai góc đồng vị tạo bởi đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng song song $a$ và $b$ thì bằng nhau.
Luyện tập 2 (trang 53)
Đề bài:
- Cho Hình 3.36, biết $MN // BC$, $\widehat{ABC} = 60^\circ$, $\widehat{MNC} = 150^\circ$. Hãy tính số đo các góc $\widehat{BMN}$ và $\widehat{ACB}$.
- Cho Hình 3.37, biết rằng $xx’ // yy’$ và $zz’ \perp xx’$. Tính số đo góc $\widehat{ABy}$ và cho biết $zz’$ có vuông góc với $yy’$ không.
Lời giải:
1. Trong Hình 3.36, $M$ nằm trên $AB$ và $N$ nằm trên $AC$, với $MN // BC$.
Tính $\widehat{BMN}$:
Vì $MN // BC$, hai góc $\widehat{AMN}$ và $\widehat{ABC}$ ở vị trí đồng vị (đường $AB$ là cát tuyến) nên:
$$\widehat{AMN} = \widehat{ABC} = 60^\circ$$
Hai góc $\widehat{AMN}$ và $\widehat{BMN}$ kề bù (vì $A$, $M$, $B$ thẳng hàng) nên:
$$\widehat{AMN} + \widehat{BMN} = 180^\circ$$
$$60^\circ + \widehat{BMN} = 180^\circ$$
Suy ra:
$$\widehat{BMN} = 180^\circ – 60^\circ = 120^\circ$$
Tính $\widehat{ACB}$:
Hai góc $\widehat{ANM}$ và $\widehat{MNC}$ kề bù nên:
$$\widehat{ANM} + \widehat{MNC} = 180^\circ$$
$$\widehat{ANM} + 150^\circ = 180^\circ$$
Suy ra $\widehat{ANM} = 30^\circ$
Vì $MN // BC$, hai góc $\widehat{ANM}$ và $\widehat{ACB}$ ở vị trí đồng vị (đường $AC$ là cát tuyến) nên:
$$\widehat{ACB} = \widehat{ANM} = 30^\circ$$
Vậy $\widehat{BMN} = 120^\circ$ và $\widehat{ACB} = 30^\circ$
2. Trong Hình 3.37, đường thẳng $zz’$ cắt $xx’$ tại $A$ và cắt $yy’$ tại $B$.
Vì $zz’ \perp xx’$ tại $A$ nên $\widehat{x’AB} = 90^\circ$
Vì $xx’ // yy’$, hai góc $\widehat{x’AB}$ và $\widehat{ABy}$ ở vị trí so le trong (đường $zz’$ là cát tuyến) nên:
$$\widehat{ABy} = \widehat{x’AB} = 90^\circ$$
Vì $\widehat{ABy} = 90^\circ$ nên $zz’$ vuông góc với $yy’$ tại $B$
Bài tập (trang 53, 54)
Bài 3.17 (trang 53)
Đề bài: Cho Hình 3.39, biết rằng $mn // pq$. Tính số đo các góc $\widehat{mHK}$, $\widehat{vHn}$.
Lời giải:
Trong Hình 3.39, đường thẳng chứa $v$, $H$, $K$ cắt $mn$ tại $H$ và cắt $pq$ tại $K$. Biết $\widehat{HKq} = 70^\circ$.
Tính $\widehat{mHK}$:
Vì $mn // pq$, hai góc $\widehat{mHK}$ và $\widehat{HKq}$ ở vị trí so le trong nên:
$$\widehat{mHK} = \widehat{HKq} = 70^\circ$$
Tính $\widehat{vHn}$:
Vì $mn // pq$, hai góc $\widehat{vHn}$ và $\widehat{HKq}$ ở vị trí đồng vị nên:
$$\widehat{vHn} = \widehat{HKq} = 70^\circ$$
Vậy $\widehat{mHK} = 70^\circ$ và $\widehat{vHn} = 70^\circ$
Bài 3.18 (trang 53)
Đề bài: Cho Hình 3.40.
a) Giải thích tại sao $Am // By$.
b) Tính $\widehat{CDm}$.
Lời giải:
a) Trong Hình 3.40, đường thẳng $AB$ cắt hai đường thẳng $Am$ và $By$ lần lượt tại $A$ và $B$. Ta có:
$$\widehat{xBA} = \widehat{BAD} = 70^\circ$$
Hai góc này ở vị trí so le trong, nên theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song:
$$Am // By$$
b) Đường thẳng chứa $t$, $C$, $D$ cắt hai đường thẳng $By$ và $Am$ lần lượt tại $C$ và $D$.
Vì $Am // By$, hai góc $\widehat{CDm}$ và $\widehat{tCy}$ ở vị trí đồng vị nên:
$$\widehat{CDm} = \widehat{tCy} = 120^\circ$$
Vậy $\widehat{CDm} = 120^\circ$
Bài 3.19 (trang 54)
Đề bài: Cho Hình 3.41.
a) Giải thích tại sao $xx’ // yy’$.
b) Tính số đo góc $\widehat{MNB}$.
Lời giải:
a) Trong Hình 3.41, đường thẳng chứa $t$, $B$, $A$, $t’$ cắt $xx’$ tại $A$ và cắt $yy’$ tại $B$. Ta có:
$$\widehat{t’AM} = \widehat{ABN} = 65^\circ$$
Hai góc này ở vị trí đồng vị, nên theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song:
$$xx’ // yy’$$
b) Đường thẳng chứa $v’$, $M$, $N$, $v$ cắt $xx’$ tại $M$ và cắt $yy’$ tại $N$.
Vì $xx’ // yy’$, hai góc $\widehat{x’MN}$ và $\widehat{MNB}$ ở vị trí so le trong nên:
$$\widehat{MNB} = \widehat{x’MN} = 70^\circ$$
Vậy $\widehat{MNB} = 70^\circ$
Bài 3.20 (trang 54)
Đề bài: Cho Hình 3.42, biết rằng $Ax // Dy$, $\widehat{A} = 90^\circ$, $\widehat{BCy} = 50^\circ$. Tính số đo các góc $\widehat{ADC}$ và $\widehat{ABC}$.
Lời giải:
Trong Hình 3.42, $A$ nằm trên $Ax$, $D$ nằm trên $Dy$ và $Ax // Dy$.
Tính $\widehat{ADC}$:
Vì $\widehat{A} = 90^\circ$ nên $AD \perp Ax$.
Mà $Ax // Dy$, theo nhận xét “một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại”:
$$AD \perp Dy$$
Do đó $\widehat{ADC} = 90^\circ$
Tính $\widehat{ABC}$:
Đường thẳng $BC$ cắt $Ax$ tại $B$ và cắt $Dy$ tại $C$. Vì $Ax // Dy$, hai góc $\widehat{ABC}$ và $\widehat{BCy}$ ở vị trí so le trong nên:
$$\widehat{ABC} = \widehat{BCy} = 50^\circ$$
Vậy $\widehat{ADC} = 90^\circ$ và $\widehat{ABC} = 50^\circ$
Bài 3.21 (trang 54)
Đề bài: Cho Hình 3.43. Giải thích tại sao:
a) $Ax’ // By$
b) $By \perp HK$
Lời giải:
a) Trong Hình 3.43, đường thẳng $AB$ cắt $xx’$ tại $A$ và cắt $By$ tại $B$. Ta có:
$$\widehat{xAB} = \widehat{ABy} = 45^\circ$$
Hai góc này ở vị trí so le trong, nên theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song:
$$xx’ // By \ \text{hay}\ Ax’ // By$$
b) Ta có hai cách giải thích.
Cách 1: Vì $Ax’ // By$, đường thẳng $HK$ cắt $Ax’$ tại $H$ và cắt $By$ tại $K$, nên hai góc $\widehat{x’HK}$ và $\widehat{HKB}$ ở vị trí so le trong:
$$\widehat{HKB} = \widehat{x’HK} = 90^\circ$$
Do đó $By \perp HK$
Cách 2: Ta có $HK \perp Ax’$ (vì $\widehat{x’HK} = 90^\circ$) và $Ax’ // By$ (theo phần a).
Theo nhận xét “một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại”:
$$HK \perp By$$
Bài 3.22 (trang 54)
Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Vẽ đường thẳng $a$ đi qua $A$ và song song với $BC$. Vẽ đường thẳng $b$ đi qua $B$ và song song với $AC$. Có thể vẽ được bao nhiêu đường thẳng $a$, bao nhiêu đường thẳng $b$? Vì sao?
Lời giải:
Vì $ABC$ là tam giác nên ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng. Do đó:
Điểm $A$ nằm ngoài đường thẳng $BC$. Theo Tiên đề Euclid, qua $A$ chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với $BC$ — đó là đường thẳng $a$
Điểm $B$ nằm ngoài đường thẳng $AC$. Theo Tiên đề Euclid, qua $B$ chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với $AC$ — đó là đường thẳng $b$
Vậy ta vẽ được một đường thẳng $a$ và một đường thẳng $b$
Bài 3.23 (trang 54)
Đề bài: Cho Hình 3.44. Giải thích tại sao:
a) $MN // EF$
b) $HK // EF$
c) $HK // MN$
Lời giải:
a) Đường thẳng $NE$ cắt $MN$ tại $N$ và cắt $EF$ tại $E$. Ta có:
$$\widehat{MNE} = \widehat{NEF} = 30^\circ$$
Hai góc này ở vị trí so le trong, nên theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song:
$$MN // EF$$
b) Đường thẳng $DF$ cắt $HK$ tại $K$ và cắt $EF$ tại $F$. Ta có:
$$\widehat{DKH} = \widehat{DFE} = 60^\circ$$
Hai góc này ở vị trí đồng vị, nên theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song:
$$HK // EF$$
c) Từ kết quả hai phần trên: $MN // EF$ và $HK // EF$.
Theo nhận xét “hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau”:
$$HK // MN$$
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du