Định lí (bất đẳng thức tam giác): Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại. Cụ thể, với tam giác $ABC$, ta có ba bất đẳng thức tam giác:

$$AB < AC + BC, \qquad AC < AB + BC, \qquad BC < AB + AC.$$

Tính chất: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại. Nhận xét: Nếu kí hiệu $a$, $b$, $c$ là độ dài ba cạnh tuỳ ý của một tam giác thì: $b – c < a < b + c$. Chú ý: Để kiểm tra nhanh ba độ dài có lập thành ba cạnh của một tam giác hay không, ta chỉ cần so sánh độ dài cạnh lớn nhất với tổng độ dài hai cạnh còn lại (hoặc so sánh độ dài cạnh nhỏ nhất với hiệu độ dài hai cạnh còn lại).

Bất đẳng thức tam giác

Hoạt động 1 (trang 66)

Đề bài: Cho hai bộ ba thanh tre nhỏ có độ dài như sau:

Bộ thứ nhất: $10$ cm, $20$ cm, $25$ cm.

Bộ thứ hai: $5$ cm, $15$ cm, $25$ cm.

Em hãy ghép và cho biết bộ nào ghép được thành một tam giác.

Lời giải:

Em hãy ghép thử cứ hai đầu của hai thanh tre lại trùng nhau, ta sẽ thấy:

Bộ thứ nhất ($10$ cm, $20$ cm, $25$ cm) ghép được thành một tam giác.

Bộ thứ hai ($5$ cm, $15$ cm, $25$ cm) không ghép được thành tam giác (vì hai thanh ngắn $5$ cm và $15$ cm có tổng độ dài chỉ là $20$ cm, không “đủ dài” để chạm vào hai đầu của thanh dài $25$ cm).

Vậy bộ thứ nhất ghép được thành một tam giác.

Hoạt động 2 (trang 67)

Đề bài: Với bộ ba thanh tre ghép lại được thành một tam giác trong HĐ1, em hãy so sánh độ dài của thanh tre bất kì với tổng độ dài hai thanh còn lại.

Lời giải:

Với bộ ba thanh tre có độ dài $10$ cm, $20$ cm, $25$ cm (đã ghép được thành tam giác ở HĐ1), ta so sánh từng thanh với tổng hai thanh còn lại:

Thanh $10$ cm: tổng hai thanh còn lại là $20 + 25 = 45$ (cm). Ta có $10 < 45$.

Thanh $20$ cm: tổng hai thanh còn lại là $10 + 25 = 35$ (cm). Ta có $20 < 35$.

Thanh $25$ cm: tổng hai thanh còn lại là $10 + 20 = 30$ (cm). Ta có $25 < 30$.

Vậy độ dài của một thanh tre bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài của hai thanh còn lại.

Tranh luận (trang 67)

Đề bài: Bạn Vuông nói: “Ba đoạn thẳng có độ dài $1$ cm, $2$ cm, $4$ cm ghép được thành một tam giác vì $2 < 4 + 1$.” Bạn Tròn nói: “Vuông sai rồi.” Ý kiến của em thì sao?

Lời giải:

Để ba độ dài có thể là ba cạnh của một tam giác, mọi cạnh đều phải nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại. Ta kiểm tra cạnh lớn nhất là $4$ cm:

$$1 + 2 = 3 < 4.$$

Như vậy tổng hai cạnh nhỏ hơn ($1$ cm và $2$ cm) lại nhỏ hơn cạnh lớn nhất ($4$ cm), nên ba độ dài $1$ cm, $2$ cm, $4$ cm không thoả mãn bất đẳng thức tam giác. Do đó ba đoạn thẳng này không ghép được thành một tam giác.

Bạn Vuông chỉ kiểm tra một bất đẳng thức $2 < 4 + 1$ (đúng) mà chưa kiểm tra hết – bạn ấy đã bỏ sót bất đẳng thức quan trọng nhất là $4 < 1 + 2$ (sai vì $4 > 3$).

Vậy Vuông sai, Tròn đúng.

Chú ý: Khi kiểm tra ba độ dài có thoả mãn bất đẳng thức tam giác hay không, để nhanh gọn, em chỉ cần kiểm tra tổng độ dài hai cạnh nhỏ hơn có lớn hơn độ dài cạnh lớn nhất hay không.

Luyện tập (trang 68)

Đề bài: Hỏi ba độ dài nào sau đây không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác? Vì sao? Hãy vẽ tam giác nhận ba độ dài còn lại làm độ dài ba cạnh.

a) $5$ cm, $4$ cm, $6$ cm.

b) $3$ cm, $6$ cm, $10$ cm.

Lời giải:

Áp dụng Chú ý: chỉ cần kiểm tra tổng hai cạnh nhỏ hơn có lớn hơn cạnh lớn nhất không.

a) Cạnh lớn nhất là $6$ cm, hai cạnh còn lại là $5$ cm và $4$ cm. Ta có:

$$5 + 4 = 9 > 6.$$

Vậy ba độ dài $5$ cm, $4$ cm, $6$ cm có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.

b) Cạnh lớn nhất là $10$ cm, hai cạnh còn lại là $3$ cm và $6$ cm. Ta có:

$$3 + 6 = 9 < 10.$$

Vậy ba độ dài $3$ cm, $6$ cm, $10$ cm không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Cách vẽ tam giác có ba cạnh $5$ cm, $4$ cm, $6$ cm (dùng thước và compa):

Bước 1: Dùng thước vẽ đoạn thẳng $AB = 6$ cm.

Bước 2: Dùng compa, vẽ cung tròn tâm $A$ bán kính $5$ cm và cung tròn tâm $B$ bán kính $4$ cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại $C$.

Bước 3: Nối $AC$ và $BC$, ta được tam giác $ABC$ có $AB = 6$ cm, $AC = 5$ cm, $BC = 4$ cm.

Vận dụng (trang 68)

Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu, em hãy giải thích vì sao nếu dựng cột điện ở vị trí $C$ trên đoạn thẳng $AB$ thì tổng độ dài dây dẫn điện cần sử dụng là ngắn nhất (H.9.17).

Lời giải:

Tổng độ dài dây dẫn điện cần sử dụng là $CA + CB$ (gồm đoạn dây từ cột điện $A$ của trạm biến áp đến cột $C$, và đoạn dây từ $C$ đến cột điện $B$ của khu dân cư).

Ta xét hai trường hợp về vị trí của điểm $C$ so với $A$ và $B$.

Trường hợp 1: $C$ không nằm trên đường thẳng $AB$ (tức là $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng).

Khi đó $A$, $B$, $C$ là ba đỉnh của một tam giác. Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho cạnh $AB$:

$$AB < CA + CB.$$

Vậy tổng độ dài dây dẫn $CA + CB$ luôn lớn hơn $AB$.

Trường hợp 2: $C$ nằm trên đường thẳng $AB$.

Nếu $C$ nằm giữa $A$ và $B$ (tức là $C$ thuộc đoạn thẳng $AB$) thì $CA + CB = AB$.

Nếu $C$ nằm ngoài đoạn thẳng $AB$ (tức là $A$ nằm giữa $C$ và $B$, hoặc $B$ nằm giữa $C$ và $A$) thì $CA + CB > AB$.

Kết hợp hai trường hợp, ta thấy tổng độ dài $CA + CB$ luôn lớn hơn hoặc bằng $AB$, dấu bằng xảy ra khi $C$ nằm trên đoạn thẳng $AB$.

Vậy khi $C$ nằm trên đoạn thẳng $AB$, tổng độ dài dây dẫn điện cần sử dụng là ngắn nhất và bằng $AB$.

Bài tập (trang 69)

Bài 9.10 (trang 69)

Đề bài: Cho các bộ ba đoạn thẳng có độ dài như sau:

a) $2$ cm, $3$ cm, $5$ cm;

b) $3$ cm, $4$ cm, $6$ cm;

c) $2$ cm, $4$ cm, $5$ cm.

Hỏi bộ ba nào không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác? Vì sao? Với mỗi bộ ba còn lại, hãy vẽ một tam giác có độ dài ba cạnh được cho trong bộ ba đó.

Lời giải:

Áp dụng Chú ý: chỉ cần kiểm tra tổng hai cạnh nhỏ hơn có lớn hơn cạnh lớn nhất không.

a) Cạnh lớn nhất là $5$ cm, hai cạnh còn lại là $2$ cm và $3$ cm. Ta có:

$$2 + 3 = 5.$$

Vì $2 + 3 = 5$ (không lớn hơn $5$), nên ba độ dài $2$ cm, $3$ cm, $5$ cm không thoả mãn bất đẳng thức tam giác. Vậy bộ ba này không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.

b) Cạnh lớn nhất là $6$ cm, hai cạnh còn lại là $3$ cm và $4$ cm. Ta có:

$$3 + 4 = 7 > 6.$$

Vậy ba độ dài $3$ cm, $4$ cm, $6$ cm có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Cách vẽ tam giác có ba cạnh $3$ cm, $4$ cm, $6$ cm:

Bước 1: Dùng thước vẽ đoạn $AB = 6$ cm.

Bước 2: Dùng compa, vẽ cung tròn tâm $A$ bán kính $3$ cm và cung tròn tâm $B$ bán kính $4$ cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại $C$.

Bước 3: Nối $AC$ và $BC$, ta được tam giác $ABC$ có $AB = 6$ cm, $AC = 3$ cm, $BC = 4$ cm.

c) Cạnh lớn nhất là $5$ cm, hai cạnh còn lại là $2$ cm và $4$ cm. Ta có:

$$2 + 4 = 6 > 5.$$

Vậy ba độ dài $2$ cm, $4$ cm, $5$ cm có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Cách vẽ tam giác có ba cạnh $2$ cm, $4$ cm, $5$ cm:

Bước 1: Dùng thước vẽ đoạn $AB = 5$ cm.

Bước 2: Dùng compa, vẽ cung tròn tâm $A$ bán kính $2$ cm và cung tròn tâm $B$ bán kính $4$ cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại $C$.

Bước 3: Nối $AC$ và $BC$, ta được tam giác $ABC$ có $AB = 5$ cm, $AC = 2$ cm, $BC = 4$ cm.

Bài 9.11 (trang 69)

Đề bài:

a) Cho tam giác $ABC$ có $AB = 1$ cm và $BC = 7$ cm. Hãy tìm độ dài cạnh $CA$ biết rằng đó là một số nguyên (cm).

b) Cho tam giác $ABC$ có $AB = 2$ cm, $BC = 6$ cm và $BC$ là cạnh lớn nhất. Hãy tìm độ dài cạnh $CA$ biết rằng đó là một số nguyên (cm).

Lời giải:

a) Áp dụng Nhận xét $b – c < a < b + c$ cho tam giác $ABC$ với $CA$ là cạnh cần tìm, hai cạnh còn lại là $AB = 1$ cm và $BC = 7$ cm:

$$|BC – AB| < CA < BC + AB ;\Longleftrightarrow; 7 – 1 < CA < 7 + 1 ;\Longleftrightarrow; 6 < CA < 8.$$

Mà $CA$ là số nguyên (cm), nên $CA$ chỉ có thể là $7$ cm.

Vậy $CA = 7$ cm.

b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác $ABC$:

$$AB + CA > BC ;\Longleftrightarrow; 2 + CA > 6 ;\Longleftrightarrow; CA > 4.$$

Mặt khác, $BC = 6$ cm là cạnh lớn nhất của tam giác, nên $CA < BC = 6$, tức là $CA < 6$.

Kết hợp lại: $4 < CA < 6$. Mà $CA$ là số nguyên (cm), nên $CA = 5$ cm.

Vậy $CA = 5$ cm.

Bài 9.12 (trang 69)

Đề bài: Cho điểm $M$ nằm bên trong tam giác $ABC$. Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng $AM$ và cạnh $BC$ (H.9.18).

a) So sánh $MB$ với $MN + NB$, từ đó suy ra $MA + MB < NA + NB$.

b) So sánh $NA$ với $CA + CN$, từ đó suy ra $NA + NB < CA + CB$.

c) Chứng minh $MA + MB < CA + CB$.

Lời giải:

Vì $M$ nằm trong tam giác $ABC$ và $N$ là giao điểm của đường thẳng $AM$ với cạnh $BC$, nên $M$ nằm giữa $A$ và $N$ trên đường thẳng $AM$, do đó $MA + MN = NA$. Tương tự, vì $N$ thuộc cạnh $BC$ nên $N$ nằm giữa $B$ và $C$, do đó $CN + NB = CB$.

a) Ba điểm $M$, $N$, $B$ không thẳng hàng (vì nếu thẳng hàng thì $A$, $M$, $N$, $B$ đều cùng thẳng hàng, mà $N \in BC$ nên sẽ có $A$, $B$, $C$ thẳng hàng — vô lí). Vậy $M$, $N$, $B$ tạo thành một tam giác.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác $MNB$ (xét cạnh $MB$):

$$MB < MN + NB.$$

Cộng cả hai vế với $MA$:

$$MA + MB < MA + MN + NB.$$

Mà $MA + MN = NA$ (vì $M$ nằm giữa $A$ và $N$), nên:

$$MA + MB < NA + NB. \quad (1)$$

b) Ba điểm $A$, $N$, $C$ không thẳng hàng (vì $A$ là một đỉnh của tam giác, không nằm trên cạnh $BC$ chứa $N$ và $C$). Vậy $A$, $N$, $C$ tạo thành một tam giác.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác $ACN$ (xét cạnh $NA$):

$$NA < CA + CN.$$

Cộng cả hai vế với $NB$:

$$NA + NB < CA + CN + NB.$$

Mà $CN + NB = CB$ (vì $N$ nằm giữa $C$ và $B$), nên:

$$NA + NB < CA + CB. \quad (2)$$

c) Từ $(1)$ và $(2)$, ta có:

$$MA + MB < NA + NB < CA + CB.$$

Vậy $MA + MB < CA + CB$ (đpcm).

Bài 9.13 (trang 69)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$, điểm $D$ nằm giữa $B$ và $C$. Chứng minh rằng $AD$ nhỏ hơn nửa chu vi tam giác $ABC$.

Lời giải:

Vì $D$ nằm giữa $B$ và $C$ nên $BD + DC = BC$.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác $ABD$ (xét cạnh $AD$):

$$AD < AB + BD. \quad (1)$$

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác $ACD$ (xét cạnh $AD$):

$$AD < AC + CD. \quad (2)$$

Cộng vế theo vế của $(1)$ và $(2)$:

$$AD + AD < AB + BD + AC + CD$$

$$\Longleftrightarrow; 2AD < AB + AC + (BD + CD).$$

Mà $BD + CD = BC$, nên:

$$2AD < AB + AC + BC.$$

Vế phải chính là chu vi tam giác $ABC$, nên:

$$AD < \dfrac{AB + AC + BC}{2} = \dfrac{\text{chu vi tam giác } ABC}{2}.$$

Vậy $AD$ nhỏ hơn nửa chu vi tam giác $ABC$ (đpcm).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du