Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
1. Đại lượng tỉ lệ thuận
Hoạt động 1 (trang 11)
Đề bài: Một xe ô tô di chuyển với vận tốc không đổi $60$ km/h. Gọi $s$ (km) là quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian $t$ (h). Thay mỗi dấu “?” trong bảng sau bằng số thích hợp.
| $t$ (h) | $1$ | $1{,}5$ | $2$ | $3$ |
|---|
| $s$ (km) | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ |
Lời giải:
Vì vận tốc không đổi là $60$ km/h, nên quãng đường đi được sau thời gian $t$ giờ là $s = 60 \cdot t$ (km). Thay từng giá trị của $t$ vào, ta được:
$t = 1$ thì $s = 60 \cdot 1 = 60$ (km).
$t = 1{,}5$ thì $s = 60 \cdot 1{,}5 = 90$ (km).
$t = 2$ thì $s = 60 \cdot 2 = 120$ (km).
$t = 3$ thì $s = 60 \cdot 3 = 180$ (km).
Bảng đầy đủ:
| $t$ (h) | $1$ | $1{,}5$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $s$ (km) | $60$ | $90$ | $120$ | $180$ |
Hoạt động 2 (trang 11)
Đề bài: Viết công thức tính quãng đường $s$ theo thời gian di chuyển tương ứng $t$.
Lời giải:
Theo HĐ1, quãng đường bằng vận tốc nhân với thời gian, mà vận tốc không đổi $60$ km/h, nên công thức tính quãng đường $s$ theo thời gian $t$ là:
$$s = 60 \cdot t.$$
Câu hỏi (trang 11)
Đề bài: Trong HĐ2, quãng đường $s$ có tỉ lệ thuận với thời gian $t$ không? Thời gian $t$ có tỉ lệ thuận với quãng đường $s$ không?
Lời giải:
Từ công thức $s = 60 \cdot t$ ở HĐ2, ta thấy $s$ liên hệ với $t$ theo công thức $s = a \cdot t$ với $a = 60$ là hằng số khác $0$. Vậy $s$ tỉ lệ thuận với $t$ theo hệ số tỉ lệ $60$.
Từ $s = 60t$, suy ra $t = \dfrac{1}{60} \cdot s$. Vậy $t$ tỉ lệ thuận với $s$ theo hệ số tỉ lệ $\dfrac{1}{60}$.
Như vậy $s$ và $t$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.
Luyện tập 1 (trang 12)
Đề bài: Theo Viện Dinh dưỡng Quốc gia, cứ trong $100$ g đậu tương (đậu nành) thì có $34$ g protein. Khối lượng protein trong đậu tương có tỉ lệ thuận với khối lượng đậu tương không? Nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?
Lời giải:
Gọi $x$ (g) là khối lượng đậu tương và $y$ (g) là khối lượng protein tương ứng.
Vì cứ $100$ g đậu tương có $34$ g protein nên tỉ lệ protein trong đậu tương là không đổi. Cứ $1$ g đậu tương sẽ có $\dfrac{34}{100} = 0{,}34$ g protein. Do đó $x$ g đậu tương có $0{,}34 \cdot x$ g protein, tức là:
$$y = 0{,}34 \cdot x.$$
Đây là công thức dạng $y = a \cdot x$ với $a = 0{,}34$ là hằng số khác $0$. Vậy khối lượng protein $y$ tỉ lệ thuận với khối lượng đậu tương $x$ theo hệ số tỉ lệ $0{,}34$.
Vận dụng (trang 12)
Đề bài: Em hãy giải bài toán mở đầu: Bột sắn dây được làm từ củ sắn dây, là một loại thực phẩm có nhiều tác dụng tốt với sức khoẻ. Ông An nhận thấy cứ $4{,}5$ kg củ sắn dây tươi thì thu được khoảng $1$ kg bột. Hỏi với $3$ tạ củ sắn dây tươi, ông An sẽ thu được khoảng bao nhiêu kilôgam bột sắn dây?
Lời giải:
Đổi $3$ tạ $= 300$ kg.
Gọi $x$ (kg) là khối lượng bột sắn dây thu được từ $300$ kg củ sắn dây tươi ($x > 0$).
Vì cùng một loại củ, lượng bột thu được tỉ lệ thuận với lượng củ tươi đem chế biến. Do đó tỉ số “khối lượng bột : khối lượng củ” luôn không đổi:
$$\dfrac{x}{300} = \dfrac{1}{4{,}5}.$$
Từ tỉ lệ thức này, áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta tính được:
$$x = \dfrac{300 \cdot 1}{4{,}5} = \dfrac{300}{4{,}5} = \dfrac{200}{3} \approx 66{,}67 \text{ (kg).}$$
Vậy với $3$ tạ củ sắn dây tươi, ông An sẽ thu được khoảng $66{,}67$ kg bột sắn dây.
2. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận
Luyện tập 2 (trang 13)
Đề bài: Hai thanh kim loại đồng chất có thể tích tương ứng là $10$ cm$^3$ và $15$ cm$^3$. Hỏi mỗi thanh nặng bao nhiêu gam, biết rằng một thanh nặng hơn thanh kia $40$ g?
Lời giải:
Gọi khối lượng của thanh thứ nhất (thể tích $10$ cm$^3$) là $x$ (g), khối lượng của thanh thứ hai (thể tích $15$ cm$^3$) là $y$ (g); điều kiện $x, y > 0$.
Vì hai thanh kim loại là đồng chất nên khối lượng tỉ lệ thuận với thể tích. Do đó:
$$\dfrac{x}{10} = \dfrac{y}{15}.$$
Vì thanh thứ hai có thể tích lớn hơn thanh thứ nhất nên $y > x$. Theo đề bài, một thanh nặng hơn thanh kia $40$ g, tức là $y – x = 40$.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho hiệu:
$$\dfrac{x}{10} = \dfrac{y}{15} = \dfrac{y – x}{15 – 10} = \dfrac{40}{5} = 8.$$
Từ đây tính được:
$$x = 8 \cdot 10 = 80 \text{ (g)}; \qquad y = 8 \cdot 15 = 120 \text{ (g).}$$
Vậy thanh thứ nhất nặng $80$ g và thanh thứ hai nặng $120$ g.
Luyện tập 3 (trang 14)
Đề bài: Hãy chia $1$ tấn gạo thành ba phần có khối lượng tỉ lệ thuận với $2; 3; 5$.
Lời giải:
Đổi $1$ tấn $= 1\,000$ kg.
Gọi khối lượng của ba phần gạo lần lượt là $x$, $y$, $z$ (kg); điều kiện $x, y, z > 0$.
Theo đề bài, tổng khối lượng ba phần là $1\,000$ kg nên:
$$x + y + z = 1\,000.$$
Vì khối lượng ba phần tỉ lệ thuận với $2; 3; 5$ nên:
$$\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5}.$$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
$$\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5} = \dfrac{x + y + z}{2 + 3 + 5} = \dfrac{1\,000}{10} = 100.$$
Từ đây tính được:
$$x = 100 \cdot 2 = 200 \text{ (kg)}; \quad y = 100 \cdot 3 = 300 \text{ (kg)}; \quad z = 100 \cdot 5 = 500 \text{ (kg).}$$
Vậy ba phần gạo có khối lượng lần lượt là $200$ kg, $300$ kg và $500$ kg.
Bài tập (trang 14)
Bài 6.17 (trang 14)
Đề bài: Cho biết $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Thay mỗi dấu “?” trong bảng sau bằng số thích hợp.
| $x$ | $2$ | $4$ | $5$ | $?$ | $?$ | $?$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $-6$ | $?$ | $?$ | $9$ | $18$ | $1{,}5$ |
Viết công thức mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng $x$ và $y$.
Lời giải:
Vì $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta có công thức $y = a \cdot x$ với $a$ là hệ số tỉ lệ.
Bước 1: Tìm hệ số tỉ lệ $a$.
Sử dụng cặp giá trị đã biết $x = 2$, $y = -6$ ta được:
$$a = \dfrac{y}{x} = \dfrac{-6}{2} = -3.$$
Vậy công thức mô tả mối quan hệ giữa $x$ và $y$ là: $y = -3 \cdot x$ (hay $x = -\dfrac{1}{3} \cdot y$).
Bước 2: Tính các giá trị còn thiếu.
Khi $x = 4$: $y = -3 \cdot 4 = -12$.
Khi $x = 5$: $y = -3 \cdot 5 = -15$.
Khi $y = 9$: $x = -\dfrac{1}{3} \cdot 9 = -3$.
Khi $y = 18$: $x = -\dfrac{1}{3} \cdot 18 = -6$.
Khi $y = 1{,}5$: $x = -\dfrac{1}{3} \cdot 1{,}5 = -0{,}5$.
Bảng đầy đủ:
| $x$ | $2$ | $4$ | $5$ | $-3$ | $-6$ | $-0{,}5$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $-6$ | $-12$ | $-15$ | $9$ | $18$ | $1{,}5$ |
Bài 6.18 (trang 14)
Đề bài: Theo bảng giá trị dưới đây, hai đại lượng $x$ và $y$ có phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận không?
a)
| $x$ | $5$ | $9$ | $15$ | $24$ |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | $15$ | $27$ | $45$ | $72$ |
b)
| $x$ | $4$ | $8$ | $16$ | $25$ |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | $8$ | $16$ | $30$ | $50$ |
Lời giải:
Để kiểm tra $x$ và $y$ có là hai đại lượng tỉ lệ thuận hay không, ta tính tỉ số $\dfrac{y}{x}$ ở từng cặp giá trị tương ứng. Nếu tất cả các tỉ số đều bằng nhau thì $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
a) Tính các tỉ số $\dfrac{y}{x}$:
$$\dfrac{15}{5} = 3; \quad \dfrac{27}{9} = 3; \quad \dfrac{45}{15} = 3; \quad \dfrac{72}{24} = 3.$$
Tất cả các tỉ số đều bằng $3$, nên $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận (với hệ số tỉ lệ $a = 3$, công thức $y = 3 \cdot x$).
b) Tính các tỉ số $\dfrac{y}{x}$:
$$\dfrac{8}{4} = 2; \quad \dfrac{16}{8} = 2; \quad \dfrac{30}{16} = \dfrac{15}{8}; \quad \dfrac{50}{25} = 2.$$
Tỉ số $\dfrac{30}{16} = \dfrac{15}{8}$ khác $2$, nên các tỉ số $\dfrac{y}{x}$ không bằng nhau. Vậy $x$ và $y$ không là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
Bài 6.19 (trang 14)
Đề bài: Cho biết $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$, $x$ tỉ lệ thuận với $z$ theo hệ số tỉ lệ $b$. Hỏi $y$ có tỉ lệ thuận với $z$ không? Nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?
Lời giải:
Vì $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$ nên $y = a \cdot x$ (với $a \neq 0$).
Vì $x$ tỉ lệ thuận với $z$ theo hệ số tỉ lệ $b$ nên $x = b \cdot z$ (với $b \neq 0$).
Thay $x = b \cdot z$ vào $y = a \cdot x$, ta được:
$$y = a \cdot (b \cdot z) = (a \cdot b) \cdot z.$$
Đây là công thức dạng $y = k \cdot z$ với $k = a \cdot b$ là hằng số khác $0$ (vì $a \neq 0$ và $b \neq 0$ nên $a \cdot b \neq 0$).
Vậy $y$ tỉ lệ thuận với $z$ theo hệ số tỉ lệ $a \cdot b$.
Bài 6.20 (trang 14)
Đề bài: Hai bể nước hình hộp chữ nhật có chiều dài và chiều rộng tương ứng bằng nhau, nhưng chiều cao của bể thứ nhất bằng $\dfrac{3}{4}$ chiều cao của bể thứ hai. Để bơm đầy nước vào bể thứ nhất mất $4{,}5$ giờ. Hỏi phải mất bao nhiêu thời gian để bơm đầy nước vào bể thứ hai (nếu dùng máy bơm có cùng công suất)?
Lời giải:
Vì hai bể có chiều dài và chiều rộng tương ứng bằng nhau nên thể tích mỗi bể tỉ lệ thuận với chiều cao của bể đó. Gọi chiều cao bể thứ nhất là $h_1$, bể thứ hai là $h_2$, ta có:
$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{h_1}{h_2} = \dfrac{3}{4}.$$
Vì dùng máy bơm có cùng công suất nên lượng nước bơm mỗi giờ là không đổi. Do đó thời gian bơm đầy mỗi bể tỉ lệ thuận với thể tích bể.
Gọi $t$ (giờ) là thời gian cần để bơm đầy bể thứ hai ($t > 0$). Ta có:
$$\dfrac{4{,}5}{t} = \dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{3}{4}.$$
Áp dụng tính chất tỉ lệ thức:
$$t = \dfrac{4{,}5 \cdot 4}{3} = \dfrac{18}{3} = 6 \text{ (giờ).}$$
Vậy phải mất $6$ giờ để bơm đầy nước vào bể thứ hai.
Bài 6.21 (trang 14)
Đề bài: Để chuẩn bị cho học sinh làm thí nghiệm, cô Hương chia $1{,}5$ lít hoá chất thành ba phần tỉ lệ thuận với $4; 5; 6$ và đựng trong ba chiếc lọ. Hỏi mỗi chiếc lọ đựng bao nhiêu lít hoá chất đó?
Lời giải:
Gọi số lít hoá chất ở ba chiếc lọ lần lượt là $x$, $y$, $z$ (lít); điều kiện $x, y, z > 0$.
Theo đề bài, tổng số hoá chất là $1{,}5$ lít nên:
$$x + y + z = 1{,}5.$$
Vì ba phần tỉ lệ thuận với $4; 5; 6$ nên:
$$\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{6}.$$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
$$\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{6} = \dfrac{x + y + z}{4 + 5 + 6} = \dfrac{1{,}5}{15} = 0{,}1.$$
Từ đây tính được:
$$x = 0{,}1 \cdot 4 = 0{,}4 \text{ (lít)}; \quad y = 0{,}1 \cdot 5 = 0{,}5 \text{ (lít)}; \quad z = 0{,}1 \cdot 6 = 0{,}6 \text{ (lít).}$$
Vậy ba chiếc lọ lần lượt đựng $0{,}4$ lít, $0{,}5$ lít và $0{,}6$ lít hoá chất.
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du